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Legami tra derivata seconda e concavità e convessità
Def. f si dice convessa su un intervallo I se:
- ∀ x1, x2 ∈ I e ∀ t ∈ [0,1] si ha
f(tx1 + (1-t)x2) ≤ t f(x1) + (1-t) f(x2)
f si dice concava su I se
- ∀ x1, x2 ∈ I e ∀ t ∈ [0,1] si ha
f(tx1 + (1-t)x2) ≥ t f(x1) + (1-t) f(x2)
Teorema (Caratterizzazioni della Convessità)
Sia f: I → ℝ definita su un intervallo I derivabile due volte. Allora sono fatti equivalenti:
- La funzione f è convessa su I
- Comunque si scelga x0 ∈ I si ha;
f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x-x0) ∀x ∈ I
- f''(x) > 0 ∀x ∈ I
4) Calcolare i limiti agli estremi del dominio
limx→0+ (1+lnx)/x = -∞
limx→+∞ (1+lnx)/x = limx→+∞ 1/x + limx→+∞ lnx/x = 0
5) Stabilire gli intervalli dove f è continua, derivabile, e derivabile
e-1
indet. del tipo 0⁄0. Proviamo ad appl il teorema di De L'Hop.
b) g'(x) = 3x2 ≠ 0 ∀ x ∈ I, x ≠ 0
c) limx→0 (1 - cos x) / (3x2) = 1/6
oppure, notiamo che questo è una forma indet del tipo 0⁄0. Riapplichiamo il teorema di De L'Hospital:
b) g'(x) = 6x ≠ 0 ∀ x ∈ ℝ \ {0}
c) limx→0 (sin x) / (6x) = 1/6
ESEMPIO
limx→+∞ ex / x2 f.i.c ∞⁄∞ → d.g.
b) g'(x) = 2x ≠ 0 se x ≠ 0
c) limx→+∞ (ex) / (2x)
√ 3/2, 0, √ 3/2 sono punti di flesso
Det max e min assoluti, Im m f e asintoti:
Im m f = [− √ 3/2, √ 3/2] dove
√ 3/2 è massimo assoluto, assunto ul punto di min ar. x = −√ 3/2 e
√ 3/2 è max as, assunto in x = √ 3/2
Asintoto orizzontale y=0 per x → ±∞
ESERCIZIO Calcolare il
limx→0 exsinx−cosx−1x2/x3
forma indet del tipo 0/0
derivata del denom: 3x2 ≠ 0 se x≠0
per il De L'Hopital:
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