Appunti Analisi 1

Analisi 1

Insiemi numerici → ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

s ∈ R è s ∈ A se s è un maggiorante di A, il maggiorante più piccolo di A si chiama estremo superiore (sup).

r ∈ R si r ∈ A è un minorante di A, il minorante più grande di A si chiama estremo inferiore (inf).

Successioni numeriche

È una funzione che fa corrispondere ad ogni numero naturale n un unico c(m) se diverge, si dice regolare, altrimenti si dice irregolare.

Una successione convergente è limitata, cioè se m, M ∈ R, c.c. m < m < M ∧ ∀m ∈ N.

Forme determinate

∞ + ∞ = ∞ ≈ ∞^∞ × ∞

Forme indeterminate

∞ - ∞ ∼ ∞⁰ ∼ ∞∞ ∞∞

&frac{0}{0}, &frac{1}{∞}

SE S_m / q_m t.q. M_x ANCORA q_m CONVERGE → S_m CONVERGE SE

q_m CONVERGE

SE q_m &mns; ūM SE q_m DIVERGE &mns; S_m DIVERGE

ūM = ūq_m =S_mm → +∞

IRREGOLARE q_m

IRREGOLARE

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE

SE ūa_m o_m o_m b_m q_m T.Q. X_m =ū M=oo

q_m b_m =o_m

o_{am om -bm}

- o_m o

o_m o_m -b_m -o_m-o_m o_m-b_m-o_m = o_mo_m-b_m -o_m-o_m

Se ūX_m DEFINITIVAMENTE - ūa_m = ūq_m = 9 ESISTE ALLORA ūq_m o_m

SERIE NUMERICHE

SOMMA DI TUTTI GLI ELEMENTI DI UNA SUCCESSIONE ū(a)_mN∈N∑∞ū

SERIE NUMERICA CONVERGE ALLA SOMMA ∑ SE q_m SE ūlim s_m s=s ∑ DIVERGE A

∞

ūm^∞

1. ∑^∞ ūm
2. ∑^∞ diverge
3. gge ∑m_m3 ispec). IRREGOLARE
4. SE 3M_BX9
5. SERIE GEOMETRICA ∑^∞q^N qⁿ 9^N
6. se q^is (1
7. 1⁄(q⁹-1)
8. se q>1
9. (+∞)irregolare

SERIE ARMONICA

∑^∞k_k = 1

CONDIZIONE NECESSARIA

SE ∑a_n OR CONVERGE ALLORA ∑ūqk=0

• SERIE a=k≠0 V
• KEN ALLORA LA SERIE CONVERGE SE

• e solo se s_m e' limitata

DIVERGE

q₀L.G. SE 00⁵

• SERIE EXPONENZIALE

CRITERIO DEL CONFRONTO

SIA 0≤k_0kg definitivamente allora

• if
• k₀^k_∑
• q_ne converges
• if k_cO diverges

• diverges
• CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

SIA 0_k 20 & BI>20 DEFINITIVAMENTE

tach che qista ū

se som

∑qk il&

merg

CRITERIO DELLA RADICE

SIA αk>30 DEFINITIVAMENTE

Se esiste 9: _ok=∑_o9_etk

BIf ER ū

SIA αk>30 DEFINITIVAMENTE

se esiste 9:

1. α
2. A.O
3. (≤)
4. ok
5. if

CRITERIO DEL RAPPORTO

SIA A_k >30 DEFINITIVAMENTE SE esiste 9 =

• eq

if ū ∑_kx conver

SERIE ARMONICA GENERALIZZATA

∑^∞0:=1 q*1 per x ⋕ fissiodiverg per

1. o-x1 (v≤x1 )converge per a x2

CRITERIO Leibniz

Una tendenza delcap:

sucezione (off)

infinitsima

∑a f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b), f è decrescente < f' (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b), f è costante < f'(x) = 0 ∀ x ∈ (a;b).

- f' è c. strettamente crescente > f'(x) ≥ f'(0) ∀ x ∈ (a;b), c. strett. decrescente.

Criterio estremi locali:

Sia f (a;b) derivabile, e sia x₀ ∈(a;b) (∃) U x₀:

• Punto di massimo locale se f (x₀) cambia in x₀ seguendo
• Punto di minimo locale se f(x₁) cambia in f (x₂) da f' (x) = 0,
• Regole di de l'Hospital: siano f, g : x₀ → ∃ a fronte di una f' (c).e f e g sono derivabili (∃) (a;b) e (∃) allora anche ^lim_x→x0 f(x)= a con 0∞.

^f'(x)/_g'(x) semplici da Landau o(1) : 1 : a(∞), per (∞) signif.: per infinitesimi o g'(x) che passano sup (appiangte) che abbiamo:

g(x), per infiniti x (x ≠ ∞) che f'(c)** = 100 più lentamente di f(g(x))

Polinomio Tayloa:

Se f∈ C™[a;b], c0 (∈), x ≠ b allora è un unico polinomio tm oligano _n=0^∞(^f(n)(x₀)/_n!)(x -x₀)

Formula di Taylor:

Sia f∈ C™[a;b], c0 (∈), x < f (c). Allora per∈ c f(x) = p(x) + R_n(x)

= f(x) - f(x₀) per ∀ x, resto di r_i_i.

= f'' f(e) x + C_gper ∈ x₀ < x₀

Applicazioni formula di Taylor - estremi locali:

Sia f∈ C™ (∃) ammette x₀ in M basta che:

f'²(x₀) = 0 e f' (x₀) = f (x₀) per l'; allora è massimo locale se f^(m) (x₀) < 0 se m è dispari (∃) non è un minimo locale.

Calcolo dei limiti:

Se ^lim_x→x0 R(x) = algo che = o (y²) è il punto esterno.

Punto asintotiche che φ(x) = φ(p) quindi applicando il principio di sostituzione:

∃ t₃₁, t ₂ per x → x₀ ancora ∃ t₁, t₂ < φ¹ per x→∞ (stesso ^L₁₂).

Studio di una funzione: data una funzione f:

1. Determinarne il dominio ∈; C, ∈
2. Simmetrie (paripari ø dispari) < φ> f'(0) ≥ 1.
3. Intersezioni con gli assi (Asse x) (x≈c) < e asse y (0; c).
4. Segno delle funzioni.
5. Calcolo dei limiti (dal destro sinistro destra sinistra nella).Esterni ^lim_x→∞ f '(x) = [^lim_x→∞] [ (f(x)- φ) = x ].

Studio della derivata prima( f'(x) C):(estremi loc.ri)concavità/convessità (punti di flesso -; pt)

~f''(x) ∈

Calcolo integrale:

Se f∈ C™([a;b], f è limitata e ha un numero finito di discontinuità oppure e mono.tona allora f è integrabile (! particolare ogni f∈ C, allora).Teorema della media: Se f ∈C™([a;b]) allora C, (∃) c:f(c) = f(c) = f(c) (∃) c⁽³⁾.