Appunti Analisi 1

FORMULA DI TYLOR CON RESTO DI LAGRANGE

Differisce da quello col resto di peano perché questa ci da informazioni quantitative sul resto, a differenza della precedente che ci restituisce una informazione qualitativa sull’approssimazione

TEOREMA

Sia x ∈ I, I intervallo aperto e sia f : I→ℝ che sia derivabile n volte in I e n+1 volte in I-0{0}, possiamo concludere che ∀ x ∈ I-{0} ꓱ t ∈ (x , x) :0( )+1n ( )f t +1n( )x−xf(x)-T (x) = , resto di lagrange

SVILUPPI BASE NOTI

1. MCLAURIN DI:

x- f(x)=e, dom(f(x))=ℝ, f è continua in ℝ

2. 3 n+ x x x+ +… x nT (x)=1+x, e = T (x)+o((x-x ) ),+f 0 n f 0 n 02! 3 ! n!- f(x)=senx, dom=ℝ, continua in ℝ

( ) (−1)−1 13 5 2 n+1+ +x x …+ x 2n+2senx = x+ +o((x-x ) )0( )3 ! 5 ! 2 n+1 !

3. - f(x)=cosx, dom=ℝ, continua in ℝn2 4 (−1 )x x 2 n+ +…+ x 2n+1cosx=1- +o((x-x ) )02 ! 4 ! ( )2 n !

4. - f(x)= 1−x1 2 3 n n= 1+x+x +x +…+x +o(x )1−x-

f(x) = ln(1+x)¹ + 2³ + n^f’ = 1+x+x² +x³ +…+xⁿ = T = (T )’f’x0 n f x0 (n+1)1+ x ( )1 1 12 3 n+1ln(1+x)=0+x- x² + x³ +…+(-1)² 3 n

SERIE NUMERICHE

Data una successione a_n=1,2,…,n + ∞∑ a_n

Si chiama serie la somma degli infiniti termini della successione e si indica con ∑ a_n

DEFINIZIONE

Data una successione si chiama somma parziale la somma dei primi n termini della successione

∑ a_n = ∑ k=0ⁿ a_k

N.B. UNA SERIE E’ LA SOMMA DI UN NUMERO INFINITO DI TERMINI

N.B. UNA SOMMATORIA E’ LA SOMMA DI UN NUMERO FINITO DI TERMINI

RELAZIONE TRA SERIE E SOMMA PARZIALE

n →+∞

∑ a_n = lim_{n →+∞} ∑ k=0ⁿ a_k

N.B. SE LA SOMMATORIA DEI PRIMI N TERMINI HA COME N L’INFINITO , LA SOMMA PARZIALE E’ UGUALE ALLA SERIE

COMPORTAMENTI POSSIBILI PER UNA SERIE

1. CONVERGERE+ ∞
2. ∑ a_n = l , l ∈ ℝ , allora la serie converge
3. n=0
4. DIVERGERE+ ∞
5. ∑ ∞a_n = + , la serie diverge a più infinito
6. n=0
7. DIVERGERE+ ∞
8. ∑ ∞a_n = - , la serie diverge a meno infinito
9. n=0

La serie diverge a meno infinito:

∑ a = ∄ , la serie ∄n

N.B. PER AFFERMARE IL COMPORTAMENTO DI UNA SERIE SI DEVE DIMOSTRARE , ADESEMPIO PER INDUZIONE

SERIE PARTICOLARI

Serie di un certo tipo che hanno comportamenti noti

DEFINIZIONE

Si chiamano serie TELESCOPICHE quelle serie ottenute da successioni i cui termini si possono anche scrivere come:

a =A -A , m≠0n n n+m

DEFINIZIONE

Si chiama serie GEOMETRICA una serie del tipo

∑ na

Le somme parziali delle serie geometriche sono del tipo S = ∀ nn 1−a∑ ka

La serie diverge a + , facilmente risolvibile per sostituzione

La serie diverge a + , facilmente risolvibile per sostituzione

-1<a<1 1la serie converge in 1−a

- a<-1la serie è indeterminata

- a=-1la serie è indeterminata

TEOREMA

Condizione necessaria per la convergenza di una serie

∑ lim aa

Se converge , allora il = 0nn n →+∞

OSSERVAZIONI

1. ∞lim a ∑ a₁) Se il ≠ 0 , allora non può convergeren nn →+∞ n=0+ ∞lim a ∑ a₂) Se il = 0 , allora potrebbe convergere , ma non è sicuron nn →+∞ n=0
2. CRITERI PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE
   1. SERIE A TERMINI DI SEGNO COSTANTE

      Sia a ≥0 ∀ n ∈ IN

      n = ∞ =¿a lim Sn nn →+∞

      E sia la S =S +a debolmente crescente (S ≥S ) allora +∞n n-1 n n n-1 ∑ ¿n=0- l ∈ ℝ∞- +N.B. CON A ≤0 ∀ N ∈ IN È UGUALE MA CON SEGNO OPPOSTO

   2. CRITERIO DEL CONFRONTO

      Sia a , b : a ≥b ∀ n>M ∈ IN (sia M un certo valore fisso) ,allora :n n n n+ +∞ ∞∑ ∑∞b a- Se = + allora anche = +∞n nn=0 n=0+ +∞ ∞∑ ∑a b- Se converge , allora converge anchen nn=0 n=0

   3. CRITERIO DELLA RADICE PER LE SERIE √n ±

      Sia a ≥ b ∀ n > M ∈ IN (sia M un certo valore fisso) e sia = l ∈ ℝ V {an n n∞}

allora se : + ∞∑ a- Se l < 1 , converge
n=0+ ∞∑ a- Se l > 1 , diverge
n=0- Se l = 1 , non possiamo concludere circa il suo comportamento

4) CRITERIO DEL RAPPORTO PER LE SERIE a +1nlim
Sia a ≥ b ∀ n > M ∈ IN (sia M un certo valore fisso) e sia = l ∈ ℝ ,n n an →+∞ nallora se : + ∞∑ a- Se l < 1 , converge
n=0+ ∞∑ a- Se l > 1 , diverge
n=0- Se l = 1 , non possiamo concludere circa il suo comportamento

CRITERI PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILEc
Sia la serie i cui termini sono il modulo di a , |a |n n
DEFINIZIONE ∑∑ | |aa
Si dice che converge ASSOLUTAMENTE se converge
n=0
CRITERIO∑ ∑| |a a
Se converge allora anche converge , NON E’ DETTO IL CONTRARIO
n n
Si dimostra sommando e sottraendo |a | ad a e usando il criterio del confronto (vedin nappunti)
CRITERIO DI LIEBNITZ PER LE SERIE A SEGNI ALTERNI+ ∞∑ n(−1) a
Sia nn=0
Se a ≥0na >an+1 n =0lim ae sia

nn →+∞ALLORA LA SERIE A SEGNI ALTERNI CONVERGESERIE ARMONICHE GENERALIZZATE+ ∞ 1∑Sia se:αnn=0 α- Se ≤ 1 la serie non convergeα- Se > 1 la serie convergeSERIE DI POTENZE+ ∞∑ a nx , x ∈ ℝnn=0La domanda è : per quali x la serie converge ?Banalmente la serie converge di sicuro in x=0TEOREMA + ∞∑ a nData una serie di potenze x ꓱ R ∈ ℝ U {+∞} :+nn=0- |x| < R , la serie converge- |x|> R , la serie diverge- |x|= R non posso concludereN.B. R E’ CHIAMATO RAGGIO DI CONVERGENZA DELLA SERIE DI POTENZE ,PRATICAMENTE SE LA X E’ COMPRESA ENTRO QUESTO RAGGIO LA SERIE CONVERGEN.B. SE R = 0 , SIAMO RIMANDATI AL CASO BANALE ; SE R = +∞ ALLORA LA SERIECONVERGE ∀ x ∈ ℝTEOREMA √nSupponiamo che → l per n→+∞a n1Allora R= lDimostrazione su appuntiSERIE DI TYLOR ( )k ( )n f x∑ 0 kSia il polinomio di tylor e sia f derivabile infinte volte

sull'intervallo (x-x₀)^k !k=0 I + ∞∑ a_n
Si dice serie di Taylor di centro x la serie di potenze (x-x₀)ⁿ n=0
Con a_n = (derivata^k valutata in x₀)ⁿ/n!
+ ∞ (x-x₀)^k (derivata^k f(x₀))
∑ a_n
Se x₀ = 0 allora abbiamo che x^k con a_n = (derivata^k valutata in 0)ⁿ/n!
∑ a_n

TEOREMA
Sia f sviluppabile con Taylor con resto di Lagrange, allora ∀ x ∈ [-R,R] (con R= raggio di convergenza della serie di Taylor centrata in x₀) vale:
0( )+ ∞ n ( )f(0)
∑ nxf(x) = (derivataⁿ valutata in 0)/n!

MASSIMI E MINIMI
Sia f : A→B una funzione: definiamo il valore massimo f(a): f(a)>f(x) ∀ x ∈ A; allora aè detto valore di massimo ASSOLUTO o globale
Sia f : A→B una funzione: definiamo il valore minimo f(b): f(b)<f(x) ∀ x ∈ A; allora a è detto valore di minimo ASSOLUTO o globale
Definiamo ora cos'è un PUNTO (non valore) di massimo/minimo: è un punto di massimo se f(m)>f(x) ∀ x ∈ A e si indica come:

m = argmax(f(x))

stessa cosa per il minimo usando "<"

( )

N.B. f(m) è un valore massimo, m è un punto di massimo; cioè, in corrispondenza di m la funzione tocca il punto più alto

VALORI f(a)

N.B. Per il valore di min/max basta guardare gli estremi dell'immagine della f in considerazione

( )

N.B. +/- infinito non possono essere né punti né valori di massimo/minimo

PUNTI

TEOREMA DI WEIESTRASS (vaiestrass)

Sia f definita su un intervallo chiuso e limitato f : [a,b] → ℝ e sia f continua su [a,b], allora f ha almeno 1 punto di massimo e 1 punto di minimo

- Intervallo chiuso, se no non abbiamo un valore di min/max

- Continua, se no non abbiamo un valore di min/max

COROLLARIO

Sia f : (a,b) → ℝ con a ∈ ℝ U {-∞} e b ∈ ℝ U {+∞} e sia f continua su (a,b), allora:

lim x → a f(x) = +∞

lim x → b f(x) = +∞

se il lim x → a f(x) = +∞ e il lim x → b f(x) = +∞, allora f ha almeno 1 punto di minimo

1. ¿ −¿( )=−∞
2. ( )=−∞
3. x → a f x x → b f x-
4. se il e il , allora f ha almeno 1 punto di¿
5. ¿lim lim¿
6. ¿massimo

LEGAME TRA DERIVATA PRIMA E MONOTONIA

Sia f : I→ℝ e sia f derivabile e continua su I, allora:

1. se f è debolmente crescente su I → f’ ≥ 0 ∀ x ∈ I
2. se f è debolmente decrescente su I → f’ ≤ 0 ∀ x ∈ I

Questo si dimostra facilmente in modo grafico, in modo analitico si prende la differenza tra f(x) e f(x) e la si divide per la differenza tra x e x, facendo poi tendere x a x (o viceversa) si ottiene il rapporto incrementale, ovvero la f’

MASSIMI E MINIMI RELATIVI

Sia f : A → B

• a ∈ A è un punto di massimo relativo se ꓱ un intorno U del punto a (ꓱ δ>0: (a-δδ, a+δ)): f(a)≥f(x) ∀ x ∈ U
• a ∈ A è un punto di minimo relativo se ꓱ un intorno

U del punto a (ᵱ δ>0 : (a-δδ, a+δ)) : f(a)≤f(x) ∀ x ∈ U δN.B. I PUNTI DI MAX MIN RELATIVI VENGONO ANCHE DETTI ESTREMI RELATIVI