Appunti Analisi 1

Connettivi logici

P e Q sono 2 affermazioni di cui si può stabilire se sono vere (V) o false (F).

Es.:

• P: "il come Astrubale è senza denti"
• Q: "x^2 > 9" → affermazione con variabile

• congiunzione

P ∧ Q [vera se sono vere sia P che Q] [AND]

P ∧ Q è vera se: Astrubale è senza denti ed è vero x^2 > 9.

Keyword: "e"

• disgiunzione

P ∨ Q [vera se almeno una tra P e Q è vera] [OR]

P ∨ Q è vera se: Astrubale è senza denti, è vero oppure entrambe.

Keyword: "o", "oppure"

• implicazione

P ⇒ Q

se P è vera, anche Q deve esserlo se P è falsa, Q può essere vera

P "implica" Q

ES

P: "A sud ovest è senza dubbio" Q: "A sud ovest non granché ossi"

Se P ⇒ Q: A sud ovest è senza dubbio e quindi non può granché ossi. Se a sud ovest, può pensiero comunque non poter spaccato granché ossi.

Q ⇐ P ⇔ Q è implicata da P

Condizione sufficiente e condizione necessaria

P e Q sono 2 generiche proposizioni.

• sufficienza P ⇒ Q
• Se si verifica P, deve per forza Q, ma se non si verifica, invece, Q può se verificasse che non molto.

• necessità Q ⇐ P
• P o vero, anche se Q non si verifica; ma se non si verifica P, Q non si può verificare.

Equivalenza

P ⇐⇒ Q   [(P ⇒ Q) ∧ (P ⇐ Q)]

A \ B ≠ B \ A

• Prodotto cartesiano

A x B = Insieme delle coppie formate da 1 elemento di A ed un elemento di B nell'ordine.

A x B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B}

n.b. A x B ≠ B x A

Es.

A = {△, ○, α} B = {Ꞁ, ▭}

• A ∪ B = {△, ○, α, Ꞁ, ▭}
• A ∩ B = ∅
• B x A = {(Ꞁ,△), (Ꞁ,○), (Ꞁ,α), (▭, △), (▭, ○), (▭, α)}
• A x B = {(△, Ꞁ), (△, ▭), (○, Ꞁ), (○, ▭), (α, Ꞁ), (α, ▭)}

OPERAZIONI INSIEMISTICHE

Si possono "ripetere"A ∪ B ∪ CA x B x C⋮

Quantificatori

∀ per ogni∃ esiste∄ non esiste∃! esiste ed è unico: tale che

Es. 1.5 pg 26 (Lino Costa, Halusa)

Siano A = {x ∈ ℝ: x ≤ 1} - {x ∈ ℝ | x = 1} e B = {x ∈ ℝ: 0 < x < 2}, Determinare:

1. A ∪ B : {x ∈ ℝ: x < 2}
2. A ∩ B : {x ∈ ℝ: 0 < x < 1}
3. A \ B : {x ∈ ℝ: x ≤ 0}
4. B \ A : {x ∈ ℝ: 1 < x < 2}

a > 0: ab < ac <=> b < c

a < 0: ab > ac <=> b > c

Potenze di numeri razionali

Sia k ∈ ℤ e q ∈ ℚ

• Se k ≥ 1 si pone q^k = q · q · q · ... · q = k∑_h=1 q

• Se k = -1 e q = m/n, m, n ∈ ℤ\{0} si pone q^k = (m/n)^-k
• Se k = 0 e q ≠ 0: q^k = 1

N.B.: non si definisce 0⁰

Principio d'induzione

• Sia P(n) un'affermazione che coinvolge l'intero n ≥ n₀ (n intero non negativo)
• Sia P(n₀) vera
• Valga l'implicazione P(n) vera => P(n+1) vera (∀n ≥ n₀)
• Allora P(n) è vera ∀n ≥ n₀

A= { x ∈ Q | x² ≤ 4 }

B= { x ∈ Q | x² ≥ 1 }

A ∩ B ≠ ∅

A ∪ B = Q

A ∩ B = ∅

a ∉ B ∪ a ∈ A, b ∈ B

∃ 3 ∈ Q | 1 ∈ asse b y a ∈ A, b ∈ B

?

NO

CASO I: s ∉ Q

x prof. delimitata: Area = 2.5

con area sempre dei numeri Q

che si intersecano

Area (x ∈ Q) = 0

Alle due: s² ≤ 2

ci è sempre un C ∈ Q

C C ∈ A C s ⇒ s∉ 2√3

≈

Analogo per S = 2√2

Per x prof. delimitate curve ≃ 1 num sap. meno

non si può trovare

A C A

(s ∈ Q)

Similmente la produttoria per n da k a m:

(n)_∏k a_n = a_k · a_k+1 · ... · a_m

Traslando l'indice:

(m)_∑n=1 a_n = (m-1)_∑k=0 a_k+1

Fattoriale

n! = (n)_∏k=1 k = 1 · 2 · 3 · ... · n

(0! = 1)    (n ≥ 1)

Coefficiente Binomiale

( ⁿ   ) = ^n!

( _k   ) ⊂/ ((n-k)!k!)

Formula Binomio di Newton

Theor. (a+b)ⁿ =_∑k=0 ( ⁿ ) a^n-kb^k   ∀a,b ∈ C

Dim.*

Applicazione a (2i+1)⁶:

(2i + 1)⁶ =_∑k=0 ( ^k ) 2i · (2i)^6-k:

I coefficienti ( ⁶ ) si possono calcolare con la definizione o usando tartaglia

  _k

= ( ⁶ ) 2i · ( ⁶ ) 2i + ( ⁶ ) 2i + ( ⁶ ) 2i + ( ⁶ ) 2i + ( ⁶ ) 2i + ( ⁶ ) 2i ·   ₆₅

= 1 · 2^6 + 6 · 2^5 · i + 15 · 2^4 · i^2 + 20 · 2^3 · i^3 + 15 · 2^2 · i^4 + 6 · 2^1 · i^5 + 1 · i^6

= 117 + 44i

Numero di Nepero

e = lim_x→+∞ (1 + ¹/_x)^x ∈ ℝ (come si vedrà)Risultato: e ∈ 2 < e < 3Funzione esponenziale di x: e^x

Proprietà di e^x (x,w ∈ ℂ):

1. e^x+w = e^x e^w
2. | e^x | = e^Re(z)
3. e^x+2πi = e^x

Equazioni algebriche in ℂ

• Un'equazione si dice algebrica di grado n ≥ 1 se è del tipo P(z) = 0,con P polinomio di grado n a coefficienti complessi, cioè:P(z) = a₀ + a₁z + ... + a_nzⁿ = ∑_k=0ⁿ a_kz^k con a_k, a_n ∈ ℂ

Es.z³ + i z² - 3 + 2i = 0 → EQ. ALGEBRICA di grado 3z² + z ≥ 0 → Non è algebrica

Funzioni

• Una funzione, è una terna (A, B, f) dove:
  • A è un insieme, detto dominio
  • B è un insieme, detto codominio
  • f è una regola di corrispondenza che tra A associa uno e un solo elemento b∈B

Si scrive f: A → B

• Per a∈A, f(a)∈B, detto l'immagine di a tramite f
• Se A ⊆ A, f(A) = {y∈B : y=f(a), a∈A}, è detta immagine di A tramite f.
• Imf := f(a), a∈A = f(A) è detta immagine di f.

Grafico di f è sottoinsieme di A×B. Γ := {(a,b)∈A×B: a∈A, b=f(a)}.

Se A=B=R, il grafico è sottoinsieme di R².

es. f: R→R

f(x)→x²

Imf= f(R)=[0, +∞)

Dominio naturale

• A volte viene data la funzione esplicitando solo la legge di corrispondenza (senza specificare il Dominio)

In tal caso si intende che il dominio è il dominio naturale, cioè l'insieme di tutti i valori reali per i quali ha senso definire la legge di corrispondenza f.

Data f: A→B, se A ⊆ A, la funzione f: A → B tale che f(a)=f(a) ∀a∈A è detta restrizione di f ad A.

Si può indicare f_A (f ristretta ad A )

• Se f è restrizione di f, si può anche dire che f è un prolungamento di f.

es. f(x)=√x con D:[0,+∞)

g(x)=x con D:R