Appunti Analisi 1

Lezione 1

Connettivi Logici:

Siano P e Q due affermazioni di cui si può stabilire se sono vere o false.

• Congiunzione P∧Q: P∧Q è vera se e solo se sia P che Q sono vere.
• Disgiunzione P∨Q: P∨Q è vera se e solo se almeno una tra P e Q è vera.
• Implica P ⇒ Q: P ⇒ Q significa che se P è vera lo è anche Q.
• Equivalenza P⇔Q: P⇔Q significa (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)
• Negazione P: P significa P vera ⇔ P falsa

Insieme:

• Concetto intuitivo
• Un insieme si può rappresentare con:
  • Elenco: es. A = {a, b, c}
  • Proprietà Caratteristica: es. A = {x : x³ ≥ x}

Appartenenza ad un Insieme:

• a ∈ A significa "a appartiene ad A"
• a ∉ A significa "a non appartiene ad A"

Insieme Vuoto:

Insieme senza elementi, si rappresenta con ∅.

Relazioni tra insiemi:

• A = B: Ogni elemento di A appartiene a B e viceversa
• A ⊆ B: Ogni elemento di A appartiene a B
• A ⊂ B: Ogni elemento di A appartiene a B, ma esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A.

Operazioni fra insiemi:

• Unione A ∪ B: A ∪ B è l'insieme degli elementi di A e di B
• Intersezione A ∩ B: A ∩ B è l'insieme degli elementi che appartengano sia ad A che a B
• Differenza A \ B: A \ B è l'insieme degli elementi che appartengano ad A ma non a B.
• Prodotto Cartesiano A × B: A × B è l'insieme delle coppie (a, b) nell'ordine aventi a ∈ A e b ∈ B. Nb: A × A = A²

Radice di numeri razionali positivi:

Dato k ∈ ℕ\{0} e p ∈ ℚ ∧ p > 0, la radice k-esima di p è, se esiste, quel q ∈ ℚ tale che q^k = p

Tale valore q si indica con k√_p.

Numeri irrazionali:

Sia p un numero primo, √p ∈ ℚ ∨ k ∈ ℕ\{0}

Definizione costruttiva di ℝ:

Numeri reali: ℝ = ℚ ∪ ∃ Numeri irrazionali:

Nb: Anchio ℝ è un campo ordinato.

Proprietà di ℝ:

• Sensita:
• ∀ a,b∈ℝ con a<b : ∃ q∈ℚ : a < q < b
• : ∃ x ∈ ℝ\ℚ : a < x < b
• Completezza:

Siano A,B ⊆ ℝ con: A, B ≠ Ø, A∩B = Ø, A∪B = ℝ , tali che(a ∈ A, b ∈ B) ⇒ a<b. Allora esiste un unico s ∈ ℝ, detto elemento separatore, tale che a ≤ s ≤ b ∀ a∈A, b∈B

NB: ℚ non ha questa proprieta

Estremi di sottoinsiemi di ℝ:

Sia A ⊆ ℝ , A ≠ Ø

• A è detto superiormente limitato ⇔ ∃ M ∈ ℝ ͻ M ≥ x ∀ x ∈ A
• A è detto inferiormente limitato ⇔ ∃ m ∈ ℝ ͻ m ≤ x ∀ x ∈ A
• tutti i valori M sono detti maggioranti
• tutti i valori m sono detti minoranti
• Se ∃ M ∈ A, quel M è detto massimo di A, si indica con max (A)

Sommatoria:

∑_k=mⁿ a_k = a_m + a_m+1 + ... + a_n,   con   m, k ∈ ℤ

Produttoria:

∏_k=mⁿ a_k = a_m · a_m+1 · a_n,   con   m, k ∈ ℤ

Fattoriale:

n! = ∏_k=1ⁿ k · k+1 ... n

Coefficiente Binomiale:

(ⁿ⁄_k) = n! / ((n-k)! k!)

Binomio di Newton:

(a+b)^m =: ∑_k=1ⁿ (ⁿ⁄_k) a^n-k b^k,   ∀ a, b ∈ ℂ,   ∀ m ≥ 1

Forma trigonometrica di un numero complesso:

z = x + i y    = |z|    x = cos θ   ⇒ z = (cos θ + i sin θ) x = cos θ   θ = Arg(z)   y = sin θ

min di f è min Im f.

Punti di estremo di una funzione:

Sia f: D ⊆ ℝ → ℝ, sia x₀ ∈ D, si dice che:

• x₀ è punto di minimo assoluto per f <=> f(x) > f(x₀) ∀ x ∈ D ∖ {x₀}
• x₀ è punto di massimo assoluto per f <=> f(x) < f(x₀) ∀ x ∈ D ∖ {x₀}

Un punto di massimo o minimo assoluti è detto punto di estremo assoluto.

6) x_o = +∞ , l = +∞

∀M ∈ ℝ ∃ K   x > K   ⇒   f(x) > M     x ∈ D

7) x_o = +∞ , l = -∞

∀M ∈ ℝ ∃ K   x > K   ⇒   f(x) < M     x ∈ D

8) x_o = -∞ , l = +∞

∀M ∈ ℝ ∃ K   x < K   ⇒   f(x) > M     x ∈ D

9) x_o = -∞ , l = -∞

∀M ∈ ℝ ∃ K   x < K   ⇒   f(x) < M     x ∈ D

Teorema di esistenza del limite:

Sia \( \lim_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R}^*\), \(x_0 \in \mathbb{R} \), con f definita su tutto \( I(x_0) \setminus \{x_0\}\).

Allora \( \lim_{x \to x^+_0} f(x) = \lim_{x \to x^-_0} f(x) = l\).

Stime asintotiche notevoli:

1. sen x ~ x, 1 - cos x ~ x²/2, tan x ~ x
2. log (1 + x) ~ x

Proposizione:

Siano f(t) ~ g(t), h(x) ~ t_x→x0 con h(x) ≠ t₀ in I(x₀) \ {x₀}

allora f(h(x)) ~ g(h(x))

Altre stime asintotiche:

3. arctg x ~ x, arcsen x ~ x
4. e^x - 1 ~ x
5. (1 + x)^α - 1 ~ α x

Teorema:

Siano f(x) ~ Ẽ(x), g(x) ~ Ĝ(x) per x→x₀ ∈ ℝ^*.

Allora per x→x₀:

• f(x) ⋅ g(x) ~ Ẽ(x) ⋅ Ĝ(x)
• f(x)/g(x) ~ Ẽ(x)/Ĝ(x)
• [f(x)]^α ~ [Ẽ(x)]^α se α ∈ ℝ
• Se f(x) ~ ℓ ∈ ℝ^*\{±∞} e f(x) > 0 in I(x₀) \ {x₀}, allora: log f(x) ~ log Ẽ(x)

Dimostrazione:

1. [f(x) ⋅ g(x)] / [Ẽ(x) ⋅ Ĝ(x)] = [f(x)/Ẽ(x)] ⋅ [g(x)/Ĝ(x)] → 1 ⋅ 1 = 1

2. [f(x)/g(x)] / [Ẽ(x)/Ĝ(x)] = [f(x)/Ẽ(x)] ⋅ [Ĝ(x)/g(x)] → 1 ⋅ 1 = 1

3. [f(x)]^α = e ^{α log f(x)} = e ^{α (log f(x) - log Ẽ(x))} = e ^{α log [f(x)/Ẽ(x)]} = e⁰ = 1

4. log f(x)/log Ẽ(x) = [log f(x) + log [f(x)/f(x)]]/[log Ẽ(x)] = [log f(x)/Ẽ(x)]/log f(x) → 1 + 0 = 1

Teorema sul carattere di serie geometrica:

La serie geometrica di ragione q:

1. Converge a ¹⁄_1-q se -1 < q < 1
2. Diverge a +∞ se q ≥ 2
3. Oscilla se q ≤ -1

Dimostrazione:

per q=0: a_m=1 ∀ m ≥ 0 ⇒ la serie converge a 1 = ¹⁄_1-0

per q = 1: s_m = ∑_i=0^m 1 = m+1,   →   s_m ›   m › ∞   →   la serie diverge a +∞

per q ≠ 0, 1: a_m = q^m,   s_m = ∑_i=0^m qⁱ = ^1-qm+1⁄_1-q

per -1 < q < 1:   s_m › m › 1  →   s_m › m › 1 ⁄ 1-q

per |q| > 1     {…}

per \|q\| ≤ -1:   a_m⁺¹ non può avere limite

Carattere di ∑_m=1^∞ log (1+¹⁄_m)

∑_m=1^∞ log (1+¹⁄_m) diverge a +∞

Serie di Mengoli:

∑_m=1^{∞ 1}⁄_m(m+1) è la serie di mengoli e fa parte delle serie telescopiche

Serie di Mengoli generalizzata:

∑_m=1^{∞ 1-xm}⁄_(m+1)^xm     x∈ℝ parametro

Per x=1   ⇒ serie di mengoli.

Per x ≠ 1    s_m = ∑_m=1^{∞ 1-x}⁄_(m+1)^xm →    { 1  se  x › 0       0  se  x = 0     −∞  se  x ‹ 0 }

Condizione convergenza serie:

Se  ∑_m=0^∞  a_m  converge   ⇒   lim   a_m   = 0

Dimostrazione:

Sia   s_m = ∑_i=0^m a_n, not   s_m-1 = ∑_i=0^m-1 a_n = s_m−a_m

Se la serie converge: s_m › m→∞ ∈ℝ,  allora anche s_m-1 › s

Quindi  a_m ›  1 - 1 › ∞