Appunti Analisi 1

1ℝ-Numeri reali e complessi + ∀ ℝ × ℝ → ℝ ( , ) → +

Assumiamo l’esistenza di un insieme che soddisfa le seguenti proprietà (o assiomi): + = + ∀ , ℝ

1. Esiste una operazione tale che:

• ( )+ +( )+ = + ∀ , , ℝ (proprietà commutativa)
• 0 ∈ ℝ + 0 = 0 + = ∀ ∈ ℝ (proprietà associativa)
• Esiste tale che (esistenza ∀ ∈ ℝ ∈ ℝ + = + = 0 ⟹ = − elemento neutro)
• Esiste un unico tale che (opposto di ) · ∀ ℝ × ℝ → ℝ (x, y) → xy

· = · ∀ , ∈ ℝ

2. Esiste una operazione tale che:

• ( )· ·( )· = · ∀ , , ∈ ℝ (proprietà commutativa)
• 1 ∈ ℝ x · 1 = 1 · x = x ∀x ∈ ℝ (proprietà associativa)
• Esiste tale che (esistenza elemento neutro) ∀ ∈ ℝ − 0 ∈ ℝ · = · =1 ⟹ =
• Esiste un unico tale che ·( )=+ · + · ∀ , , ∈ ℝ (inverso di )
• (proprietà distributiva)

≤≤ ∀ , ℝ

3. Esiste una relazione tale che:

• ≤ ≤ ⟹ = (proprietà riflessiva)
• ≤ ≤ ⟹ ≤ (proprietà anti-simmetrica) e
• , ℝ, ≤ ≤ (proprietà transitiva) e
• Presi due qualunque o oppure ≤ ⟹ + ≤ + ∀ , , ∈ ℝ

Tale “≤” è compatibile con “+” e “·”, precisamente:

• ≤ ⟹ · ≤ · ∀ , , ℝ, > 0
• (",4. ", # ℝ # ∈ ℝ) % ≤ & ∀% ∈ ", & ∈ # ⟹∃( ∈ ℝ % ≤ ( ≤ & ∀% ∈ ", & ∈ #

Se sono due sottoinsiemi di tali che" #) tale che (( viene chiamato elemento separatore di e (ℝ, +,·) è detto campo, cioè è una struttura algebrica composta da un insieme non (ℝ, +,·, ≤) vuoto che ha al suo interno le operazioni di somma e prodotto.

È detto campo totalmente ordinato. L’assioma 3 viene chiamato “relazione d’ordine”. (ℝ, +,·, ≤)

L’assioma 4 viene chiamato “assioma di completezza”. Con questo ultimo assioma si dice che è un campo totalmente ordinato completo.

2 Conseguenze di (1), (2) e (3)

 • ) ∈ ℝ + ) = ) + = ∀ ℝ, ) = 0

0 è unico. Se è tale che allora 0 ),

Dimostrazione: 0+ = ⟹ 0+) = )

Applicando la definizione di e di si ha: )+ = ⟹ )+0=0) = )+0=0 ⟹ ) =0

Implica che:

• ∃) ∈ ℝ · ) = ) · = ∀ ∈ ℝ, ) = 1

1 è unico. Se è tale che allora 1 ),

Dimostrazione: 1· = ⟹ 1·) = )

Applicando la definizione di e di si ha: )· = ⟹ )·1= 1) = )·1=1 ⟹ ) =1

Implica che:

• Se + = + ⟹ =

( ) (− ) ( ) (− ) + = + ⟹ + + = + + ⟹

Dimostrazione: +( )= +( ) ⟹ − − ⟹ +0= +0 ⟹ =

• Se · = · ⟹ =

1 1

Dimostrazione: ( )·* =( )·*· = · ⟹ · · ⟹ + +1 1 ⟹ · · = · · ⟹ ·1= ·1 ⟹ =, * +- , * +-≠ 0

Solo se ·0= 0 ∀ ℝ

• ( ( ( (1+ · 0) = · 1) + · 0) = · + 0) = = + 0 ⟹

Dimostrazione: (⟹ + · 0) = + 0 ⟹ · 0 = 0

ℝ · 0 = 0 · = 1 ⟹ 0 ≠ 1

Quindi non esiste nessun per cui ) (− ) (− )−( · = · = ·

• ) ) ) (− )−( · = −( · · 1 = −( · · = ·

Dimostrazione: // 3) (− ) (− )−( + = +

• (− ) (− ) ( ) (− ) (− )+ + + = + + + = 0 ⟹

Dimostrazione: ( ) (− ) (− ) ( ) ( ) (− ) (− ) )+ + + − + = 0 − + ⟹ + = −( +

• (−1)− = ·

(−1) (−1) (1+ · = 1 · + · = · − 1) = 0 · = 0 ⟹

Dimostrazione: (− ) (−1) (−1) ⟹ + = 0 = + · ⟹ − = ·

• (− ) (− )· = ·

(− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− )· + · = · + · = · + =

Dimostrazione: (− ) (− ) (− ) ( ) (− ) (− )= · 0 = 0 ⟹ · − · = 0 ⟹ · = ·

· = 0, = 0 = 0

• Se allora oppure · = 0 ≠ 0, ∃x 0 = · = (x )( · ) =

Dimostrazione: 0 0= (x · ) · = ⟹ = 0

Infatti, se e allora tale che 0 (− )≥ 0, ≤ 0

• Se allora (− ) (− ) (− )+ ≥ 0 + ⟹ 0 ≥

Dimostrazione: (− ) (− )≤ ≥

• Se , allora (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) (− )+ + ≤ + + ⟹ ≤

Dimostrazione: = · ≥ 0

∀ ℝ, 2

• ≥ 0 ⟹ · ≥ 0 · ⟹ ≥ 0

Dimostrazione: 2 (− ) (− ) (− ) (− )≤ 0 ⟹ ≥ 0 ⟹ · ≥ 0 · ⟹ ≥ 0

1. Per 2

2. Per 1>0

• 1 ≥ 0 , 1 ≠ 0 ⟹ 1 > 0

Dimostrazione: 2

4 Conseguenze di (4)

 " ⊆ ℝ, 4 ∈ ℝ " 4 ≥ % ∀% ∈ "

Definizione:

" ⊆ ℝ, 5 ∈ ℝ " 5 ≤ % ∀% ∈ "

1. Sia diciamo che è un maggiorante di se

2. Sia diciamo che è un minorante di se

" = 0,1 = ∈ ℝ | 0 ≤ ≤ 1

Esempio:

5 = 0 " ∈ ", ≥ 0

Sia , allora:

• 4 = 1 " ∈ ", ≤ 1 è un minorante di se
• È un maggiorante di se

" ⊆ ℝ, 7 ∈ ℝ "

Definizione: 7∈"

1. Sia diciamo che è un minimo di se:

• 7 ≤ % ∀% ∈ "

" ⊆ ℝ, 8 ∈ ℝ "

• 8∈"

2. Sia diciamo che è un massimo di se:

• 8 ≥ % ∀% ∈ "
• " ⊆ ℝ 8 8

Osservazione: 2": Se ammette il massimo (o minimo), questo è unico. Infatti, se e sono due 8 8 ∈ " ⟹ 8 ≥ 8

massimi di 2 2

• 8 8 ∈ " ⟹ 8 ≥ 8

Siccome è un massimo e 2 2

• = 88

Siccome è un massimo e 2

Quindi

Stessa considerazione per il minimo

" ⊆ ℝ 4 = ∈ ℝ | ≥ % ∀% ∈ " ".

Definizione: " (sup| "|)4 "

1. Sia e sia l’insieme dei maggioranti di "

" ⊆ ℝ 5 = ∈ ℝ | ≤ % ∀% ∈ " ".

Se ha un minimo, questo minimo si chiama estremo superiore di " (inf| "|)5 "

2. Sia e sia l’insieme dei minoranti di Se " ha un massimo, questo massimo si chiama estremo inferiore di

" ⊆ ℝ 8, 8 = sup| "|

Osservazione:

" ⊆ ℝ 7, 7 = inf| "|

1. Se ha massimo allora

2. Se ha minimo allora

" = 0,1) = ∈ℝ | 0≤ < 1 0 = min(")

⟹ "

Esempio: inf| "| = 0

Sia , siccome ha estremo inferiore e 5

ℝ): " ⊆ ℝ 4 ≠ 0), ∃ sup| "|

Teorema (di completezza di ")

2. " ⊆ ℝ 5 ≠ 0), ∃ inf| "|

1. Se ammette un maggiorante (cioè allora "

Se ammette un minorante (cioè allora

4 ", " 4

Dimostrazione: " "% ≤ & ∀% ∈ ", & ∈ 4 ∃( ∈ ℝ % ≤ ( ≤ & ⟹ ( = sup| "|

Consideriamo gli insiemi e e per ipotesi sia che non sono vuoti e in più "

"≠ 0 "4 . Per l’assioma (4), tale che

• 5 ≠ 0 " diremo che è superiormente limitato se "
• Se diremo che è inferiormente limitato

Sottoinsiemi notevoli di ℝ

 " ⊆ ℝ

Definizione:

1 ∈ "

Un sottoinsieme è induttivo se: %, % + 1

1.

2. Ogni volta che contiene un certo numero scalare contiene anche

ℝ " = ∈ ℝ | ≥ 0 = 0, +∞

Esempio:

• " = 1 ∪ 2, +∞;) = 1 ∪ ∈ ℝ | > 2 è induttivo, è induttivo
• " = 0, 1) 1 ∉ " è induttivo
• " = 0, 1 = ∈ ℝ | 0 ≤ ≤ 1 1 ∈ " 1 + 1 ∉ " non è induttivo perché
• Non è induttivo perché ma

", # ⊆ ℝ ⟹ " ∩ # ≠ 0)

Osservazione: Se sono induttivi è induttivo (se

(ℕ) ℝ

Definizione: ℕ = 1, 2, 3, … = 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …

Chiamiamo insieme dei numeri naturali il più piccolo sottoinsieme induttivo di

0 ∉ ℕ

Osservazione:

(0,ℕ ⊂ +∞)

1.

2. " ⊆ ℕ

Teorema (principio di induzione):

1 ∈ "

Supponiamo che tale che:

J ∈ " ⟹ J + 1 ∈ "

1. " = ℕ

2. Se (per un certo n)

Allora 6

" ⊆ ℕ, " ℕ ℝ,

Dimostrazione: ℕ⊆" ⟹ "=ℕ

Per ipotesi, poiché è induttivo e è il più piccolo sottoinsieme induttivo di

(0,ℕ ⊂ +∞): " = ∈ ℕ | ≥ 1 ⊆ ℕ, "

Dimostrazione (per induzione) di

1∈"

Sia e ebbene è induttivo

• " J, J ≥ 1 ⟹ J + 1 ≥ 2 > 1 ⟹ J + 1 ∈ " ⟹ " = ℕ
• Se contiene un certo cioè

(1 )≥ 1 + ≥ 1 + J ∀J ∈ ℕ

Teorema (disuguaglianza di Bernoulli):

K

Sia fissato, allora

(1 )" = J ∈ ℕ | + ≥ 1 + J ⊆ ℕ

Dimostrazione: K

(1 )1 ∈ " + ≥ 1 +

Sia

• (1 )J ∈ " + ≥ 1 + JK
• (1 ) (1 ) (1 )+ = + +

Supponiamo di sapere che un certo tale che ,KL K

(1 ) (1 ) (1 )(1 )J ∈ " ⟹ + + ≥ + J + =

allora K

(J (J= 1 + + 1) + J ≥ 1 + + 1) ⟹ J + 1 ∈ "

= 1 + + J + J

Ma siccome 2 2

ℤ = ℕ ∪ 0 ∪ J ∈ ℕ | − J

Definizione: ∀x −x ⟹ ℤ = 0, 1, −1, 2, −2, …

Si chiama insieme dei numeri interi l’insieme

sappiamo che esiste un unico

ℕ ⊆ ℤ, ℕ ≠ ℤ 0 ∈ ℤ, 0 ∉ ℕ) ⟹ ℕ ⊂ ℤ

Osservazione: ma (ad esempio

Definizione: ℚ = OPQ = | P ∈ ℤ, Q ∈ ℤ − 0 TR0 S

Si chiama insieme dei numeri razionali l’insieme

⁄ ⁄

ℤ ⊆ ℚ, ℤ ≠ ℚ 1 2 ∈ ℚ, 1 2 ∉ ℤ) ⟹ ℤ ⊂ ℚ

Osservazione: ma (ad esempio

Teorema:

7 + J ∈ ℕ, 7 · J ∈ ℕ ∀7, J ∈ ℕ

Valgono questi fatti:

7 + J ∈ ℤ, 7 · J ∈ ℤ ∀7, J ∈ ℤ

1. 7 + J ∈ ℚ, 7 · J ∈ ℚ ∀7, J ∈ ℚ

2.

3. 7

ℕ, ℤ, ℚ ℝ

ℕ

Alcune proprietà di ℝ rispetto a

 • ℕ non è superiormente limitato

∃8 = sup| "|.

Infatti, supponiamo per assurdo che sia superiormente limitato. Implica che,

8 ≥ J ∀J ∈ ℕ

per il teorema di completezza, allora:

• 8 − 1 ≤ 8 ℕ
• 7 ∈ ℕ 8 − 1 ≤ 7 ⟹ 8 ≤ 7 + 1

Non è un maggiorante di

Allora esiste un certo tale che (quindi non può esistere)

ℝ

• ∀ , ∈ ℝ, 0 < < , ∃J ∈ ℕ J > è archimedeo tale che

∃ , ∈ ℝ, 0 < < , J ≤ ∀J ∈ ℕ

Dimostrazione:

J ≤ / ∀J ∈ ℕ. ℕ

Supponiamo, per assurdo, che tale che e quindi Se fosse vero, sarebbe superiormente limitato, cosa che non è

" ⊆ ℕ "

• Se superiormente limitato, allora è finito e ha massimo

∃8 = sup| "| ∈ ℝ, ℕ

Dimostrazione: % ∈ ℕ % > 8. J ∈ ",

Per l’assioma di completezza ma poiché però non è

J ≤ 8 < % ⟹ " = 0, 1, … , % − 1 ⟹ "

Superiormente limitato, esiste un certo tale che Allora se che implica che è finita e ha massimo

∈ ℕ, P ∈ ℤ P ≤ <P+1

• P =

Preso un qualunque esiste un unico tale che (si indica come la parte intera di )

ℚ ℝ

• ∀ , ∈ ℝ, < ∃W ∈ ℚ < W <

Densità di ℚ in ℝ, tale che

− > 0, ∃J ∈ ℕ

Dimostrazione: Per ipotesi quindi per la proprietà archimedea tale che

)J( − > 1 ⟹ J > J + 1 > + 7 = J + 1, X Y.

K Sia allora:

7∈ℤ

• J <7 <J +1<J ⟹ J <7 <J ⟹ < 7/J <

Valore assoluto

∈ ℝ

Definizione (del valore assoluto): \) ≥0

Per ogni si pone: | | = max , − =[ − \) ≥0

| | ≥ 0 ∀

Proprietà:

1. 8| | | |= 0 ⟺ = 0, = 0 ⟹ − = 0 ⟹ = max , − = 0

| |W > 0, < W ⟹ −W < < W

2. Infatti se

≤| |<W ⟹ <W

3. Dato allora

| | < W ⟹ ^ | |− ≤ < W ⟹ > −W

Infatti, se

| | | | | |+ ≤ + | |, | | | | | |≤ ≤ ⟹ + ≤ +

4. (disuguaglianza triangolare)

| |, | | ) | | | |− ≤ − ≤ ⟹ −( + ≤ + ⟹

Per definizione | | |)⟹ + ≥ −(| +

Ma anche | | |) | | | |,−(| + ≤ + ≤ +| |≤| |+| |+

Quindi che per la terza proprietà vale:

Limiti di successioni ℝ

) %: ℕ → ℝ

Definizione (di successione):

%: ℕ → ℝ

Chiamiamo successione (in una qualunque funzione

≡ %(J)

Oppure, se è una successione, scriveremo:

K% %

1. K K∈ℕ ℕ

2. Per indicare la successione

La successione non è una linea continua, ma è una sequenza di punti in

%: ℕ → ℝ, %(J) = 1/J ⟹ 1/JEsempio: K∈ℕ

• (−1) K K∈ℕ
• % ℝ. %

Definizione: K K∈ℕ K K∈ℕ

" = % , % , … , ⊆ ℝ

1. Sia una successione in Si dice che è superiormente limitata se

2% ℝ. %

Risulta che l’insieme sia superiormente limitato

K K∈ℕ K K∈ℕ

" = % , % , … , ⊆ ℝ

2. Sia una successione in Si dice che è inferiormente limitata se

2

Risulta che l’insieme sia inferiormente limitato

(−1) " = 1, −1 ⟹

Esempio: K K∈ℕ

• (01/J " < 1/J < 1), la successione è limitata
• K∈ℕ, poiché è limitata anche la successione è limitata

% ⟺ ∃8 ∈ ℝ | % ≤ 8 ∀J ∈ ℕ

Osservazione: K K∈ℕ K

% ⟺ ∃7 ∈ ℝ | % ≥ 7 ∀J ∈ ℕ

1. Una successione è superiormente limitata

K K∈ℕ K

|% | (−a⟺ ∃a > 0 tale che ≤ a ∀J ∈ ℕ ≤ % ≤ a)%

2. Una successione è inferiormente limitata

K K∈ℕ K K

È limitata

Quindi 9

% ℝ g ∈ ℝ. % → g J → +∞

Definizione (di limite di successioni): K K∈ℕ K

Sia una successione in e sia Diciamo che per

|%lim % = gY ∀i > 0 ∃Jj − g| < i ∀J ∈ ℕ, J ≥ JjX K k K kK→Lh se tale che

−i < % − g < i ⟹ −i + g < % < i + g

K K

Cioè lim 1/J = 0

Esempio: K→Lh

• Dimostriamo che i > 0. ∃Jj ∈ ℕk|1/J − 0| < i ∀J ≥ Jj

Scegliamo un qualunque Dobbiamo dimostrare che tale che k . Per la proprietà archimedea (ℕ non è superiormente

∃J ∈ ℕ J > 1/i, ∀J ≥ J ≤ < il l l K K

Limitato) tale che allora si ha che mJ = Jjl k

(−1)lim

Quindi il limite è dimostrato per KK→Lh

• Dimostriamo che non esiste (−1) = g

∃g ∈ ℝ lim KK→Lh

Infatti, supponiamo per assurdo che tale che

|(−1)∀i > 0 ∃Jj ∈ ℕ − g| < i ∀J ≥ Jj

Kk k

|1J ≥ Jj , J ⟹ − g| < i ⟹ g = 1

Allora tale che k

• |−1J ≥ Jj , J ⟹ − g| < i ⟹ g = −1
• Se pari k
• Se dispari

% ℝ. %

Teorema (di unicità del limite): K K∈ℕ K K∈ℕ

Sia una successione in Se ha limite, questo è unico

g , g ∈ ℝ % g = g

Dimostrazione: 2 K K∈ℕ 2

i > 0

Siano due limiti di . Proviamo che .

|% |lim % = g ⟹ ∃Jj ∈ ℕ − g < i J ≥ Jj

Infatti, sia fissato arbitrariamente: K k K kK→Lh

• Tale che se

|% |lim % = g ⟹ ∃7n ∈ ℕ − g < i J ≥ 7n

K 2 k K 2 kK→Lh

• Tale che se

|g | |(g ) (% )|J ≥ max Jj , 7n ⟹ − g = − % + − g ≤

k k 2 K K 2

|g | |% | |g |≤ − % + − g < i + i = 2i ⟹ − g < 2i ⟹ g = g

Allora, se K K 2 2 2

g − g = 0 i > 0

Poiché perché

% ℝ. % %

Osservazione: K K∈ℕ K K∈ℕ K K∈ℕ

|%i = 1 ∃Jj − g| < 1 ∀J ≥ Jj

Sia una successione in Se ha limite, allora è limitata

K k

|% | |(% |% |g| |g|= − g) + g| ≤ − g| + < + 1 ∀J ≥ Jj

Infatti, scelto tale che

K K K k

|% |, |% |, |% |, |g| |% |" = … , + 1 ⟹ ≤ &quot