Appunti Analisi 1

CALCOLO INTEGRALE CALCOLO DI

CALCOLO DI AREE T.FONDAMENTALE PRIMITIVE =

(CON SEGNO) = CALCOLO INTEGRALE INTEGRALE

INTEGRALE INDEFINITO

DEFINITO T. DI TORRICELLI-

BARROW

Calcolo di primitive

Assegnata f(x) per xϵI, I intervallo, e sia F’(x)= f(x) xϵI

∀

Allora F(x) = ()

∫

Osservazioni

Se F(x) è soluzione F(x) + c soluzione cϵR

è

→ ∀

Viceversa, se F(x) e G(x) sono soluzioni G(x) = F(x) + c sull’intervallo I

→

Si definisce

= F(x) INTEGRALE PARTICOLARE (soluzione fissata)

()

∫ = F(x) + c INTEGRALE GENERALE (tutte le soluzioni)

()

∫

Proprietà

Siano F= e G= allora

∫ ∫ Linearità : = c’F+c’’G

′

∫(′ + ′)

Traslazioni: = F(x-x )

( )

−

∫ 0

Cambio di scala: = F(ax)

()

∫

Integrali immediati +

• +c

=

∫ +

• + c

= | − |

∫

−

• +c

= = = ( )

∫ ∫ ∫

+

( +) +

NB bisogna definire l’intervallo I per poter scrivere l’integrale generale in modo corretto

Algoritmo di integrazione

()

Sia f(x)= con n=grado(N) e d=grado(D)

()

se n<d vai al passo 1 () ()

se n≥d esegui la divisione e scrivi = Q(x) +

() ()

1. scomponi D(x) in fattori irriducibili in R

D(x)= a (x-x ) … (x-x ) (x +α x+β ) …(x +α x+β )

m1 mk 2 h1 2 ht

d 1 k 1 1 t t

() ()

∫ = / ∫

() ( ) ( )

− … + +

2. fratti semplici

(x-x ) =

m1

+⋯+

1

( )

− −

…

(x-x ) =

mk

+ ⋯+

k

( )

− −

+ +

(x + x+β ) =

2 hs

+⋯+

α s s

+ + ( + + )

3. integrare per linearità tutti i fratti semplici

= ln |x-x |

∫ r

−

dx = ∙

∫ ∫

−

(− ) (− ) −

+

dx = k∙ln( + R∙arctan(R’(x-

+ + ) ))

∫

++

Integrale per parti Dalla formula (f∙g)’ = f’g + fg’ si ricava che

= f∙g -

′

∙ ′ ∙

∫ ∫

g’ = fattore differenziale

f = fattore finito

Integrale per sostituzione

Poiché f(g(x))’ = f’(g(x))∙g’(x) si ricava che:

= f(g(x))

′ ′

(()) ()

∙

∫

Ponendo y= g(x) e dy= g’(x)dx risulta:

= = f(y) = f(g(x))

′ ′ ′

(

()) () ()

∙

∫ ∫

Integrale definito

Per il calcolo di aree euclidee si usa l’integrale di Riemann

Sia f: [a;b] R f limitata e f(x) 0 [a;b]

≥

→ ∀ x ϵ

Sottografico e partizione

Sia S = { (x,y) R, x [a;b], 0≤y≤f(x) } il sottografico

ϵ ϵ

E π : a= x < x < … < x < x partizione di [a;b]

0 1 n n+1

= insieme di tutte le possibili partizioni di [a;b].

σ([a;b])

Dunque: m = inf { f(x), x } i= 0…n

≤x≤x

i i i+1

S (π) = si dice somma inferiore

=

∑ ( − )

i +

E l’integrale inferiore di f su [a;b] per definizione è

{S (π) : π

()

= ϵ σ([a;b])

∫ i

_ M = sup { f(x), x }

≤x≤x

i i i+1

S (π) = si dice somma superiore

=

∑ ( − )

sup +

E l’integrale superiore di f su [a;b] per definizione è

_ {S (π) : π

() = ϵ σ([a;b])

∫ sup

_

NB per ogni f vale: () ()

≤

∫ ∫

_

In particolare, f si dice integrabile secondo Riemann e si scrive fϵR([a;b]) quando:

_

() ()

=

∫ ∫

_

Si dimostra che fϵR([a;b]), f limitata e f(x) 0 se:

≥

• f continua in ]a;b[ oppure discontinua in un numero finito di punti

• f monotona in ]a;b[

proprietà di linearità Siano f, g R([a;b]), allora: c f + c g e

ϵ ϵR([a;b])

1 2

= c + c

+

∫ ∫ ∫

1 2

Se f(x) non è ≥0

Sia f: [a;b] R f limitata e di segno variabile

→

Definisco f(x) = f (x) – f (x)

+ - () () ≥

f (x) = {

+ ()

<

()

>

f (x) = {

+ ()

−() ≤

calcolo di aree

sia y=k

S= = k(b-a)

∫

sia y= , y≥0

√ −

S=

√ − =

∫

−

sia y=x 2

S=

=

∫

sia y= x n +

S=

=

∫

+

Teorema della media integrale

Sia fϵR([a;b]) f ha m=inf f(x) e M=sup f(x)

→

Allora m M

≤ ≤

()

∫

−

ꓱ

Se f continua, allora c tale che f(c) = ()

ϵ[a;b] ∫

−

Interpretazione geometrica:

f(c) (b-a) =

∙ ()

∫

Integrale orientato

Serve per definire le funzioni integrali = anche nel caso in cui risulti x

()

(x) ∫

x

≤ 0

Infatti, per definizione: = 0

()

∫

= - nel caso in cui a>b

() ()

∫ ∫

Infatti, per la proprietà additiva:

+ =

() () ()

∫ ∫ ∫

Se a<c<b allora:

= -

() () ()

∫ ∫ ∫

Il teorema della media integrale vale anche per l’integrale orientato, ossia:

se a>b, = - = ,

() () ()

∫ ∫ ∫

− − −

Funzione integrale

Sia fϵR([a;b]) ossia riemann integrabile su ogni intervallo incluso nell’intervallo I dove

essa è definita, f: I→R

Sia x I punto fissato

ϵ

0

↓

Risulta ben definita la funzione integrale

I→R, = con ) = = 0

() ()

: (x) (x

∫ ∫

0

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il seguente teorema è il punto di contatto tra il calcolo di primitive ed il calcolo di aree.

Assieme al teorema successivo di Torricelli-Barrow, che ne è una diretta conseguenza,

mostra che i due problemi sono in realtà equivalenti e risolvere uno di essi consente di

risolvere anche l’altro. Questo giustifica, tra l’altro, il fatto che i due calcoli portano lo

stesso nome di integrale.

Sia f : I R sommabile su ogni intervallo limitato contenuto in I e sia x0 I un punto

→ ∈

fissato.

Allora la funzione integrale

= ()

Φ(x) ∫

è continua in I. Inoltre, se la funzione f sotto il segno di integrale è continua in allora

̅

è derivabile in con

̅

Φ ) = f(

)

̅ ̅

Φ’(

In particolare, se f è continua su tutto I allora è una primitiva di f in I

Φ

Dimostrazione parziale.

La continuità di segue dalla definizione stessa di integrale e dalle proprietà della

Φ

misura nel piano. Per quanto riguarda la derivabilità di limitiamoci per semplicità al

Φ,

caso di f continua su tutto I. Sia x un punto generico di I.

Dall’additività e dal Teorema della media integrale, segue che

( + ) − () +

= = f(c)

()

∫

Con c= c(h) tra x ed x + h.

Per h 0 il punto c tende ad x, quindi

→ ( + ) − () = = f(x)

()

→ →

dove l’ultima uguaglianza vale in forza della continuità di f in x. Mettiamo in evidenza

che il Teorema fondamentale assicura che ogni funzione f continua nell’intervallo I ha

primitive in I.

Una è la funzione integrale = , tutte le altre sono del tipo

()

Φ(x) ∫

F(x) = c + = c + ()

Φ(x) ∫

con c costante arbitraria, c = F(x ) visto che ) = 0. La costante c viene quindi

Φ(x

0 0

determinata se si assegna una condizione iniziale: il problema nella incognita y(x)

′ () (),

=

{ ( ) =

ha come (unica) soluzione

y(x) = y + , x I.

() ∈

∫

0

Si ha anche il fondamentale risultato in direzione opposta:

Teorema di Torricelli-Barrow

Sia f: [a;b] R continua (quindi riemann integrabile)

&rar