Appunti Analisi 1

L L L L

{ { { { { per

¯ ℝ − 0 ¯

(0, (−∞, ) (0, ) (−∞,

+∞) 0), ¯( = ∈ +∞), ¯( = − ∈ 0)

D’altra parte, non è costante in . Possiamo però dire che è costante in

‹ ‹

2 2

e in cioè per per

Ð ⊆ ℝ ¯: Ð → ℝ Ð.

Definizione (test di monotonia):

¯

Sia un intervallo, derivabile in tutti i punti di Allora sono equivalenti:

( )

¯ ≥ 0 ∀ ∈ Ð

1. è monotona crescente

u

2.

Dimostrazione (1)⟹(2): ( )

∈ Ð ∀ ∈ Ð, ≠ ≥ 0 ⟹ ¯ ≥ 0

)0º( )

º( u

m

l l l

0

Sia fissato. si ha m

%, & ∈ Ð % < &. ¯(%) ≤ ¯(&).

Dimostrazione (2)⟹(1): (%,

Ù = %, & ⊆ Ð, ¯ Ù, ∃( ∈ &)

Fissato con Vogliamo provare che Consideriamo

poiché verifica le ipotesi del teorema di Lagrange in tale

(()

= ¯ ≥ 0 ⟹ ¯(&) − ¯(%) ≥ 0

º(•)0º(~) u

•0~

che

Esempio: ( )

) =

" = ℝ − 0 ¯( = − ". ¯ > 0 ∀ ∈ "

u {

Sia , derivabile in tutti i punti di ma

(0, (−∞,

¯ ¯ +∞) 0)

non è monotona crescente. Però, è monotona crescente in e in

Ð ⊆ ℝ ¯ Ð.

Definizione:

¯

Sia un intervallo, una funzione derivabile in Sono equivalenti:

( ) ( )

¯ > 0 ∀ ∈ Ð ∈ Ð | ¯ = 0

1. è monotona crescente strettamente

u u

2. e non contiene intervalli

¯

Dimostrazione (1)⟹(2):

( )

¯ ≥ 0 ∀ ∈ Ð. %, & ⊆ Ð

Siccome è monotona crescente strettamente, dal precedente test di monotonia segue

u

che Supponiamo, per assurdo, che esiste un intervallo tale

46

( ) ( )

¯ = 0 ∀ ∈ %, & %, & ⊆ ∈ Ð | ¯ = 0

u u ¯ %, &

che , cioè . Allora, dalla prima

% < & ¯(%) = ¯(&)

definizione alla conseguenza del teorema di Lagrange, è costante in , in

particolare e ( )

¯ ≥ 0 ∀ ∈ Ð, ¯

Dimostrazione (2)⟹(1):

u

¯ ∃%, & ∈ Ð, % < &

Poiché, per ipotesi, è monotona crescente. Supponiamo, per

)

¯(%) = ¯(&). ∀ ∈ %, & ⊆ Ð, ¯(%) ≤ ¯( ≤ ¯(&) = ¯(%) ⟹

assurdo, non sia monotona crescente strettamente. Allora e

( ) ( )

⟹ ¯ %, & ⟹ ¯ = 0 ∀ ∈ %, & ⟹ %, & ⊆ ∈ Ð | ¯ = 0

Allora u u

è costante in

) ( ) (0)

Ð = ℝ, ¯( = ¯ ℝ ¯ = 3 ≥ 0 ¯ = 0

Esempio: z u 2 u

( )

∈ Ð | ¯ = 0 = 0

Sia . derivabile in tutto e e

u (%,

Ð = %, & ¯ ∈ Ó(Ð, ℝ). ¯ &) −

Definizione (criterio di derivabilità): l

% < < &).

Sia e sia Supponiamo derivabile in

l

¯

(con Sono equivalenti:

l

( ) ( )

lim ¯ ¯

= lim = ℓ ∈ ℝ

1. è derivabile in

u u

→ •

→ ‘

2. m

m ) | |. (−1,

Ð = −1, 1 ¯( = ¯ −1, 1 1) − 0

Esempio: (−1,

1 \) ∈ 1)

Sia , è continua in e derivabile in e

( ) ( ) ( )

¯ = lim ¯ ≠ lim ¯ ⟹ ¯ = 0

^

u u u

(−1,

−1 \) ∈ 1) l

→ •

→ ‘

. non derivabile in

m

m (%, ( )

Ð = %, & ¯, µ ∈ Ó(Ð, ℝ). ¯, µ &) µ ≠ 0

Teorema (di Cauchy): u

Sia , Supponiamo derivabili in con

(%, (%,

∀ ∈ &). ∃( ∈ &) = (š)

º(•)0º(~) º ä (š)

å(•)0å(~) å ä

Allora tale che

)

µ( =

Osservazione:

Se prendiamo (Cauchy⟹Lagrange)

( )

= = ¯

( )

º(•)0º(~) º(•)0º(~) º ä u

( )

å(•)0å(~) •0~ å ä

e (0, ( )

Ð = %, & Ð = +∞)), ¯, µ Ð µ ≠ 0

Teorema (di De l’Hopital): u

) )

¯( = lim µ( = 0.

∀ ∈ Ð. lim

Sia (oppure continue e derivabili in tale che

→~ →~

‘ ‘ Se esiste (reale o infinito)

Supponiamo che

( )/µ ( ),

lim ¯ ∃ lim = lim

) ( )

º( º ä

u u ) ( )

å( å ä

→~ →~ →~

‘ ‘ ‘

allora: 47

0 \) = % 0 \) = %

Dimostrazione: ) )=^

æ( = ç(

^ ) )

µ( \) > %

¯( \) > %

Consideriamo le funzioni ,

¯, µ % æ, ç ∈ Ó¡(%, &), ℝ¢

L

Poiché tendono a 0 per x che tende a , si ricava che

(%,

∀ ∈ Ð, > %, = = ( ∈ &)

) (š)

º( è(•)0è(~) º ä

) (š)

å( é(•)0é(~) å ä per un certo (teorema di Cauchy)

= lim = lim < ( < ( → % → %

lim ) (š) ( )

º( º º

ä ä L

) (š) ( )

å( å å

ä ä

→~ →~ →~

‘ ‘ ‘ (% quindi per )

Dunque,

Osservazione:

Ð ⊆ ℝ % ∈ ¬(Ð)

lo stesso risultato vale più in generale nelle seguenti situazioni:

) )

¯( = lim µ( = ±∞

lim

1. Se è un qualunque intervallo e

→~ →~

2. Se ), )

Ð lim ¯( lim µ(

→Lh →Lh

3. Se è superiormente limitato e stiamo considerando ), )

Ð lim ¯( lim µ(

→0h →0h

4. Se è inferiormente limitato e stiamo considerando

)

% > 0, lim ∙ log( = 0

Esempio: ~

→l

‘

Sia proviamo che ) ) )

Ð = 0, +∞ ¯( = log( µ( = 1/ ~

(0,

¯ µ +∞)

Posto , definiamo e

• ( )

µ = −%/

e sono continue e derivabili in

u ~L

• ) )

¯( = −∞ lim µ( = +∞

lim

• →l →l

‘ ‘

e

lim = lim = lim = 0 ⟹ lim = lim =0

X− Y X− Y )

( ) ( )

º º( º

ä Ë‘| Ë ä

( ) ) ( )

å ~ ~ å( å

ä ä

→l →l →l →l →l

‘ ‘ ‘ ‘ ‘

Poiché

Esempio: (0, ( )

lim ¯, µ: +∞) → ℝ, ¯, µ ∈ Ó(Ð, ℝ), µ ≠ 0 ∀

)

L‡ˆK( u

)

2 L»¼½(

→Lh

Consideriamo ,

) )

lim ¯( = +∞ lim µ( = +∞. lim =

( ) )

º L»¼½(

ä ( ) )

å 20‡ˆK(

ä

→Lh →Lh →Lh

e D’altra parte, ed è facile

lim =

)

º( )

å( 2

→Lh

vedere che non esiste questo limite, ma

DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE

 " ⊆ ℝ, ¯: " → ℝ ∈ " µ > 0

Definizione: l

«( , µ) ⊆ " ¯ «( , µ). ¯

Sia e sia punto interno. Supponiamo anche tale che

l l

e derivabile in ogni punto di Diciamo che è derivabile due

lim ( )0º ( )

º ä ä m

l 0

→ ‘

se esiste finito il . In tal caso tale limite è detto derivata

volte in m

m ( )

¯ ¯ uu

l l

seconda di in e si indica come 48

) ( )

" = ℝ, ¯( = ) ¯ ℝ ¯ = )

Esempio: u

( ) (¯ ) ( )

∀ ∈ ℝ ¯ ¯ = = )

Sia . Sappiamo che è derivabile in tutti i punti di e ,

uu u u m

l l l

allora si ha che è derivabile due volte in e

) ).

" = ℝ, ¯( = \)J( ¯ ℝ

Esempio:

( ) ), ( )

¯ = (Å\( ∀ ∈ ℝ ¯ ¯ =

Sia Sappiamo che è derivabile in tutti i punti di e

u uu

l l

(¯ ) ( ) )

= = −\)J(

allora si ha che è derivabile due volte in e

u u l l

" ⊆ ℝ, ¯: " → ℝ ∈ " ∃Ý > 0

Definizione: l (J

«( , µ) ∈ " ¯ J «( , µ) > 1). ¯

Sia e sia punto interno. Supponiamo tale che

l l

e sia derivabile volte in Diciamo che è derivabile

( )

J + 1 lim = ¯

( )0º ( )

º } } (KL )

m

l l

0

→ ‘

volte in se esiste finito m

m

Ó(", ℝ) = ¯: " → ℝ continua

Definizione (notazioni):

(",

Ó ℝ) = ¯: " → ℝ derivabile in ", con ¯ ∈ Ó(", ℝ)

1. u u

2. (", (",

Ó ℝ) = ¯: " → ℝ derivabile in ", con ¯ ∈ Ó ℝ)

3. …

(KL ) u K

4. (", (",

Ó ℝ) ⊆ Ó ℝ)

Osservazione:

(KL ) K

(", (", (",

∈ Ó ∈ Ó ∈ Ó(", ℝ)

¯ ∈ Ó ℝ), ¯ ℝ) ⟹ ¯ ℝ) ⟹ ⟹ ¯

(KL ) (K0 )

u K uu K

(", (", (", (",

Ó ℝ) = Ó ℝ) ¯ ∈ Ó ℝ) ⟺ ¯ ∈ Ó ℝ) ∀J

⋂

Se …

Lh

h K h K

KÎ

Ð ⊆ ℝ ¯: Ð → ℝ, ∈ Ð ¯ J

Definizione: l

Ð. ¯, J

Sia un intervallo, punto interno. Supponiamo che sia volte

l

derivabile in Definiamo polinomio di Taylor di punto iniziale e grado come

K ( )

¯ •

(¯) ( ) (¯

í = − = ¯)

î l • l

Ž!

(K, ) l

m •Îl

)

Ð = ℝ, ¯( = ) = 0, J ≥ 1, ¯ J

Esempio: l

Sia . Scegliamo qualunque sia è volte derivabile in

( ) (0) () )

= ) = 1 í = 1 + +

ℝ ¯ ⟹ ¯ + +⋯+

{ § }

K K (K,l) 2 z! K!

tutto e

Ð ⊆ ℝ ¯: Ð → ℝ, ∈ Ð ¯ J

Teorema (di Taylor): l

) (¯) ) ) )

Ð. ∀ ∈ Ð ¯( = í + ß( ß( = Å( −

Sia un intervallo, punto interno. Supponiamo ch