Appunti Analisi 1

1

ℝ

-NUMERI REALI E COMPLESSI + ∶ ℝ × ℝ → ℝ ( , ) → +

Assumiamo l’esistenza di un insieme che soddisfa le seguenti proprietà (o assiomi):

 + = + ∀ , ℝ

1. Esiste una operazione tale che:

• ( )+ +( )

+ = + ∀ , , ℝ

(proprietà commutativa)

• 0 ϵ ℝ + 0 = 0 + = ∀ ϵ ℝ

(proprietà associativa)

• Esiste tale che (esistenza

∀ ϵ ℝ ϵ ℝ + = + = 0 ⟹ = −

elemento neutro)

• esiste un unico tale che

(opposto di ) ⋅ ∶ ℝ × ℝ → ℝ (x, y) → xy

⋅ = ⋅ ∀ , ϵ ℝ

2. Esiste una operazione tale che:

• ( )⋅ ⋅( )

⋅ = ⋅ ∀ , , ϵ ℝ

(proprietà commutativa)

• 1 ϵ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x ∀x ϵ ℝ

(proprietà associativa)

• Esiste tale che (esistenza

elemento neutro)

∀ ϵ ℝ − 0 ϵ ℝ ⋅ = ⋅ =1 ⟹ =

• esiste un unico tale che

⋅( )=

+ ⋅ + ⋅ ∀ , , ϵ ℝ

(inverso di )

• (proprietà distributiva)

≤

≤ ∀ , ℝ

3. Esiste una relazione tale che:

• ≤ ≤ ⟹ = (proprietà riflessiva)

• ≤ ≤ ⟹ ≤ (proprietà anti-simmetrica)

e

• , ℝ, ≤ ≤

(proprietà transitiva)

e

• Presi due qualunque o oppure

≤ ⟹ + ≤ + ∀ , , ϵ ℝ

Tale “≤” è compatibile con “+” e “⋅”, precisamente:

• ≤ ⟹ ⋅ ≤ ⋅ ∀ , , ℝ, > 0

• (",

4. ", # ℝ # ∈ ℝ) % ≤ & ∀% ∈ ", & ∈ # ⟹

∃( ∈ ℝ % ≤ ( ≤ & ∀% ∈ ", & ∈ #

Se sono due sottoinsiemi di tali che

" #)

tale che (( viene chiamato elemento

separatore di e

(ℝ, +,⋅) è detto campo, cioè è una struttura algebrica composta da un insieme non

(ℝ, +,⋅, ≤)

vuoto che ha al suo interno le operazioni di somma e prodotto.

è detto campo totalmente ordinato.

L’assioma 3 viene chiamato “relazione d’ordine”.

(ℝ, +,⋅, ≤)

L’assioma 4 viene chiamato “assioma di completezza”. Con questo ultimo assioma si

dice che è un campo totalmente ordinato completo. 2

CONSEGUENZE DI (1), (2) E (3)

 • ) ∈ ℝ + ) = ) + = ∀ ℝ, ) = 0

0 è unico

Se è tale che allora

0 ),

Dimostrazione:

0+ = ⟹ 0+) =)

Applicando la definizione di e di si ha:

)+ = ⟹ )+0=0

) =)+0=0 ⟹ ) =0

Implica che:

• ∃) ∈ ℝ ⋅ ) = ) ⋅ = ∀ ∈ ℝ, ) = 1

1 è unico

Se è tale che allora

1 ),

Dimostrazione:

1⋅ = ⟹ 1⋅) =)

Applicando la definizione di e di si ha:

)⋅ = ⟹ )⋅1= 1

) =)⋅1=1 ⟹ ) =1

Implica che:

+ = + ⟹ =

• Se ( ) (− ) ( ) (− )

+ = + ⟹ + + = + + ⟹

Dimostrazione:

+( )= +( )

⟹ − − ⟹ +0= +0 ⟹ =

⋅ = ⋅ ⟹ =

• Se 1 1

Dimostrazione: ( )⋅* =( )⋅*

⋅ = ⋅ ⟹ ⋅ ⋅ ⟹

+ +

1 1

⟹ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⟹ ⋅1= ⋅1 ⟹ =

, * +- , * +-

≠ 0

Solo se

⋅0= 0 ∀ ℝ

• ( ( ( (1

+ ⋅ 0) = ⋅ 1) + ⋅ 0) = ⋅ + 0) = = + 0 ⟹

Dimostrazione:

(

⟹ + ⋅ 0) = + 0 ⟹ ⋅ 0 = 0

ℝ ⋅ 0 = 0 ⋅ = 1 ⟹ 0 ≠ 1

Quindi non esiste nessun per cui

) (− ) (− )

−( ⋅ = ⋅ = ⋅

• ) ) ) (− )

−( ⋅ = −( ⋅ ⋅ 1 = −( ⋅ ⋅ = ⋅

Dimostrazione: /

/ 3

) (− ) (− )

−( + = +

• (− ) (− ) ( ) (− ) (− )

+ + + = + + + = 0 ⟹

Dimostrazione:

( ) (− ) (− ) ( ) ( ) (− ) (− ) )

+ + + − + = 0 − + ⟹ + = −( +

(−1)

− = ⋅

• (−1) (−1) (1

+ ⋅ = 1 ⋅ + ⋅ = ⋅ − 1) = 0 ⋅ = 0 ⟹

Dimostrazione:

(− ) (−1) (−1)

⟹ + = 0 = + ⋅ ⟹ − = ⋅

(− ) (− )

⋅ = ⋅

• (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− )

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =

Dimostrazione:

(− ) (− ) (− ) ( ) (− ) (− )

= ⋅ 0 = 0 ⟹ ⋅ − ⋅ = 0 ⟹ ⋅ = ⋅

⋅ = 0, = 0 = 0

• Se allora oppure

⋅ = 0 ≠ 0, ∃x 0 = ⋅ = (x )( ⋅ ) =

Dimostrazione: 0 0

= (x ⋅ ) ⋅ = ⟹ = 0

Infatti, se e allora tale che

0 (− )

≥ 0, ≤ 0

• Se allora

(− ) (− ) (− )

+ ≥ 0 + ⟹ 0 ≥

Dimostrazione: (− ) (− )

≤ ≥

• Se , allora

(− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− )

+ + ≤ + + ⟹ ≤

Dimostrazione:

= ⋅ ≥ 0

∀ ℝ, 2

• ≥ 0 ⟹ ⋅ ≥ 0 ⋅ ⟹ ≥ 0

Dimostrazione: 2

(− ) (− ) (− ) (− )

≤ 0 ⟹ ≥ 0 ⟹ ⋅ ≥ 0 ⋅ ⟹ ≥0

1. Per 2

2. Per

1>0

• 1 ≥ 0 , 1 ≠ 0 ⟹ 1 > 0

Dimostrazione:

2 4

CONSEGUENZE DI (4)

 " ⊆ ℝ, 4 ∈ ℝ " 4 ≥ % ∀% ∈ "

Definizione:

" ⊆ ℝ, 5 ∈ ℝ " 5 ≤ % ∀% ∈ "

1. Sia diciamo che è un maggiorante di se

2. Sia diciamo che è un minorante di se

" = 0,1 = ∈ ℝ | 0 ≤ ≤ 1

Esempio:

5 = 0 " ∈ ", ≥ 0

Sia , allora:

• 4 = 1 " ∈ ", ≤ 1

è un minorante di se

• è un maggiorante di se

" ⊆ ℝ, 7 ∈ ℝ "

Definizione: 7∈"

1. Sia diciamo che è un minimo di se:

• 7 ≤ % ∀% ∈ "

" ⊆ ℝ, 8 ∈ ℝ "

• 8∈"

2. Sia diciamo che è un massimo di se:

• 8 ≥ % ∀% ∈ "

•

" ⊆ ℝ 8 8

Osservazione: 2

":

Se ammette il massimo (o minimo), questo è unico. Infatti, se e sono due

8 8 ∈ " ⟹ 8 ≥ 8

massimi di 2 2

• 8 8 ∈ " ⟹ 8 ≥ 8

Siccome è un massimo e

2 2

• = 8

8

Siccome è un massimo e

2

Quindi

Stessa considerazione per il minimo

" ⊆ ℝ 4 = ∈ ℝ | ≥ % ∀% ∈ " ".

Definizione: " (sup|"|)

4 "

1. Sia e sia l’insieme dei maggioranti di

"

" ⊆ ℝ 5 = ∈ ℝ | ≤ % ∀% ∈ " ".

Se ha un minimo, questo minimo si chiama estremo superiore di

" (inf|"|)

5 "

2. Sia e sia l’insieme dei minoranti di Se

" ha un massimo, questo massimo si chiama estremo inferiore di

" ⊆ ℝ 8, 8 = sup|"|

Osservazione:

" ⊆ ℝ 7, 7 = inf|"|

1. Se ha massimo allora

2. Se ha minimo allora

" = 0,1) = ∈ℝ | 0≤ < 1 0 = min(") ⟹ "

Esempio:

inf|"| = 0

Sia , siccome ha estremo inferiore

e 5

ℝ):

" ⊆ ℝ 4 ≠ 0), ∃ sup|"|

Teorema (di completezza di "

2. " ⊆ ℝ 5 ≠ 0), ∃ inf|"|

1. Se ammette un maggiorante (cioè allora

"

Se ammette un minorante (cioè allora

4 ", " 4

Dimostrazione: " "

% ≤ & ∀% ∈ ", & ∈ 4 ∃( ∈ ℝ % ≤ ( ≤ & ⟹ ( = sup|"|

Consideriamo gli insiemi e e per ipotesi sia che non sono vuoti e in più

"

≠ 0 "

4 . Per l’assioma (4), tale che

"

• 5 ≠ 0 "

diremo che è superiormente limitato

Se "

• Se diremo che è inferiormente limitato

ℝ

SOTTOINSIEMI NOTEVOLI DI

 " ⊆ ℝ

Definizione:

1 ∈ "

Un sottoinsieme è induttivo se: %, % + 1

1.

2. Ogni volta che contiene un certo numero scalare contiene anche

ℝ " = ∈ ℝ | ≥ 0 = 0, +∞

Esempio:

• " = 1 ∪ 2, +∞) = 1 ∪ ∈ ℝ | > 2

è induttivo, è induttivo

• " = 0, 1) 1 ∉ " è induttivo

• " = 0, 1 = ∈ ℝ | 0 ≤ ≤ 1 1 ∈ " 1 + 1 ∉ "

non è induttivo perché

• non è induttivo perché ma

", # ⊆ ℝ ⟹ " ∩ # ≠ 0)

Osservazione:

Se sono induttivi è induttivo (se

(ℕ) ℝ

Definizione: ℕ = 1, 2, 3, … = 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …

Chiamiamo insieme dei numeri naturali il più piccolo sottoinsieme induttivo di

0 ∉ ℕ

Osservazione:

(0,

ℕ ⊂ +∞)

1.

2. " ⊆ ℕ

Teorema (principio di induzione):

1 ∈ "

Supponiamo che tale che:

J ∈ " ⟹ J + 1 ∈ "

1. " = ℕ

2. Se (per un certo n)

Allora 6

" ⊆ ℕ, " ℕ ℝ,

Dimostrazione:

ℕ⊆" ⟹ "=ℕ

Per ipotesi, poiché è induttivo e è il più piccolo sottoinsieme induttivo di

(0,

ℕ ⊂ +∞):

" = ∈ ℕ | ≥ 1 ⊆ ℕ, "

Dimostrazione (per induzione) di

1∈"

Sia ebbene è induttivo

• " J, J ≥ 1 ⟹ J + 1 ≥ 2 > 1 ⟹ J + 1 ∈ " ⟹ " = ℕ

• Se contiene un certo cioè

(1 )

≥ 1 + ≥ 1 + J ∀J ∈ ℕ

Teorema (disuguaglianza di Bernoulli):

K

Sia fissato, allora

(1 )

" = J ∈ ℕ | + ≥ 1 + J ⊆ ℕ

Dimostrazione: K

(1 )

1 ∈ " + ≥ 1 +

Sia • (1 )

J ∈ " + ≥ 1 + J

K

• (1 ) (1 ) (1 )

+ = + +

Supponiamo di sapere che un certo tale che ,

KL K

(1 ) (1 ) (1 )(1 )

J ∈ " ⟹ + + ≥ + J + =

allora K

(J (J

= 1 + + 1) + J ≥ 1 + + 1) ⟹ J + 1 ∈ "

= 1 + + J + J

Ma siccome 2 2

ℤ = ℕ ∪ 0 ∪ J ∈ ℕ | − J

Definizione: ∀x −x ⟹ ℤ = 0, 1, −1, 2, −2, …

Si chiama insieme dei numeri interi l’insieme

sappiamo che esiste un unico

ℕ ⊆ ℤ, ℕ ≠ ℤ 0 ∈ ℤ, 0 ∉ ℕ) ⟹ ℕ ⊂ ℤ

Osservazione:

ma (ad esempio

Definizione: ℚ = OPQ = | P ∈ ℤ, Q ∈ ℤ − 0 T

R

0 S

Si chiama insieme dei numeri razionali l’insieme

⁄ ⁄

ℤ ⊆ ℚ, ℤ ≠ ℚ 1 2 ∈ ℚ, 1 2 ∉ ℤ) ⟹ ℤ ⊂ ℚ

Osservazione:

ma (ad esempio

Teorema:

7 + J ∈ ℕ, 7 ⋅ J ∈ ℕ ∀7, J ∈ ℕ

Valgono questi fatti:

7 + J ∈ ℤ, 7 ⋅ J ∈ ℤ ∀7, J ∈ ℤ

1. 7 + J ∈ ℚ, 7 ⋅ J ∈ ℚ ∀7, J ∈ ℚ

2.

3. 7

ℕ, ℤ, ℚ ℝ

ℕ

ALCUNE PROPRIETÀ DI RISPETTO A

 • ℕ

non è superiormente limitato

∃8 = sup|"|.

Infatti, supponiamo per assurdo che sia superiormente limitato. Implica che,

8 ≥ J ∀J ∈ ℕ

per il teorema di completezza, Allora:

• 8 − 1 ≤ 8 ℕ

• 7 ∈ ℕ 8 − 1 ≤ 7 ⟹ 8 ≤ 7 + 1

non è un maggiorante di

Allora esiste un certo tale che (quindi non può

esistere)

ℝ

• ∀ , ∈ ℝ, 0 < < , ∃J ∈ ℕ J >

è archimedeo tale che

∃ , ∈ ℝ, 0 < < , J ≤ ∀J ∈ ℕ

Dimostrazione:

J ≤ / ∀J ∈ ℕ. ℕ

Supponiamo, per assurdo, che tale che e

quindi Se fosse vero, sarebbe superiormente limitato, cosa

che non è

" ⊆ ℕ "

• Se superiormente limitato, allora è finito e ha massimo

∃8 = sup|"| ∈ ℝ, ℕ

Dimostrazione: % ∈ ℕ % > 8. J ∈ ",

Per l’assioma di completezza ma poiché però non è

J ≤ 8 < % ⟹ " = 0, 1, … , % − 1 ⟹ "

superiormente limitato, esiste un certo tale che Allora se

che implica che è finita e ha massimo

∈ ℕ, P ∈ ℤ P ≤ <P+1

• P =

Preso un qualunque esiste un unico tale che

(si indica come la parte intera di )

ℚ ℝ

• ∀ , ∈ ℝ, < ∃W ∈ ℚ < W <

Densità di in , tale che

− > 0, ∃J ∈ ℕ

Dimostrazione:

Per ipotesi quindi per la proprietà archimedea tale che

)

J( − > 1 ⟹ J > J + 1 > + 7 = J + 1,

X Y.

K Sia allora:

7∈ℤ

• J <7 <J +1<J ⟹ J <7 <J ⟹ < 7/J <

• ∈ ℝ

Definizione (del valore assoluto): \) ≥0

Per ogni si pone: | | = max , − =[ − \) ≥0

| | ≥ 0 ∀

Proprietà:

1. 8

| | | |

= 0 ⟺ = 0, = 0 ⟹ − = 0 ⟹ = max , − = 0

| |

W > 0, < W ⟹ −W < < W

2. infatti se

≤| |<W ⟹ <W

3. Dato allora

| | < W ⟹ ^ | |

− ≤ < W ⟹ > −W

Infatti, se

| | | | | |

+ ≤ + | |, | | | | | |

≤ ≤ ⟹ + ≤ +

4. (disuguaglianza triangolare)

| |, | | ) | | | |

− ≤ − ≤ ⟹ −( + ≤ + ⟹

Per definizione | | |)

⟹ + ≥ −(| +

Ma anche | | |) | | | |,

−(| + ≤ + ≤ +

| |≤| |+| |

+

Quindi che per la terza proprietà vale:

-LIMITI DI SUCCESSIONI ℝ) %: ℕ → ℝ

Definizione (di successione):

%: ℕ → ℝ

Chiamiamo successione (in una qualunque funzione

≡ %(J)

%

Oppure, se è una successione, scriveremo:

K

% %

1. K K∈ℕ ℕ

2. per indicare la successione

La successione non è una linea continua, ma è una sequenza di punti in

%: ℕ → ℝ, %(J) = 1/J ⟹ 1/J

Esempio: K∈ℕ

• (−1) K K∈ℕ

• % ℝ. %

Definizione: K K∈ℕ K K∈ℕ

" = % , % , … , ⊆ ℝ

1. Sia una successione in Si dice che è superiormente limitata se

2

% ℝ. %

risulta che l’insieme sia superiormente limitato

K K∈ℕ K K∈ℕ

" = % , % , … , ⊆ ℝ

2. Sia una successione in Si dice che è inferiormente limitata se

2

risulta che l’insieme sia inferiormente limitato

(−1) " = 1, −1 ⟹

Esempio: K K∈ℕ

• (0

1/J " < 1/J < 1)

, la successione è limitata

K∈ℕ

• , poiché è limitata anche la successione è limitata

% ⟺ ∃8 ∈ ℝ | % ≤ 8 ∀J ∈ ℕ

Osservazione: K K∈ℕ K

% ⟺ ∃7 ∈ ℝ | % ≥ 7 ∀J ∈ ℕ

1. Una successione è superiormente limitata

K K∈ℕ K

|% | (−a

⟺ ∃a > 0 tale che ≤ a ∀J ∈ ℕ ≤ % ≤ a)

%

2. Una successione è inferiormente limitata

K K∈ℕ K K

è limitata

Quindi 9

% ℝ g ∈ ℝ. % → g J → +∞

Definizione (di limite di successioni):

K K∈ℕ K

Sia una successione in e sia Diciamo che per

|%

lim % = gY ∀i > 0 ∃Jj − g| < i ∀J ∈ ℕ, J ≥ Jj

X K k K k

K→Lh se tale che

−i < % − g < i ⟹ −i + g < % < i + g

K K

cioè lim 1/J = 0

Esempio: K→Lh

• Dimostriamo che i > 0. ∃Jj ∈ ℕ

k

|1/J − 0| < i ∀J ≥ Jj

Scegliamo un qualunque Dobbiamo dimostrare che tale che

k . Per la proprietà archimedea (ℕ non è superiormente

∃J ∈ ℕ J > 1/i, ∀J ≥ J ≤ <i

l l l K K

limitato) tale che allora si ha che m

J = Jj

l k

(−1)

lim

Quindi il limite è dimostrato per K

K→Lh

• Dimostriamo che non esiste (−1) = g

∃g ∈ ℝ lim K

K→Lh

Infatti, supponiamo per assurdo che tale che

|(−1)

∀i > 0 ∃Jj ∈ ℕ − g| < i ∀J ≥ Jj

K

k k

|1

J ≥ Jj , J ⟹ − g| < i ⟹ g = 1

Allora tale che

k

• |−1

J ≥ Jj , J ⟹ − g| < i ⟹ g = −1

Se pari

k

• Se dispari

% ℝ. %

Teorema (di unicità del limite):

K K∈ℕ K K∈ℕ

Sia una successione in Se ha limite, questo è unico

g , g ∈ ℝ % g = g

Dimostrazione:

2 K K∈ℕ 2

i > 0

Siano due limiti di . Proviamo che .

|% |

lim % = g ⟹ ∃Jj ∈ ℕ − g < i J ≥ Jj

Infatti, sia fissato arbitrariamente:

K k K k

K→Lh

• tale che se

|% |

lim % = g ⟹ ∃7

n ∈ ℕ − g < i J ≥ 7

n

K 2 k K 2 k

K→Lh

• tale che se

|g | |(g ) (% )|

J ≥ max Jj , 7

n ⟹ − g = − % + − g ≤

k k 2 K K 2

|g | |% | |g |

≤ − % + − g < i + i = 2i ⟹ − g < 2i ⟹ g = g

Allora, se K K 2 2 2

g − g = 0 i > 0

2

Poiché perché

% ℝ. % %

Osservazione:

K K∈ℕ K K∈ℕ K K∈ℕ

|%

i = 1 ∃Jj − g| < 1 ∀J ≥ Jj

Sia una successione in Se ha limite, allora è limitata

k K k

|% | |(% |% |g| |g|

= − g) + g| ≤ − g| + < + 1 ∀J ≥ Jj

Infatti, scelto tale che

K K K k

|% |, |% |, |% |, |g| |% |

" = … , + 1 ⟹ ≤ "