Appunti Analisi 1

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Author: vaaale97

Revisionato il 08/06/2026

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Appunti completi del corso di Analisi 1 presi a lezione. Comprendono tutti gli argomenti del programma del corso e forniscono definizioni ed esempi esaustivi per ogni concetto. Università …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Quelali Gutierrez Guillermo Gonzalo

Università Politecnico di Torino

A.A. 2016-2017

117 pagine

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Analisi degli insiemi

In un insieme, gli elementi vanno specificati in modo non ambiguo specificando una proprietà che caratterizza quell'insieme. Ad esempio, {a, b} → utilizzo le graffe e divido con virgole. Es. {x ∈ ℤ | x > 0} → tale che soltanto x che sono numeri interi ∈ ℛ. g ∈ A → "g appartiene ad A". A ⊇ g → "A contiene g". a ∈ A → giusto. {a} ∈ A → sbagliato: {a} ⊆ A. ∅ → insieme vuoto → è contenuto in ogni insieme. ∀ → per ogni. A ∩ B → {x | x ∈ A e anche x ∈ B} se A ∩ B = ∅. A ∪ B → {x | x ∈ A oppure x ∈ B} oppure vel. entrambi. A - B → {x | x ∈ A | x ∉ B} A - B.

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano: insieme delle coppie A,B con la prima appartenente ad A e la seconda a B. A × B → {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}. Cambiando l'ordine degli elementi l'insieme non cambia (x concetto di appartenenza). Specificando un insieme automaticamente determini il suo complementare ovvero l'insieme che contiene tutti gli elementi non appartenenti a quell'insieme.

Analisi degli insiemi: in un insieme gli elementi vanno specificati in modo non ambiguo specificando una proprietà che caratterizza quell'insieme. Es. {a, c, b} → utilizzo le graffe e divido con virgole. Es. {x ∈ ℤ | tale che x > 0} → solito insieme x0x ∈ ℚ ∖ ℤx che sono numeri interi. a ∈ A → giusto. {a} ∈ A → sbagliato: {a} ⊆ A. ∅ → insieme vuoto → è contenuto in ogni insieme. ∀ → per ogni. A ∩ B = {x | x ∈ A e anche x ∈ B} se A ∩ B = ∅. A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B} ∇ Vel: entrambi. A − B = {x ∈ A | x ∉ B} A ∖ B.

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano: insieme delle coppie AB con la prima appartenente ad A e la seconda a B. A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} ∇ coppie ordinate. Cambiando l'ordine degli elementi l'insieme non cambia (x concetto di appartenenza). Specificando un insieme automaticamente determino il suo complementare ovvero l'insieme che contiene tutti gli elementi non appartenenti a quell'insieme. Si indica con C_A oppure A̅ ➙ tutti gli elementi che verificano la negazione dell’affermazione di A. A ⊂ R ➙ C_A = { x ∈ R | x < A } = R - A.

Esistono: ∃ ↤ ESISTE IN QUEST'AULA UNA PERSONA ALTA > 1,72 m. Meggiomdo tutte le persone sono più basse ↦ ∀ persona ≠ alta < 1,72. Es.: ∀ PERA IN UN CESTO È MATURA. Negazione: ∃ PERA NON MATURA ⇒ “implica” ⇔ “se e solo se”.

Quantificatori

x ∈ A ➔ P ∃ x ∈ A ⟺ P → negazione di A.

Le funzioni

Definizione - Concetto primitivo: la funzione da A in B di una trasformazione che ad un elemento di A associa al più un elemento di B. Sono funzioni uniche.

Es.: A = {a, b, c} B = {1, 3, 4, 15} funz: a → 3 b → 1 no funz: a → 1 ↦ b → 1 f: 1 15 A➔B ↤ insieme di arrivo insieme di partenza. Dominio di f: dom f = insieme degli elementi di A che hanno un’immagine in B: β(a) = B.

Es.: VOGLIO COSTRUIRE UNA SCATOLA APERTA DI RETTANGOLO: VOLUME: V(x) = x(a - 2x) (b - 2x) dom V = (0, b/2).

Immagine di f: insieme degli elementi di B che sono immagine di un elemento di A Img f = {β(a) a ∈ dom f} ⊆ B. Codominio che ha però due significati (anche l’intero insieme di arrivo).

Controimmagine: K ⊂ B β(x) ∈ K β^-1 (K) = { x | sono ∀ x tali che f(x) = k} k può essere anche solo un elemento (b).

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