Appunti Analisi 1

Teorema unicità del limite

Sia {a_n} Se lim_n→∞ esiste esso è unico

Dimostrazione

Per assurdo supponiamo che

lim_n→∞ a_n = l₁ con l₁ ≠ l₂ e l₁, l₂ ∈ ℝ

1. ∀ ε > 0 ∃v_ε ∀ν ≥ v_ε a_ν - l₁ < ε
2. ∀ ε > 0 ∃v'_ε ∀ν' ≥ v'_ε a_ν - l₂ < ε

Supponiamo che l₁ ≠ l₂

Comunque ε è abbastanza piccolo {|l₁ - ε|, l₁ + ε| ∩ {|l₂ - ε|, l₂ + ε|} = ∅

∀ ν ≥ max{v_ε, v'_ε} ⇒ a_ν ∈ {|l₁ - ε|, l₁ + ε|} ∩ {|l₂ - ε|, l₂ + ε|}

Assurdo

3. lim_n→∞ a_n = l_k

Se ε è abbastanza piccolo e k abbastanza grande

{|l₂ - ε|, l₁ +ε| ∩ l₂ - l₁ ∈ ℝ, ε ∉ ∅ Assurdo

Sia A con A ⊆ B

1. x ≤ S ∀x ∈ A
2. ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ A: S - ε < x_ε

LimA con A ⊆ R

1. x ≥ I ∀x ∈ A
2. ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ A: I + ε > x_ε

Iniettiva: ∃^! e solo e ∀ x, y ∈ X x + y => f(x) + f(y) ∀ x, y ∈ X f(x) = f(y) => x = y

Suriettiva: ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X: f(x) = y

Biettiva: ∀ y ∈ Y ∃! x ∈ X f(x) = ∃! y

Teorema di permanenza del segno

Se lim_n a_n = l > 0 ⇒ ∃V_x : a_n > 0

Se lim_n a_n = l < 0 ⇒ ∃V_x : a_n < 0

Dimostrazione

Poneti V = I(l) : ∃V : a_n ∈ I(l)

∃x ∈ I(l) che definiamo Polos. Poneti un certo appiatenere a questo interno libero.

V : a_n ∈ S₀ : a_n > 0 cioè è definitivamente positivo.

Teorema del confronto PT 1

Siamo {a_n}, {b_n}, {c_n} con a_n ≤ b_n ≤ c_n. Se lim a_n = l

e lim b_n = l allora anche lim c_n = l.

Dim:

V: ∃ S_x : u : ∃_xa_n ∈

V: ∃ S_n : u : ∃_x, a_n ≤ c_n < l _te

Quindi

V∃x : a_n = {v_t, v_t} : z : l - ε < a_n b_ncn < c_n < b_n

Quindi l - ε < b_n = c_n , cioè anche lim b_n = l.

Teorema del confronto PT 2

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} con a_n ≤ b_n ∀n ∈ N, se:

1. lim a_n = +∞ ⇒ lim b_n = +∞
2. lim b_n = -∞ ⇒ lim a_n = -∞

Dim

V∃x : ∪V_x : ∃u : a_n ∈ N : b_n

Ponete lim b_n allora {b_n}, a_nxｷ

Quindi anche lim b_n = +∞

Teorema media geometrica

Th: lim G_n = l

lim log G_n = lim 1_n log a₁a₂...a_n

lim log a_n = lim log G_n

lim a_n = lim G_n

Principio di induzione

[Metodo dimostrativo]

• Supponiamo di voler dimostrare che una proposizione P_n ﹣ FN
• 1) P_n è vera per n=1 [Base di induzione]
• 2) Supposta vera P_n, allora è vera anche P_n
• Pn è vera ad ogni n

Disuguaglianza di Bernoulli

∀n∈N ∀ x∈ℝ : x > -1 ⇒ (1+x)ⁿ ≥ 1+nx

1. Base di induzione u=0
2. 1+x ≥ 1+ x [IDENTITÀ]
3. 2) Supponiamo che la disuguaglianza valga per n-1

(1+x)^n-1 ≥ 1+ (n-1) x

(1+x)ⁿ ≥ [(1+x)^n-1](1+x)

(1+x)ⁿ ≥ [1+ (n-1) x] [1+x]

(1+x)ⁿ ≥ 1 + x + nx-x²

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx + x ²(n-1)

Per n=1, la quantità x²(n-1) è sempre positiva, quindi

(1+x)ⁿ ≥ 1+nx

topologie sulle rette reale

A un sottinsieme di R

Si dice che x₀ ∈ R è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di x₀ contiene almeno un elemento di A distinto da x₀ cioè I - (A - {x₀}) ≠ ∅ Un punto x₀ ∈ A che non è un punto di accumulazione, viene detto punto isolato.

Se x₀ è un punto di accumulazione per A, allora ogni intorno di x₀ contiene infiniti punti di A.

Supponiamo che I_x0 = {x ∈ R : |x - x₀| < ε} I₁ (A - {x₀}) = ∅ quindi { x₁ : x = x₂} È quindi possibile dividere l'intorno in tanti intervalli {a_k, l : j_k x₂ : -x_n, b_i} x₀ poi appartenere solo ad uno di questi intervalli e l'intersezione di quest'ultimo con A si riduce al punto x₀ e quindi contraddice la definizione di punto di accumulazione.

Un insieme dotato di punti di accumulazione dire cosce infinito.

Teorema di Bolzano Weierstrass

Ogni sottinsieme A di R contenente infiniti punti e limitato ha almeno un punto di accumulazione. Dim: dato Poiché A è limitato esso è contenuto in [a, b]. Dividiamo tale intervallo nel punto medio escludendone e poniamo solo l'insieme che contiene ancora infiniti punti: {a; b} con a ≤ a₁ ≤ b ≤ b₁ e b - a_n; b - a

Iterando il procedimento otteniamo:

k = a_n - b_n ,   b_n - a_n =   b - a con a < b, x_n+1 < b_n+1

Alla possiamo quindi dire che la successioni a_n e b_n sono contigue e la prima è crescente e la seconda decrescente. l'esempio contiguo possiamo trovare un punto c tale che c: infn + un.

Teorema dei valori intermedi

f: [a, b] → R

f è continua

m = minimo f(x),

M = massimo f(x).

Il codominio di f è [m, M]

cioè la funzione assume tutti i

valori tra m e M.

Dimostrazione

m = f(x)

M = f(x)

f(x) ≤ f(x) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, b]

Supponiamo x < ξ < x̅ e prendiamo a ∈ _{m, M} e consideriamo g(x) = f(x) - a continua

g(x̅) = f(x̅) - a = M - a < 0

g(x̅) = f(x̅) - a = M - a > 0

Per il teorema degli zeri

∃ ξ ∈ _{(x, x̅)} : g(ξⱼ) = 0 ∴ f(ξⱼ) = a ∴ a ∈ codominio

f(x) assume ogni valore tra m e M.

Definizione di derivata

Sia f(x) definita in [a, b] e sia x₀ un punto di [a, b].

si dice che la funzione f(x) è derivabile in x₀ se

esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale

lim_x→x₀ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) oppure lim_h→0 (f(x+h) - f(x)) / h

2^o Conseguenza₁

H_f f'(x) > 0 ∀ x ∈ I^o

Th: f(x) è crescente in I

Dim.

Prendiamo due punti x₁, x₂ ∈ I^o con x₁ < x₂ e consideriamo l'intervallo [x₁, x₂] ⊆ I^o.

f continua in [x₁, x₂] ⇒ Vale il teorema di Lagrange. ∃ c osservabile in ]x₁, x₂[ f(x₂) - f(x₁) = f'(c) > 0 Per H_f. ⇒ f(x₂) ≥ f(x₁) f è crescente

Teorema di de l'Hopital

H_f f e g derivabili in ]a, b[

g e g' ≠ 0 in ]a, b[ Th: lim_x→a⁺ f(x)/g(x) = l lim_x→a⁺ f(a) = lim_x→a⁺ g(a) = 0

Dim.

Sia {x_m} una successione tale che lim_m x_m = a e consideriamo la funzione h(x) = f(x_m)g(x) - f(x)g(x_m) su ]a, x_m ] Sappiamo che h(a)= f(x_m)g(a) - g(x_m)f(a) = 0 h(x_m)= f(x)g(x_m) - g(x_m)f(x_m) = 0

Per Rolle, ∃ t_m ∈ ]a, x_m[, u(t_m) = 0 h'(t_m) = f'(x_m)g(t_m) - g(t_m)f'(x_m) h(t_m)= f'(t_m)g(t_m) - g(t_m)f'(t_m) = 0

f(x_m) g(x_m) = f'(t_m) h(t_m) = g(t_m) = 0

Poisch. lim→a⁺ f(t_m)/g(t_m) = lim_^m f'(t_m) / g'(t_m) = l lim_k→a f(x) g(t_m) = l lim_x→a⁺ f(x) lim_x→a⁺ g(x) } a < t_m < x_m lim_y→a