Appunti Geometria analitica (Esercitazione)

Geometria Ese

A₂(K) RA = {O; B₁(u₁, v₂)}

P = xₚv₂ + yₚv₁

Diremo che (xₚ, yₚ) rappresenta la coordinata di P

P(xₚ, yₚ)

xɋ = xₚ + ℓt

yɋ = yₚ + mt

t ∈ ℝ

Q = Estelari di

L = (ℓ, m)

Determinare eq. parametriche e cartesiane delle seguenti rette:

1. passante per (-3, 2) e con classe di parametriche direzionali c = [(2, 1)]

metodo 1:

x = -3 + 2t

y = 2 + t

P (2, 1)

metodo 2:

a b

| x - xp y - yp | = 0

| l m |

| x + 3 y - 1 | = 0

| 2 1 |

(x + 3) . (2y - 2) = 0 -> x - 2y + 5 = 0

assegniamo a y il parametro t:

{ x = 5 + 2t

{ y = t

passaggio da eq. cartesiano a paramétrica

1. Determinare se passa una retta per P(2;5) e Q(3; -1)

   • metodo 1:

   PQ: (xq - xp; yq - yp) = (x; -2)

   s. { x = 2 + t

   { y = -2t

   t = x - 2

   { y = -2(x - 2)

   { 2x + y - 5 = 0

   • metodo 2:

   { x - 2 y = 1

   1 -2 | = 0 -> (-1 (x + c)) - (y - 1) = 0

   -2

   -> -2x - y + 5 = 0 -> 2x + y - 5 = 0

   • metodo 3:

   s: | x y 1

   | xp yp 1 | = 0

   | xq yq 1

   s: | x y 1

   2 5 1 | = 0 -> (+x) +3y - 2 . 3 - x - 2y = 0

   3 -1 1

   2x + y - 5 = 0

② s: 4x-y-2=0

cprds_1 = cprds_s = [[b_i,a]] = [[1,4]]

p_l: Io per Caso

E2

Stabilire se tre punti sono allineati:

A: (3,1) B: (4,3) C = (7,-3)

• costruiamo la retta passante per A, B

→

→ A,B,C sono allineati

E5

Determinare le eventuali intersezioni delle rette

① r: 3x+y-2=0 s: 3x-y=0

cprds_1 [[6:3]] cprds_s [[1:3]]

→ non proporzionale → sono non // (incidenti)

E_m fascio della retta // a r: 3x+y+m=0

→

=> x² : 3x - 3y + z = 0

=> ẋ¹ x - y + z = 0

Esercizio

Determinare il punto P₁ simmetrico di P rispetto alla retta r:

[ (4 ; 5) ]

Verifica che P₁ sia

P₂ - x + y + z = 0

Sostituire in x:

=> C = (4 ; 5)

trovo Q simmetrico di P

Q₂

Esercizio

Determinare con eq. cartesiane della

equale con P

nominale con t > 0

(-4, -3, 4)

Determinare se esiste il piano α per i punti: P(1,2,0) e Q(1,0,1) e parallelo alla retta r di eq. cartesiane:

• y - z - t = 0
• 3x - 5y - 7z = 0

equazione retta:

• x = 1 + lt
• y = 2 + mt
• z = 0 + nt

r(l,m,n) PQ = Q - P = (0, -2, 1)

• x = t + oε
• y = -2 - 2t
• z = ε

eq. del fascio

• y + z - ε + h(x - t) = 0, h ∈ K
• h x - ε z - h = 0, h ∈ K
• εV

Condizione di parallelismo tra il generico piano di f e s.

• al + bm + cm = 0

5h - 3 + 10 = 0

h + ½ = 0

Quindi: d = t + &frac57; + 5y + 10z = 3 = 0

1) Se si alterano tutte le note di α per P(accordo) nome le note casare

2) Se se x sono Stphenbe

• Condizioni di congruenza:

Piano per xe: P₁(1, -3, 2)

F_x: x - y - 3x - h (2y + z + 1) = 0

F_o: x (2 + h z) y + h z + h - 1 = 0

Sostituiamo P → 1+3 (2h + 1) + 2h + h - 1 = 0

3h + 3 = 0 → h = -1/3

⇒ 1/3 + y = 4/3 = 0

d: 3x - y - z - 4 = 0

• Piano per 3 e P₁:

F_x: x + y - 2 + h (-y + z + z) = 0

F_o: x (1 - h) y + h z - 2x h = 0

Sostituiamo P → 1 - 3 (1 - h) + 2h + h = 0

6h - 4 = 0 → h = 2/3

⇒ β₁ x + y + 2x - y = 4 = 0

β₃ 3x + y + zfε = 0

⇒ α

⇒ β₁ (3x - y - z - 4 = 0)

⇒ β₃ (3x + y + 2z ε = 0)

• Dobbiamo vedere se p è parallela a x oppure a o?

cpde: [ (1, 4, -1) ] ⇒ autoenzione del sistema lineare emogeneo associato a p

cpde: [ (1, 1, 2) ]

cpde: [ (1, -3, 1) ] ⇒ NON sono parallele

Esercizio

Determinare il simmetrico P' del punto P(2,2,1) rispetto al piano α Δ l'asse x:

nella giacitura individua del piano α: 2x + y + z + 1=0

P ∉ R? → NO

x ∈ A/a?

x:_k {-3t +8t -8 +^t_tx:_k (w)_w

x P: z P cpd_e{{(a, i, j, 1)} x P cpd_e{{2, 2, 3, 1)}?

x/a ↔ a/+bmc+m = 0

Nel nostro caso → 2 {(-1)} +_t(-1) + ^t(n){o}

X x/a

d/a ↔ 2x+y+t+h>0, h∈R

Sostituiamo P => 4+2+4+1+h>0 → h = -7

=d'= 2x+y+z+1=0

{ξ∈ R₂: d'↔ γ:ξ ∈ R₂ : d'↔ γ : x -3ｧ+Ƹ-8: y; ζ -0 -o

PT: P: 2/P: P 2( -,2)} ≡ (87,-3,2)= -(-5,-4)

Esercizio

Determinare il simmetrico di P. (1,4,-3) rispetto al piano α: 3x+چ+z+1=0 nella direzione della retta 6 con cpd_e: [(4,1,-2)] {

n

X/a (a,-3,2) i'e soluzione del sistemalineare rinterpre con proved adô

→ NO -→ x Χ a

Circonferenza

x² + y² + 2ax + 2by + c = 0, a² + b² − c > 0

R = √(a² + b² − c)

C_x = (−a, −b)

C : (x_c; y_c) ∈ R > 0

(x − x_c)² + (y − y_c)² = R²

Esercizio

Determinare se è possibile una eq. della cgf per il punto A(4; −6; 0) e tangente a

z: x + y + z = 0 in T : (−z; z; 0)

troviamo b, l'es parametri per T

b: a (x − z) + b(y − 0) = 0

b【} a(a + b)=0↔a=b=b0↔a=b

b : x+2y+ z o

↑T p_x=1/2(A+T)

= 1/2 (−8, 0) − [z; 0]

a _x = a(x − x_x) + b(y /0)

0 a₂ = x;4;0

C : (−z; z; 0)

C = (−4; z;2)

R² |d(C, z)| = √(2 + 2 = 2 = 6/12

R = √(x− x_x) + √(y − y_c)² = R²

(x + x_c)² + (y − z)² = 8

Esercizio

Determinare se è possibile una circonferenza Cgf con centro a:

C, x: 3x + 4y = 0

e tangente a x ≤ z + e di zero z ≥ 3

Es. 2

dr₁ x + 5y + 7z = 0    piano α₁ E₃(ℝ)

dr₂ 3x + 6y - 2z + 1 = 0

a) Determinare un eq. del piano β per A(0,4,0) e B(-1,5,1)

Del s-eq. gener. ad α₁

_Parola

AB = B - A = (-1,5,1,-3)

AB = (-3,5)

b) Determinare la retta r₂ per l’asse, O₁ e l’asse d’illa α₁

r₂