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Analisi I
Gli insiemi
In un insieme gli elementi vanno specificati in modo non ambiguo specificando una proprietà che caratterizza quell'insieme.
es.: utilizzo le graffe e divido con virgole
x tale che x > 0
ℚ che sono numeri interi
a ∈ A giusto
g ∈ A “g appartiene ad A”
A ⇒ g “A contiene g”
∅ insieme vuoto → è contenuto in ogni insieme
∀ per ogni
A ∩ B = { x | x ∈ A e anche x ∈ B }
A ∩ B = ∅
A ∪ B = { x | x ∈ A oppure x ∈ B }
A - B = { x ∈ A | x ∉ B }
A × B = { (a, b), a ∈ A, b ∈ B }
Cambiando l'ordine degli elementi l'insieme non cambia (concetto di appartenenza)
si indica con oppure
- tutti gli elementi che verificano la negazione dell'affermazione di A
es.
Esiste in quest'aula una persona alta
Tutte le persone sono pi basse di 1,72
es.
Pera in un canestro è matura
Negazione
Pera non matura
implica
se e solo se
Le Funzioni
- Definizione - Concetto Primitivo: La funzione da A in B è una trasformazione che ad un elemento di A associa al più un elemento di B.
es.
es.: Voglio costruire una scatola aperta da rettangolo:
Volume:
Immagine di f: insieme degli elementi di B che sono immagine di un elemento di A
Codominio: che ha però due significati (anche l'intero insieme di arrivo)
Controimmagine
non si usano però
es. Inf. Sup. limitata
Sup. limitata
Punto di massimo
quindi si trova in questo semipiano
Inf. limitata
Inf. e sup. limitata
imp. p. min. senza punti di minimo
Crescente
x1 < x2 ⇒ β(x1) ≤ β(x2)
Strettamente crescente
x1 < x2 ⇒ β(x1) < β(x2)
Decrescente
x1 > x2 ⇒ β(x1) ≥ β(x2)
x1 - x2 < 0 ⇒ β(x1) - β(x2) ≤ 0
Strett. (>) decr. (≤)
Crescente se x1 ≠ x2
è lineare perché β(t) = β(tx1)
l'inversa è sempre strett. crescente
Convessa se per ogni (x1, x2) la secante tra (x1, β(x1)) e (x2, β(x2)) è sopra al grafico
Al contrario = concava
Operazioni con le funzioni:
β(x) = β(tx) t ≠ 0 ∀ x ∈ dom f è una funzione periodica
Periodica
Estensione periodica:
l'estensione periodica è una
T si prende sempre 2
es. \( M(x) = x - [x] \)
MANTISSA DI x
TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE
\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = l \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} [f(x) - l] = 0 \)
\( f(x) \to l \) necessariamente \( f = m \)
\( |l - m| = 0 \Rightarrow |l - m| = |l - {}|f(x) - l| + |f(x) - m| \leq |l - f(x)| + |f(x) - m| \)
Entrambe tendono a 0 e quindi la somma tende a 0 e i due limiti coincidono → il limite è sempre unico
1° CASO:
0° CASO:
\( f(\alpha) > 0 \)
Ipotesi: \( f(x) \to +\infty \)
quasi in positivo
\( \forall \varepsilon > 0 \, \exists I, \ \forall x \in I_a \cap \mathrm{dom} f, \ {} |d(x) < \varepsilon \)
0 ↔ \(\frac{1}{|f(x)|} < \varepsilon\)
qualunque num. positivo
\( \forall \varepsilon \ \exists I_{(x_0)}, \ \forall x \in I \, \mathrm{dom} f \)
UNITE PER x → x_0
es. \( f(x) = \frac{\mathrm{sg}}{x} \)
\( \lim_{x \to x_0} \frac{}{} = l \in \mathbb{R} \)
\( \int_{\mathrm{dom} f}{}_{} \)
quando il limite tende a \( x_0 \) devo considerare la restrizione della \(\phi\) ad dominio senza \( x_0 \)
DEFINIZIONI
1) \( \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \)
\( \forall \varepsilon \ \exists I_{(\infty)}, \ \forall x \in I_{(x_0)} \cap (\mathrm{dom} f - \{x_0\}) \Rightarrow |f(x)| < \varepsilon \)
\(*\) il dominio di f deve intersecare ogni intorno di \( x_0 \)
in punti diversi da \( x_0 \) (perché è fatto del dominio)
\( \exists \varepsilon \ \exists I, \ x \in \mathrm{dom} f \) &circle; \(|x-x_0| > \delta \rightar) |f(x)| < \varepsilon \)
per dire che \( x \not= x_0 \)
Teorema (Limite di estrazioni)
Sia f : X → R, x0 ∈ R
con x0 punto di accumulazione per X
e {xn} n∈N punto di acc per Y
Allora limx→x0 f(x) = l
limn→∞ f(yn) = l
—inverse non vale—
Oss questo teorema è utile e provare che un certo limite non esiste
Es: X1 = {2nπ , n∈N}
limyn → x0 f(yn) = cos(2nπ) = Ø ≠ l
Y2 = {π + 2nπ : n∈N}
limyn → x0 f(yn) = cos(π + 2nπ) = 0
E quindi limx→∞ f(x) = Ø ≠ l
sup y1 = 0
limx→∞ f(y2) = 0
sup y2 = ∞
x0 = ±∞ è un punto di accumulazione per il dom del (cos x) = R
se restringendo un insieme e trovando i due limiti questi non esimono, il limite non esista
limx→±∞ cos x = 7
invece limn→∞ (x/x₀) = cos x + ∞
-1≤cos x≤1
x/10 + x ≤ l + x/10
SOMMA
lim x→0 sinx/cosx
PRODOTTO
es: tg(x) =
QUOZIENTE
+∞ ⋅ ∞ +∞
FORME INDETERMINATE
- per la somma: ∞ - ∞ o
- per il prodotto: 0 ⋅ ∞ o
- per il quoziente:
LIMITI ALL'∞ DEI POLINOMI
- p(x) = AmXm + Am-1Xm-1 + ... A0 Am≠0
es.
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x} \operatorname{arctg} \frac{1}{x} \) = ?
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x} \operatorname{arctg} \) tende a 0
es.
\( \lim_{{x \to 0}} x \operatorname{arctg} \frac{1}{x^2} \) = 0
OSS
Quando noto che \( \lim_{{x \to 0}} \) \( \neq \lim_{{x \to 0}} \)
NON ESISTE PERCHE' GUARDANO GLI INTORNI
NELLA NOTAZIONE IL LIMITE DESTRO E SINISTRO
SONO DIVERSI
\( \lim_{{x \to 3^-}} (x^2-a) \) = [0] = 0 quindi \( \lim_{{x \to 3}} [x^2-a] \) \( \neq \lim_{{x \to 3}}
invece \( \lim_{{x \to 3^-}} (x^2-a) \) = \( \lim_{{x \to 3^+}} [x^2-a] \)
SUCCESSIONI
Def. una successione è una funzione f che ha per dominio:
o più in generale vale dom\(^\prime\) = \{n, N : n \geq n_0\} con n_0 ∈ N
Notazione:
m f(m) → □ NO
m A_m s.
\{a_m\} = \{a_m : m \geq m_0\}
es. A_m = m^2-4m
f(x) = x^2-4x = x(x-4)
\{a_n\} = \{-4, -3, 0, 5,...\}
(A_m) "nasce" da una funzione
es. a_m = (-1)^m
1 se m = 2m
-1 se m = 2m+1
(a_m) invece non "nasce" da una funzione \( f(x) = (-1)^m \non \ ha \ senso \)
CI SONO LE SUCCESSIONI DEFINITE PER RICORRENZA:
es.
\(a_0 = a_1 = 1\)
\(A_2 = a_0 + a_1\)
\(A_m : A_n = A_{n-1} + A_{n-2} \ \ m \geq 3 \)
\(Q_m = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... \) ← è la successione di Fibonacci
- g(x) = sen x e continua in x > 0
- per il corollario
- f lim sen x = 0
- f(am) = f(1/m)
- f(0) = 0
Oss.
il teorema di Weierstrass uso per dimostrare che f non ammette limite per x che tende a x0. Basta formare due successioni an, bn con an → x0 e bn → x0 tali che f(an) ≠ f(bn) tendono a due limiti diversi.
am = 1/2m
f(x) = cos x
bm = 1/2π m cos (1/2π)→ -1
amche limx→∞ sen x = ∌ limx→∞ sen (1/x) = π∌ limx→∞ (1 - ex)≠π
limx→0 cos (1/x)=∌ limx→0 cos π x = -∌
limx→0 x (1+cos x) =
Potenza di Binomio
Def dato un intero m definiamo il fattoriale di m, m! come segue:
m! = m (m - 1) (m - 2)...1
0! = 1
(m+1)! = m! (m+1) m! = ( m - 1 )!m
m!: rappresenta il numero di modi in cui è possibile disporre in ordine
m: oggetti distinti.
Possiamo definare la successione: am !
verifico che sia crescente: am < am+1
m! < (m+1)! x! ≤ (m +1)
x m + > 0 ∀ m ∈ sempre vero a
Def fissati due numeri naturali: m e kcom 0 ≤ k ≤ m definiamo
coœficiente binomiale
(m/k)= ◔m! /((m - k)!)!
Formula del Binomio (Newton)
(a+b)m = m ∑ t = k! (m/k) am-kbk
∀a, b∈ ℝ \ {0} m ∈ ℕ , m ≥ 1
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