Appunti Geometria analitica (Esercitazione)

Name: Appunti Geometria analitica (Esercitazione)
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Author: andrea.boventi

Revisionato il 29/06/2026

di andrea.boventi

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Appunti di Esercitazione di Geometria del corso di Algebra lineare e Geometria analitica tenuto dal prof. Tommaso Traetta nell'anno accademico 2021-2022 basati su appunti personali del publisher …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pasotti Anita

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2021-2022

62 pagine

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Geometria Ese

A₂ (K) → RA := {O; B (v₁, v₂)} Piano α: x = xp + tv₁ + yv₂

Osserviamo che (xp, yp) rappresentano le coordinate di P→ P: (x_p, y_p)

PQ: (xp, yp) con Q: (x_q, y_q)→ PQ = (x_q-x_p)v₁ + (y_q-y_p)v₂

PQ = (x_p-x_p; y_q-y_p)[P, V₂] = α e A₂ (K) &infin> T_V(P)Q: V ⊂ V₂⁰

Q₁ = fascio di P tramite V

V₁, v₂ ∈ L(Y)

l: (x_p, y_p), v₁, ȷ L(w)

z: (x = x_p + lt
1. y = y_p + mt, t ∞ ℝ

z: ax + by + c = 0

({a, b}) ∉ {(0, 0)}Lt, p.d.c. (-b: a)

Determinare eq parametriche e cartesiane delle seguenti rette:1. Passante per (-3, 1) e con classe di parametri direztive: c.d= {[(2, 1)]}

metodo 1
- x :
  1. x = 3 + 2t
- y :
  1. y = 1 + t
→ t = y-1
metodo 2
- x = 3 + 2y-2
  1. t: y-1
  → x-3 + 2y - z
→ (a b): (-b: a), (2, 1)

Geometria Ese

Piano _𝒸 _ℚ → RA = {O; B(v₁, v₂)} riferimento affine

P(x_p, y_p) rappresenta le coordinate di P

P(x_p, y_p)
con Q = (x_q, y_q)

P₁, V₂ = E₁ ∈ Α_(k)

Q = coordinata di riferimento P

x = x_p + lt

y = y_p + mt, t ∈ ℝ

l: ax + by + c = 0, (a, b) ≠ (0, 0)

L₀ p₀ = (x_p, y_p)

Determinare eq parametriche e cartesiane delle seguenti rette:

passante per (-3, 1)

metodo 1

x: x = -3 + 2t

y: = 1 + t

y: t = y - 1

metodo 2

-xp y-yp

x2 | | = 0

lp m

r: x+3 y-t

y-2 1

(x+3) - (2y-2) = 0 -> x-2y+5=0

esprimiamo x, y e parametri t:

{ x = 5 + 2t

{ y = t

-> passaggio da eq. cartesiana a parametrica

2) Determinare s passante per P(2;5) e Q (3;..1)

metodo 1):

PQ: (xq-xp; yq-yp; yq-yp) * (x-t; z) = p e t

S, { x = 2 + t

{ y = t

y = t - 2t(x-2)

S: 2x + y-5 = 0

metodo 2):

S, | x-2 y-x

| 1 -2 | = 0

-2x +(...)(y-1) = 0

S, x y | 2x + y-5 = 0

metodo 3):

S: | x y 1

| xp yp 1 | = 0

| xq yq 1

{ x y 1 = 0

{ 2 1 1

{ 3 ..1 1

(+x) +3y - 2*3 - X -2y = 0

2x+y-5=0

3)

la retta r, per xe punto C (0;z) e spazio dei fascicolazione

v r. 2(v) dove v = i v 1 + 3v 2

x - 0 = + t
y - z + 3t

t : x

P':

3x - y - z = 0

t : x

p : 3x - y - z = 0

L p (4,3)

Esercizio

Data re di ep: 3x - 2y + z = 0 determinare un ep parametrico di x.

metodo 1)

y = t

x: - pasa per (3;0)

cosi:

x = ²/₃ t

e p de P(3;4)

metodo 2)i.

c dp x = [(1-b), a] = [(2,3)]

bisogna determinare un punto di passaggio:

com x + 0 --> (0; ¹/₂)

-> Ri:

x : 0 + 2t
y : - ¹/₂ + 3t

Esercizio

Stabilire se le seguenti resse sono parallele.

3) r:

x = 3t

_com.tel

y = 2 - 4t

so x:

x + 4 + ¹/₄ t

y: - 1 - 2 t

com t ele

cpdr=(c₄;4) cpds=(c₃;2)

---> Sono proporzionali ---> l//s

N.B.

Rette parallele sono coincidenti o distinte

Prendiamo il punto di x giacciamo se appartiene a s.

=> S p c S , poiché r s, x coincide con s

P: (3;2)

=> {x = 4 + t; t = -2; y = -1 + 2t}

2.t = -3 = t = -³⁄₂

NO r e s sono DISTINTE

Esercizio

Stabilire se sono parallele:

r: {x = -3 + t; s: -2x + y = - 2; y = -1}

cpdr: [(3;0)]

≠

cpds: [(-b;a1)=[I(-1;2)]

=> r s

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