Appunti Analisi 1

29 sett 2020

Logica

( ) VIF verità cui proposizione di enunciato valore attribuire a qualsiasi si possa un Logica b y X2 p q .. ., ,, , , es " " è 2 : Foggi = domenica → "" la frutta b proposizione se no mangi non → : =

Connettivi logici

Date 2 proposizioni p q, definisce si ( " ") Vq almeno indicata disgiunzione v è nuova una vera se prop uno • → p. "" vel è vera tra op ,,)( verità tavole 5 es 7 EVq .9P p 9p vera( ))( VVFV 5=75<7 --V v vF Fv✓ vF F F (1) ( ) pdq

• Congiunzione è solo vere entrambe nuova sonovera se prop p- q- ," " et (a) )( ptpt rvpv9p q s-F FU V FF v✓ vF F Fvlrvp)):( pdq s-Nista .(7) qualsiasi negazione è po una prop ."not" ? falsa Definisco la è è se vera prop p "Ip not PF VFV Ippt) perché false sempre vere contemporaneamente I mai Oss →. 2) VIP sempre vera p( ) sdoauando-p.EU
• Implicazione è che una {Fqp propo . Logica " è implica" Fq9p da9p premesse puoi sia arrivare False F FV False che deduzioni vere a V vF v✓ vF F Vqpdicesi : sufficiente per q condizione è pb. p per è necessaria 9 condizione b. -allora se qp A. antecedente è conseguente e q è pa. )) (( ipotesi tesi 9P ( )ti)

Allora ( porto sciare al' esame se superi es Caso le V✓ vti sciare porto a esame passi , Cia f V ① ti l' sciare porto esame a passa non , 3 caso F f ① ti l' non esame sciare porto a passa non , 4 caso- V F ⑪ ti l' sciare porto esame non a passa , implicazione logica Oss ripresa qp. 7 pvq7ps9P qp 9)( logicamente è pFF F F✓ ) pvq Equivalente a vV vvF VV VFvF F V ✓✓ )( hanno

Equivalenza

Equivalenza la se peq vera prop° s ⇐ . logica stesso verità " es do di valore se " se 9p 9#P 1) solo se se 9p e 2) F F 9✓ per condizione è sufficiente necessaria e pV FF v✓ vF F V g)(( ))( pvqIpvqp p-⇐= # )GaeGià )IOa.IE al il allora porto es se • • ' qp (I.sqo.IE ) )il( ti alareporto è c' non o7 qp dell' implicazione

Forme equivalenti

Equivalenti forme tlpvq )( 9)1) >pa 7 pvq7ps9p qp FF F FV vV VvF VV VFvF F V ✓✓( )9)( IPVIQ coneronominal C2) p TPV 797g7ps9P qp VF F VFV V VV VF FV✓ Fv FFF F V V✓ v(( ) Ip179g) assurdo 3) dimostrazione per >⇐ pp ( ) Tppala7g9P q qp p VF F VV vV vVF F fV✓ Fv VFF F V F Fv (( ))

m'IN allora n è è se ES pari pari. 9p7 2kK a-:un011M Diretta : )estate 2h! 4ktME ( )2k pare-) (( )allora nae' n è pare parase ES . pq )(( ) 7gTpq p ( ))( ma è allora è se dispari dispari m 7 2ktK a-:un011M Diretta : zktdhqkttkti-212ktzkftin2-2s.ttME (Dispari ho Tp 70 anche allora che dimostrato mostrando n è ne che cioè è pari se q pari p, )(( ) ma Oss pari ripari qp. )()P (9 magari ripari( )() riparim pari

Dimostrare

UTAV dimostrare ES • ..1) Ipv 79 ( )= Morgan de) 179Ip7( pvq2) - incubo)( 70 TPVIQ7 TppagpdqD qp ,VV v F FF FF VF U vU F FV vVF V F V VF vF vF -)( 70 7pm7 Tppagpvq2) qqp ,VV v F FF FF UUU FF FFvVF V Ff V VF vF vF -11T

Predicato

Predicato che parametri contiene enunciato ")( " ( ) è proposizione divisibile es y yy 7 nop p: per →. quando non fino a a valore un assegno) 5)( Pll F14 vp y "③" b) lo @tla studente nella città è stato:,( )t Roma Aldo v,(t )Davide Firenze v,( )t Tnnbuktu Francesco F,

Quantificatori

Quantificatori → E tt ""1) ogni per Universale Quanti :. "] " almeno 2) Esistenziale esiste Quanti : un. " "!7 ed esiste è unico predicato quantificatori antepongano diventa si a cui parametria un con Oss una a. proposizione) )(plk7k µttx )plx eKveroFalso :: ossa b)tlaHattbt b)(ttbta :D ⇐ -ea. ,: ,, 2 concittà qualunque studente in qualunque stato è

Quantificatori presentano si fa Ib (t )aib 2) 6v: casi, città almeno stato una è in studente qualunque b)tlabb)Haittb Iafa tF 3) :⇐ s: , ,, ha studente almeno qualunque visitato che esiste città uno b)tlaIa 4) fb v: ,, almeno studente città che stato è una in di meno esiste uno b)tlafattb 5) F: ,, studente almeno città stato è uno ci qualunque in Ib b)tlaHa 6) v:, , studente visitata da stata città ogni che esiste è una ? dei che contenga proposizione quantificatori una nega se come )( )plxiyIgVx7 : =, )tty (fx Ip: yx= ,, )( JY )ttz )plxttx qlzV7 y ai: =,,. ) )Vqlz(Ix tty tz 7 yxp= ,., , • ))IplxI Iqlztty7ps IxIqItty 1Ix yz ::= >z ,⇐ , ,, , nella negazione V. 7→VplxI → )plx)yiz z- g.- ,,

Insiemi

Insiemi richiamo sugli È t assunta primitiva di come insieme ~ > nozione AB 4X maiuscola indicati , con insiemi ., ..→ b X. y Elementi e minuscola indicati , . .., con → insiemi "" all' X appartiene e insieme ×A a "all' X11¢ appartiene insieme a non ×a identificate Insieme Oss possono essere. }{a) tabulazione 1,3 7,13a =per ,tft }b) X proprietà 2: >per - + e( ) confronto tra tra Relazioni insiemi insiemi operano un )() aB b)#I inclusione f XEAE e "incluso")I B) stretta () ( 1) ¥(A IgeaB ttx xeaXEB y:< incursione , strettamente" "incluso A E • y Bla Esattamente I a non B Esclude che sia = invece Esattamente la aII B Esclude sia che =

Insieme elementi vuoto di insieme privo =41141¢ ¥EX:IXDTA ," "incluso ( ) tra insieme insieme nuovo generano un operazione a e b dati 2 insieme - A B { })( XEAVXEBAUB 1. v Unione > x. }{ Xeanxeb(1) Arbe 2. X A: intersezione BB {AUB BA Oss - a. ÉLITE I'area B'⇐ }{AIB XEAVXEIB 3. X Differenza : insiemi stra =" "meno BA Oss insieme Disgiunti. a B=DAMBa AebAlba sono Disgiunti }{ XEAUBRXEIARB 4. simmetrica AOB Differenza X :- )( ) aKant BAUB= =)AIPDULBIA(= di fornito Complemento che volta insieme un viene insieme un ogni_ )( Ul'specificato andrebbe universo }{A I 1 ↫8xe ambiente ×= in: cui > si opera T universo }fierib. 8x.= .i Universo complemento}fxeu -eta) Cola x:= AUnaluca) = U del Proprietà complemento Mini-_) alieta) =. ) lcb)ElaA eEB2 . ! Importante Oss . =Dand aupab) =UA nuc) =AUUd) A=IXDTFI up) aa aI Potenza idem =UnE) Bufia PROP commutativa B a= .( B) )ulanc)E) anlbuc }an= Distributive Prodi b)c) )((( Bn AucnauAU =

Insieme delle parti

Delle parti Insieme dato insieme a un_GX })Pla :X ae=§ }bA elementi il deino a è suoi è Finito es se a c ae= ,,,. allora ) hapla zn elementi { }fa { fafb }} {}) Emanassero fai} }¢ } aPLA b bioe-. ,, ,,, ,, ,

Insiemi numerici

Insiemi numerici }{IN naturale 2,30,1= .. ., { }# Interi -3 2,3-2 1-1 0= ,.. ,. , . ..,, }{④ In tra razionale loro trafugare ed M¥0 primi: e m= n termine R¢ ERANe # e ## le fare sottrazioni NATA in ariesco in: no, le ④ # divisioni fare in in no ariesco , TTRI ① fare in no riesco a in, )( del risolvere tipo Ezioca .TlFfareCl a no inin riesco , e')logli -7; = trasimmetria somma prodotto)( e0,7di assiomi struttura algebrici.,)

Struttura algebrica

④ ( ) definita che delle detta gode proprietà è un'I seguente son nna operazione in t terzo elementi( 2 ) binaria opera su genera un e ne,{ tta.be/Q:atb=bta Si C : commutativa Va Q )(b52 atbtce.at btccea associativa: :,, IN elemento neutro detto della zero elemento somma ss neutro esiste: un70 faEQ ato a=: , E Se alla elemento esistenza opposto somma: (a)fa Ib atbo b opposto da: =, )()

④ che delle gode seguenti proprietà prodotto I definita detta è un' . operazione in { P V-a.be/Q:a-b=b-: commutativa a,% " ( c)" b. ↫€ ←" associativa a.: ° ⇐Va71 -1Ps EQ neutro aa: Elemento=: , elemento7 Va l' tale che 0pe Reaceropo#: ,, (f)Ha bI b di b# 0 1 aa. reciproco: ==. ") "le dalla III legate proprietà 2 operazioni distributiva sono Ha b)(( () c)b btc a.a.a.c + Distribuiva: =,, della del dalle discende prodotto proprietà somma Nate : e le la possibilità di 4 operazione eseguire b)C-b sottrazione ata- = ¥ b divisione # Oa% con.= di operazioni unione 2. insieme un e > che di dotata seta 2 Una operazioni oss . ( ( Ps) Pz si se52 )PiSs le proprietà Pa soddisfano ,, ,, ,, detta campo viene io- a↫ Galois introdurlo:? (G)µ ¥ della elemento somma xk è campo è opposto non un (F)¥# ? il è no campo un reciproco

Proprietà importanti di ④

④ proprietà Importanti ④ è soddisfa totalmente campo cioè ordinato un di gli assiomi Ordinamento ④ In ( la) la relazione definita quale è è e segue una non , soddisfa le cioè D' Relazione ORDINE , proprietà : ( )Va Riflessiva a Eam ), (b antisimmetrica QEB beaVa b 1 a--:← , )bel (Ebbfa aecc na transitiva:← , -, El leHa b VRO a totale a: _,. fa btc }del b)le valgono proprietà Oi a te e:c: ,, b.ElVa) b -0oii : cee a a e. ., , cui permettono di postare l' algebra disequazione delle le tutte del calcolo algebrica aritmetico proprietà ed sintesi : da discendono 51,52 se Ss ,, PsPz poi Pe ,, ,÷ . ?

Necessità di estendere

④ di necessità Che abbiamo estendere 2400 c.)(( C.) "> "PIOGGIA 1870500 A. DEDEKIND D.sPITAGORA → - ④ -5 E- introdotto 4 i 53 , '2 l1 ,1 iIZ± ' composizione. ⑪ >•5 z0 1g7Q !tt Proprietà ef-Geometrica →: corrispondente retta per la fisica la dell' idea retta geometrica può rappresentazione essere pensato abbiamo che diamo ciò correlativo oggettivo a → ? il P vale associare punto a possiamo Un re ne viceversa ogni? ! m corrispondente ne1 p^ ^FA| '>' ④^ e 21 1o- ?? QQ Al ma punto razionale e corrisponde un OF1712=2 Hp! ④00TOT una e:= =( 7 loro)¥ tra E M¥0 nmm prima n , , , ,, ?'

(ma 00T è) 2nFmeIa PARI 2 cioè = = )( 2k)me è è pari ma se pann CLKÌ 4kt 2nF2nA Allora 2k =se nn = 2kt si ma è cioè è pari pari m= ( )2h ho contraddizione insanabile un' trovato $ (f) il ① che corrispondente sulla vetta e occupi Q NO punto → . .. ④ La di 12 ad necessità la di stabilire bisogno da l'estendere nasce corrispondenza Biunivoca { ¥ !7R P retta corrispondente ee× ,tt I ! RPerette -xe, ( )R continuità completo di buche retta & eg