Appunti Analisi 1

Analisi 1

Definizioni utili: maggioranti e minoranti

Sia A un sottoinsieme non vuoto di ℝ:

• M è detto maggiorante di A se a≤M ∀ a ∈ A
• m è detto minorante di A se m≤a ∀ a ∈ A

N.B. Se il maggiorante/minorante esiste, non è unico.

Il sottoinsieme A è:

• sup lim se esiste M maggiorante di A
• sup illim se non esiste M maggiorante di A
• inf lim se esiste m minorante di A
• inf illim se non esiste m minorante di A
• limitato se è contemporaneamente sup e inf limitato
• illimitato se è contemporaneamente sup e inf illimitato

Intervalli

- Limitati: possono essere aperti (parentesi tonda) o chiusi (parentesi quadra), o anche entrambi o anche mischiarsi, ma hanno 2 valori precisi a,b.

- Illimitati: uno dei 2 valori è ±∞ (vuole sempre la parentesi tonda) mentre l’altro è a, anch’essi possono essere chiusi o aperti.

Massimi e minimi

Sia A un sottoinsieme non vuoto di ℝ:

• M è detto massimo di A se a≤M e M ∈ A
• m è detto minimo di A se m≤a ∀ a ∈ A e m ∈ A

Se un intervallo è aperto (parentesi tonda) non ci sono minimo e massimo, li troviamo solo negli intervalli chiusi (parentesi quadra, valori compresi).

Min e max, se ci sono, sono unici.

• (a,b): no min/no max
• (a,b]: no min/si max
• (2,4]: no min/max = a [4,+∞)=maggiorante

Estremi sup e inf

• Se A è sup lim: sup(A)=k k= minimo dei maggioranti di A
• Se A è sup illim: sup(A)= +∞
• Se A è inf lim: inf(A)=k k= massimo dei minoranti di A
• Se A è inf illim: inf(A)= -∞

Quindi :

• Se M=max(A) allora M=sup(A)
• Se m=min(A) allora m=inf(A)
• Sup(A) e inf(A) non appartengono necessariamente ad A, ma se vi appartengono sono rispettivamente il MAX e il MIN di A

ES:[-2,2) Mag [2,+) min (-,-2]

Max = non esiste min=-2

Inf =-2 sup=2

Funzioni

Legge che associa ogni elemento del dominio ad un solo elemento del codominio

Partenza = dominio

Arrivo = codominio

Immagine= si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.

Controimmagine= è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

Iniettività

Il grafico della f viene intersecato da ogni retta orizzontale al massimo una volta. f è iniettiva se ∀ x ,x ∈ A : x ≠ x f(x )≠f(x )

Surgettività

{Im}=codominio di f (considerando solo il codominio) una f è surgettiva se ogni retta orizzontale interseca il grafico almeno una volta. La surgettività si può ottenere cambiando il codominio della f. Una f è surgettiva se ∀ b ∈ B esiste a ∈ A : b=f(a). Tutti gli elementi del codominio sono immagine di almeno un elemento del dominio.

Invertibilità

Una f è invertibile se è sia iniettiva che surgettiva. Una f è invertibile se ∀ b ∈ B esiste un UNICO a ∈ A : b=f(a).

Funzioni composte

(f◦g) = f(g(x)) ◦ = simbolo del composto

ES: 2f(x)= x g(x)= x+1

2(f◦g) = f(g(x)) = f (x+1)= (x+1)

2(g◦f) = g(f(x)) = g (x ) = x +1

-1f = inversa di f :

-1(f◦f )(x) = x

-1(f ◦f)(x) = x

Simmetrie

f è detta pari se f(x)= f(-x), simmetria rispetto all’asse delle y

f è detta dispari se f(x)=-f(-x), simmetria rispetto all’origine

Monotonie

Garantisce l’iniettività.

Siano x e x ∈ dom f e x <x

Se:

• f(x ) <f(x ) f è detta strettamente crescente
• f(x ) ≤f(x ) f è detta debolmente crescente
• f(x ) >f(x ) f è detta strettamente decrescente
• f(x ) ≥f(x ) f è detta debolmente decrescente

N.B. Se f(x) è STRETTAMENTE crescente/decrescente, allora la f è iniettiva.

Funzione potenza

pnf(x) = x , n ∈ Q , n = con p,q primi tra loro

• - x = x
• 1- x = 1

1) Caso 1: n è positivo

• - q dispari, dom(x)= ℝ
• se p è pari :f(x) è pari, im = ℝ
• se p è dispari :f(x) è dispari, im = [0,+∞)

- q pari, allora p dispari :dom(x) = [0,+∞), im = [0,+∞)

2) Caso 2: n è negativo

• - q dispari, dom(x)= ℝ*
• se p è dispari, im = ℝ*
• se p è pari, im = (0,+∞)

- q pari, allora p dispari :dom(x)= (0,+∞), im = (0,+∞)

Funzione esponenziale

xf(x) = a a > 0

• 7x- 1 = 1
• x- 0 = 0
• 1x- con a > 1 allora f(x) = a, se x < 0 allora f(x) = ed è sempre positivo

a1 x- con a < 1 allora f(x)= ( ) con b > 1

• bm+n m n- a = a + am n
• m.n- (a ) = am m
• m- (ab) = a . b

Funzione logaritmo

Il logaritmo si usa per trovare l’esponentecLog b=c quindi a = b , a>0 , a≠ 1

• a d- Log b = d log ba a
• - Log (b . d) = log b+log da a
• alog bc- Log b=a log a
• c- Log a=ln ae
• - Ln e = 1
• - Log 1= 0x
• - Log a= 1a

Il dom della funzione log è (0,+∞) mentre il suo codom è tutto ℝlogaxX= a

Funzioni periodiche

f ha periodo T≠0 se f(x+T) = f(x)

senx e cosx hanno periodo T= 2kπ

2 2sen x+cos x=1

Funzioni trigonometriche

1) f(x) = senx

• dom (x) = ℝ, im(x) = [-1,1]

funzione periodica di periodo T=2kπ, senx=sen(x+2kπ)

• dispari : sen(x)=-sen(-x)
• non invertibile su ℝ −π π ¿invertibile restringendo la f(x) tra [ ,

2 2) f(x)=arcsen(x) −π π ¿com(x)=[-1,1], im(x)= [ ,

• 2 2dispari, simmetrica rispetto all’origine e simmetrica rispetto alla bisettrice con la funzione seno

3) f(x)=cosx

• dom(x)= ℝ, im(x) [-1,1]

periodica di periodo T= 2kπparinon invertibile in ℝ, invertibile riducendo la f a [0, π]

4) f(x)=arcos(x)ne dispari ne pari

5) f(x)=tan(x) (rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente)

• senxtan(x) = , dom (x) = ℝ - {x ∈ ℝ : cosx =0}, im(x)= ℝ

cosxperiodica con periodo T = kπdispari −π πnon invertibile in tutto il suo dominio , invertibile solo tra ( , )

2 26) f(x)=arctan(x) −π πdom(x) = ℝ , im(x) = ( , )

• 2 2non periodicadisparicrescanteinvertibile cosx

7) f(x)=cotg(x)= senx

• dom(x)= ℝ - {x ∈ ℝ : senx =0}, im(x) = ℝ

dispari

8) f(x)=arcotg(x)

• dom(x)= ℝ , im(x) = (0 , π)

non periodicane pari ne disparicrescenteinvertibile

Funzioni polinomiali

Vanno da ℝ in ℝ 2 nSono del tipo p(x)=a +a x+a x +…+a x dove :

• 0 1 2 n- a ∈ ℝ
• - a ≠ 0n- n = grado del polinomio

Gli zeri (o radici) sono quei valori di x: { x ∈ ℝ : p(x)=0}, sono i punti in cui la f interseca l’asse delle x p( x)dati 2 polinomi p e q , una funzione razionale è una f del tipo f(x)= , in

(q x)in questo caso il dom(x) si restringe a : dom(x) = ℝ - { x ∈ ℝ : q(x)=0}

Funzioni traslate

• - f(x)-2 : traslo tutta la f di 2 verso il basso
• - f(x-2) : traslo tutta la f di 2 verso DESTRA
• - -f(x) : f simmetrica rispetto all’asse x
• - f(-x) : simmetrico rispetto all’asse y

| |( )f x- : i valori negativi diventano positivi

| |x- f( ) , diventa f(x) se x>0 , diventa f(-x) se x<0

Limiti

Intorno

U è intorno aperto di x ∈ ℝ se U(x -δ,x +δ)0 0 0U è intorno chiuso di x ∈ ℝ se U[x -δ,x +δ]0 0 0U è intorno bucato di x ∈ ℝ se U(x -δ,x +δ)-{x }0 0 0 0

Punto di accumulazione

X è punto di accumulazione se ogni punto del suo intorno appartiene ad A ed è ≠ x ,0 0x in se può non appartenere ad A0

Sia U intorno di x , x è punto di accumulazione se :

0 0∀ intorno U di x (∀ δ>0 U (x -δ,x +δ)) ∃ x ∈ A ∩ U x≠x0 δ 0 0 0

X non può essere punto di accumulazione se isolato0±∞ possono essere punti di accumulazione

Limiti

Il limite ha senso di esistere solo se si fa tendere x ad un punto di accumulazione della stessa f(x) (lim f x)

1) x ∈ ℝ0x → x 0 (lim f x)

• 1a) = +∞x → x 0Se ∀ε > 0 ∃ δ >0 : f(x) >ε ∀ x ∈ x ∩ U - {x }ε δε 0
• (lim f x)1b) = - ∞x → x 0Se ∀ε > 0 ∃ δ >0 : f(x) <-ε ∀ x ∈ x ∩ U - {x }ε δε 0
• (x)lim f1c) = l , l ∈ ℝx → x 0 | |( )−lf xSe ∀ε > 0 ∃ δ >0 : <ε ∀ x ∈ x ∩ U - {x }ε δε 0
• (lim f x)1d) = ∄x → x 0Se non si verifica nessuna delle condizioni precedenti

(x )lim f2) , +∞ punto di accumulazionex →+∞ (x )lim f2a) = +∞x →+∞Se ∀ε > 0 ∃ δ >0 : f(x) >ε ∀ x ∈ x ∩ (δ ,+∞)ε ε( )lim f x2b) = -∞x →+∞Se ∀ε > 0 ∃ δ >0 : f(x) <-ε ∀ x ∈ x ∩ (δ ,+∞)ε ε(x )lim f2c) = l , l ∈ ℝx →+∞ | |( )−lf xSe ∀ε > 0 ∃ δ >0 : <ε ∀ x ∈ x ∩ (δ ,+∞)ε ε( )lim f x2d) = ∄x →+∞Se non si verifica nessuna delle condizioni precedenti(x)lim f3) , -∞ punto di accumulazionex →−∞ (x)lim f3a) = +∞x →−∞Se ∀ε > 0 ∃ δ <0 : f(x) >ε ∀ x ∈ x ∩ (-∞,δ )ε ε(x)lim f3b) = -∞x →−∞Se ∀ε > 0 ∃ δ <0 : f(x) <-ε ∀ x ∈ x ∩ (-∞,δ )ε ε(x)lim f3c) = l , l ∈ ℝx →−∞ | |( )−lf xSe ∀ε > 0 ∃ δ <0 : <ε ∀ x ∈ x ∩ (-∞,δ )ε ε(x)lim f3d) = ∄x →−∞Se non si verifica nessuna delle condizioni precedenti

Limite unilatero

La f va da x in ℝ e x è punto di accumulazione per x ∩ (x , +∞) , allora ∃0 0+

¿ ( )x → x f x0 ¿lim¿ +¿ ( )x → x f x0- = +∞¿lim¿Se ∀ε > 0 ∃ δ >0 : f(x) >ε ∀ x ∈ x ∩ (x ,x +δ )ε 0 0 ε+¿ ( )x → x f x0- = - ∞¿lim¿Se ∀ε > 0 ∃ δ >0 : f(x) <-ε ∀ x ∈ x ∩ (x ,x +δ )ε 0 0 ε+¿ ( )x → x f x0- = l , l ∈ ℝ¿lim¿ | |( )−lf xSe ∀ε > 0 ∃ δ >0 : : <ε ∀ x ∈ x ∩ (x ,x +δ )ε 0 0 ε+¿ ( )x → x f x0- = ∄¿lim¿Se non si verifica nessuna delle condizioni precedenti −¿ ( )x → x f x0La f va da x in ℝ e x è punto di accumulazione per x ∩ (-∞,x ) , allora ∃ ¿lim0 0 ¿−¿ ( )x → x f x0- = +∞¿lim¿Se ∀ε > 0 ∃ δε>0 : f(x) >ε ∀ x ∈ x ∩ (x -δ ,x )0 ε 0−¿ ( )x → x f x0- = -∞¿lim¿Se ∀ε > 0 ∃ δε>0 : f(x)<-ε ∀ x ∈ x ∩ (x -δ ,x )0 ε 0−¿ ( )x → x f x0- = l , l ∈ ℝ¿lim¿ | |( )−lf xSe ∀ε > 0 ∃ δε>0 : : <ε ∀ x ∈ x ∩ (x -δ ,x )0 ε 0−¿ ( )x → x f x0- = ∄¿lim¿Se non si verifica nessuna delle condizioni precedenti

Unicità del limite

Il limite, se esiste, è unico.

Limite per restrizione

(x) (lim f lim f x)¿Se esiste il = l , allora esiste il = l con a ∈ domfax → x x → x0 0

Criteri sui limiti

(x)lim f- Se esiste il = l ed esiste a ∈ ℝ : a<l , allora esiste un intorno bucato di x : f(x)>a ∀ x ∈ V∩X0

(x) )lim f lim g( x- Sia il = l < λ= il , allora esiste un intorno bucato V di x :0x → x x → x0 0f(x)<g(x) ∀ x ∈ V∩X (x) )lim f lim h( x- Siano f,g,h funzioni da x in ℝ e sappiamo che = l =x → x x →x0 0allora : )lim g( x1) Se esiste un intorno bucato di x : f(x)≤g(x)≤h(x) , allora il = l0 x → x 02) Se l=+∞ ed esiste un intorno V di x : f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ V∩X , allora il0)lim g(x = +∞x → x 03) Se l=-∞ ed esiste un intorno V di x : g(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ V∩X , allora il0)lim g(x = -∞x → x 0

Proprietà sui limiti

Limite della somma

( )+ ( ))(f) (x) lim x g xlim g(x lim f= l , = t , allora = l+tx → x