Appunti Analisi 1

Analisi 1

Insiemi numerici -> N Z ℚ ℝ

Se r ∈ R \ A, sup A = ∃ | Ͳ meg ˃ r ∀ a Ϳ, il maggiorante piùpiccolo di A si chiama estremo superiore (sup A). Se sup A ∈ A -> Max sup

Se r ∈ R \ A, inf A = ∃ | Ͳ min ˂ r ∀ a Ϳ, il minorante più grandedi A si chiama estremo inferiore (inf A). Se inf A ∈ A -> Min inf

Successioni numeriche

è una funzione che fa corrispondere ad ogni m ∈ N un unico o(m) ∈ ℝ, si diceconvergente al limite l ∈ ℝ se ∀∈>0 ∃m0∈N : ∈∀m≥m0 ( |om - l|m0 ✘ ∃M∈ℝ (om∼m2 (*) Se lim am = 0 -> Infinitesima divergente se om = ±∞ o se ∀M>0m0om≥M c.c. am→M} ∀M,m0 = ∞ se ∀M om}se converge o diverge si dice regolare, altrimenti si dice irregolareuna successione convergente è limitata cioè ∃ M, M ∈ ℝ c.c. m om

Siano am e bm 2 successioni convergenti con om→l e bm→c2 per m→∞ allora per m→∞ b m + bm ∃ l < c2 + c2 om نسبت به b = = c2(c C1 2 ک (om) ‘≤’ ‘≤’ c3 [α ≤ (121)] | C1m 1 = (21)

Forme determinate -> ∀ om ˃ b 1 + α, _{(∞ + ∞) = ∞, (∞) (∞ - ∞)|=l | Ϳ : Ϳ ط . 0 | Ϳ, 0 | ٧; ٠ .0: ∞+ ||numerator om∑& تعداد . C&منتظرc| ∞ 271(0سزس)*: ∑ se grsend|0| Then se &∞+ gr | |∞, can't lead ∞>salti ero 1∞. 0, ∞ (simbolo)=پناههای(∞ میکرود formello inde c1Simarde. ⃗(∞ - ∞) (≠ 0) = ∞| 0 ∞ | 0|∞ 0(∵}

∑∀ | 0 بر هر جهت مشابهln دو دره (بین بیان ← فرمترین(, کوچک مو | |ΩUNI | Σ. این زمنین دانیاسیا | دمه مدل | ∞ ∞ | ((bytes ._{(زهارج. و، امتیارموین، | س> 0, temenadella permanenza del segno. Una successione om meN si dicecrescente, ∃ om1 > om ∀ m ≥ N, decrescente, se am1 om m ∀ NeNmonotona, se ê crescente oppure decrescente. Se monotona ammettelimite, questo è finito (cioè converge) | om = chitatato inoltrelim and sup c2 : ) am, crescente inf (➊ om = c ‘^decrescente) بہدنقش جاگرئوسہ،5(،เข}iE تحت T عفو آرا شمارش的Ə融 کم قرار مو^{iSN س (چين سيظ N (آنتلر سمیتگ) زاجا هاری۹سی بکمواری کم انی}}

Analisi I

Insiemi numerici - ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

• Se r ∈ ℝ es Voce A, se r ≥ a ∀ a ∈ A, r maggiorante di A, il maggiorante più piccolo di A si chiama estremo superiore (supA) se supA ∈ A ⇒ massimo.
• Se r ∈ ℝ es Voce A, r ≤ a ∀ a ∈ A, r è un minorante di A, il minorante più grande di A si chiama estremo inferiore (infA) se infA ∈ A ⇒ minimo.

Successioni Numeriche

ε: una funzione che fa corrispondere ad ogni men un unico σ(m) ∈ ℝ, si diceconvergente al limite l ∈ ℝ se ∀ ε > 0 ∃ men ε.t.c. ∀ m ≥ men⇒ |σ(m) - l| < ε ∀ M,M'σ (es_m,M'ε).

Se (lim emσ - ε) = 0, infinizesima, divergente se limσ = ±∞ σ ±∞se ∀ m > 0

• σ m ∉ ℝ, c.c. ⇒ a > m, ∀ m0, Σ(∞) = ∞, c.c. se ∀ k,s0 = m ∀ m0 Σ(∞) = ∞, c.c. σ(∞, M) ∀ M0:

Se convergente o diverge si dice regolare, altrimenti si dice irregolare.Una successione convergente è limitata,cioè ∃M, M ∈ ℝ c.c. m, σ(m) < M ∀ M∈ℕ

• Siano σ(m) e δ(m) 2 successioni convergenti con σ(m) > 0 1 λ < 2 per m = λ00 avra per (m-δ0 1 σ(m) + δ(m) ≤ 1 ε2 c.c. σ(m)-δ(m) = c.c. ε - c.c. 2, σ(m) = 2 1 0c (per ε2 + 0) (σ(m)) < ε2 ∀ ε2?
• σ(m) = 1 < 2 1

Forme Determinate

• 0 ⋅ ∞ = ±∞, 1 ⋅ ±∞ = 0(∞₀ x) = 0(∞^±∞) ±∞
• ∞ ⋅ 0 < sub>i0

Forme Indeterminate

• ( ±∞) ⋅ 0 ( ±∞) ⋅ 0 ⋅∞ = ( ±∞)
• 0_∞ 0 ⁰∞

Se σ(m) ≤ δ(m) e δ(m) ≤ ε2 per m > 0 con ε1, ε, (2 ε, n2 e σ(m), δ(m) ∀ m ε(1).

• Se σ(m) < ε ∑(m) ∀ m∈ε(1)ε2 allora per m = 0 σ(m)=0, σ(m)-c.t. Carabinieri

Se σ(m) ∀ M∈∀ &epsion; positivo definitivamente Σ(1