Appunti Analisi 1

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Revisionato il 15/05/2026

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Appunti completi del corso di Analisi 1 presi a lezione. Comprendono tutti gli argomenti del programma del corso e forniscono definizioni ed esempi esaustivi per ogni concetto. Università …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Quelali Gutierrez Guillermo Gonzalo

Università Politecnico di Torino

A.A. 2016-2017

117 pagine

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ANALISI I

GLI INSIEMI

In un insieme, gli elementi vanno specificati in modo non ambiguo specificando una proprietà che caratterizza quell'insieme.

es.

{a, b} → utilizzo le graffe e divido con virgole

es.

{x ∈ ℤ | x > 0} → tale che_solt. ^sottoinsieme x che sono numeri interi ∈ ℛ

g ∈ A → "g appartiene ad A"

A ⊇ g → "A contiene g"

a ∈ A → giusto
{a} ∈ A → sbagliato: {a} ⊆ A

∅ → INSIEME VUOTO → è contenuto in ogni insieme
∀ → PER OGNI

A ∩ B → {x | x ∈ A e anche x ∈ B} se A ∩ B = ∅
A ∪ B → {x | x ∈ A oppure x ∈ B} oppure vel. entrambi
A - B → {x | x ∈ A | x ∉ B} A - B

PRODOTTO CARTESIANO: insieme delle coppie A,B con la prima appartenente ad A e la seconda a B

A × B → {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B} ↓ _COPPIE ^ORDINATE

Cambiando l'ordine degli elementi l'insieme non cambia (x concetto di appartenenza)

Specificando un insieme automaticamente determini il suo complementare ovvero l'insieme che contiene tutti gli elementi non appartenenti a quell'insieme.

ANALISI I

GLI INSIEMI

In un insieme gli elementi vanno specificati in modo non ambiguo specificando una proprietà che caratterizza quell'insieme.

es.

{a, c, b} → utilizzo le graffe e divido con virgole

es.

{x ∈ ℤ | tale che x>0} → solito insieme x0

x ∈ ℚ ∖ ℤ

x che sono numeri interi

a ∈ A → giusto

{a} ∈ A → sbagliato: {a} ⊆ A

∅ → insieme vuoto → è contenuto in ogni insieme

∀ → per ogni

A ∩ B = {x | x ∈ A e anche x ∈ B}

⭕ A ⭕ B

A ∩ B = ∅

A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

∇ Vel:entrambi

A − B = {x ∈ A | x ∉ B}

A ∖ B

PRODOTTO CARTESIANO: insieme delle coppie AB con la prima appartenente ad A e la seconda a B

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

∇ coppie ordinate

Cambiando l'ordine degli elementi l'insieme non cambia (x concetto di appartenenza)

Specificando un insieme automaticamente determino il suo complementare ovvero l'insieme che contiene tutti gli elementi non appartenenti a quell'insieme.

SI INDICA CON C_A OPPURE A̅ ➙ tutti gli elementi che verificano la negazione dell’affermazione di A

A ⊂ R ➙ C_A = { x ∈ R | x < A } = R - A

es.: ∃ ↤

ESISTE IN QUEST'AULA UNA PERSONA ALTA > 1,72 m

meggiomdo tutte le persone sono più basse ↦ ∀ persona ≠ alta < 1,72

es.: ∀ PERA IN UN CESTO È MATURA

NEGAZIONE: ∃ PERA NON MATURA

⇒ “implica” ⇔ “se e solo se”

QUANTIFICATORI

x ∈ A ➔ P

∃ x ∈ A ⟺ P → negazione di A

LE FUNZIONI

DEFINIZIONE - CONCETTO PRIMITIVO: la funzione da A in B di una trasformazione che ad un elemento di A associa al più un elemento di B.
sono FUNZIONI UNICHE

es.: A = {a, b, c}

B = {1, 3, 4, 15}

funz: a → 3

b → 1

no funz: a → 1 ↦ b → 1

f: 1 15

A➔B ↤ insieme di arrivo insieme di partenza

DOMINIO di f: dom f = INSIEME DEGLI ELEMENTI DI A CHE HANNO UN’IMMAGINE IN B:

⋀β(a) = B

es.: VOGLIO COSTRUIRE UNA SCATOLA APERTA DI RETTANGOLO:

VOLUME:

V(x) = x(a - 2x) (b - 2x) dom V = (0, b/2)

IMMAGINE DI f: insieme degli elementi di B che sono immagine di un elemento di A

Img f = {β(a) a∈dom f} ⊆ B

CODOMINIO che ha però due significati (anche l’intero insieme di arrivo)

controimmagine:

K ⊂ B β(x) ∈ K β^-1 (K) = { x | sono ∀ x tali che f(x) = k}

k può essere anche solo un elemento (b)

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