Appunti Analisi 1

Connettivi logici

P e Q sono due affermazioni di cui si può stabilire se sono vere (V) o false (F).

Esempi

P: "Il cane Asdrubale è senza denti"
Q: "x², q" → affermazione con variabile

Congiunzione

P ∧ Q [vera se sono vere sia P che Q] [AND]
P “et” Q o P “e” Q

Disgiunzione

P ∨ Q [vera se almeno una tra P e Q è vera] [OR]
P “vel” Q o P “o” Q

Implicazione

P ⇒ Q
Se P è vero, anche Q deve esserlo - se P è falso, Q può essere vera - P "implica" Q

Connettivi logici

P e Q sono due affermazioni di cui si può stabilire se sono vere (V) o false (F).

Esempio

P= "Il come Asdrubale è senza denti"
Q= "x²=9" › affermazione con variabile

Coniugazione

P ∧ Q [vera se sono vere sia P che Q] [AND]

P ∧ Q è vera se: Asdrubale è senza denti ed è vero.
Keyword: "e"

Disgiunzione

P ∨ Q [vera se almeno una tra P e Q è vera] [OR]

P ∨ Q è vera se: Asdrubale è senza denti; è vera oppure entrambe.
Keyword: "o", "oppure"

Implicazione

P ⇒ Q
Se P è vero, anche Q deve esserlo - se P è falso, Q può essere vera - P "implica" Q

BSP: "Asdrubale è senza denti"
Q: "Asdrubale non sgranocchia ossi"
Se P ⇒ Q: Asdrubale è senza denti e quindi non può sgranocchiare ossi.
Se Asdrubale sgranocchia ossi, vuol dire che ha i denti.

Condizione sufficiente e condizione necessaria

P e Q sono due generiche proposizioni.

Sufficienza

P ⇒ Q
Se si verifica P, si verifica anche Q. Se è falsa, può non verificarsi.

Necessità

Q ⇐ P
Se si verifica Q e non si verifica P, Q non si può verificare.

Equivalenza

P ⇔ Q [(P ⇒ Q) ∧ (P ⇐ Q)]

Negazione

F -P [vera solo se P è falsa] "negazione di P"

Es. P: "Asdrubale è senza denti"
¬P: "Asdrubale NON è senza denti"
Basta che abbia 1 dente => ma interessa se li ha tutti o meno

Definizione di insieme

Insieme: intuitiva. Insieme di oggetti "legati" da una certa proprietà/caratteristica. Si può "descrivere" in tre modi:

• Grafica [diagramma Eulero-Venn]
• Elencazione: A = { b; c; d; e; ...}. Elementi elencati ⇒ non importa l'ordine
• Caratteristica: A = { numeri x con x³ > 27 }
  A = { ∀x: x³ > 27 }
  Viene descritto da "regola" che "lega" gli oggetti

Simboli insiemistici

• Appartenenza [∈]: a ∈ A "a appartiene ad A"
• Non appartenenza [∉]: a ∉ A "a non appartiene ad A"
• Insieme vuoto [∅]: Def: insieme senza elementi

Relazioni tra insiemi

"E contenuto in F" o "E è sottoinsieme di F". Ogni elemento di E è anche elemento di F. Si scrive E ⊆ F oppure E ⊇ F. Enfatizza il fatto che per definizione, un sottoinsieme E potrebbe essere uguale all'insieme F che lo contiene.

NB: ∅ ⊆ E per ogni insieme E. E ⊆ E per ogni insieme E. (E ⊆ F) ∧ (F ⊆ E) ⟺ E = F. Per specificare che E è sottoinsieme di F, ma non è uguale, si scrive: E ⊂ F. E è sottoinsieme PROPRIO di F.

Operazioni tra insiemi

Unione

A ∪ B Insieme degli elementi contenuti in A e in B o in entrambi.
A = {1; 2; 3; 4} B = {4; 5; 6; 7; 8}
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Intersezione

A ∩ B Insieme degli elementi contenuti sia in A che in B.
A = {1; 2; 3; 4} B = {4; 5; 6; 7; 8}
A = {4; 2; 3} B = {4; 5; 6; 7; 8}
A ∩ B = {4}
A ∩ B = ∅

NB: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

Differenza

A \ B (o A - B) Insieme degli elementi di A che non sono in B.
A \ B = {x ∈ A : x ∉ B}

NB: A×B ≠ B×A

Prodotto cartesiano

A×B Insieme delle coppie formate da un elemento di A ed un elemento di B nell’ordine.
A×B = {(a, b) : a∈A, b∈B}

N.B. A×B