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Algebra e Geometria
Gli Insiemi
A = insieme
a = elemento di A
a ∈ A
simbolo di appartenenza
Diagramma di Venn
Per Elencazione
A = { a, b, c, d }
insieme non ordinato
Per Proprieta
A = { 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 5 }
per enunciazione
A = { m | m ∈ N, 1 ≤ m ≤ 4 }
l'insieme dei numeri Naturali
N = numeri naturali (a partire da 1)
N₀ = { 0, 1, 2, 3... } = N ∪ { 0 }
Z = interi
Q = razionali
R = reali
C = complessi
Simbologia della logica
- ∀: Per ogni = quantificatore universale
- ∃: Esiste = quantificatore esistenziale
- ∃!: Esiste uno e uno solo (si dice unico)
- =>: Implica = implicazione diretta
- <=>: Se e solo se = doppia implicazione
A <=> B = { A => B B => A }
Definizione
Un insieme B è un sottoinsieme di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A.
∀x ∈ B => x ∈ A
B ⊆ A
B = sottoinsieme proprio di A B ⊂ A <=> ∀x ∈ B => x ∈ A ∃a ∈ A, a ∉ B
Definizione
Un insieme privo di elementi è detto insieme vuoto
(includi gli insiemi) c'è sempre un sottoinsieme vuoto
Proposizione
Dim per assurdo, L = nega la tesi
Sottopongo ∃A insieme => ∅ ⊈ A
∃b ∈ ∅, b ∉ A Imf = B
- NON è una funzione
funzione √
- Sì Iniettiva
- NO Suriettiva
funzione √
- Sì Iniettiva
- Sì Suriettiva
Sì Biiettiva
f = Biiettiva si corrispondenza biunivoca
a, b ∈ A
a R b
a, b ∈ equiv. class
[a]_R = equiv. class
→ marca tutti gli elementi in relazione con a (la classe)
[ ] ≠ [a]
e ∈ A'
f ∈ R
Es.
A: È reale nel piano
a R b ⇔ a//b
Riflessiva → a//a? ✓
Simmetrica → a//b ↔ b//a ✓
Transitiva → a//b ∧ b//c → a//c ✓
? relazione di equivalenza
Due rette stanno nella stessa classe se e solo se sono parallele quindi ⇔ hanno la stessa direzione
⇒ A/_/ = insieme delle direzioni
OPERAZIONI SU UN INSIEME
simmetrica
Def:
interna e binaria
→ operazione su A
Si dice OPERAZIONE (interna e binaria) se un insieme A è una funzione
A x A → A
binaria
(a, b) → a * b
interna
Def. Dato z madre K ∈ V si dicono operazione esternesu V una generica operazioneK x V → V
Esempio:
- K = ℝV = ℝ3 = triple ordinate di numeri reali{ (x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ }K x V → VK x ℝ3 → ℝ3(k, (x, y, z)) → (kx, ky, kz)(3, (2, 0, -4)) → (6, 0, -12)
- K = ℝV = ℕ² = coppie ordinate di numeri naturali{ (x, y) | x, y ∈ ℕ }ℝ x ℕ² → ℕ²(k, (x, y)) → ⌈k(x, y)⌉
N.B. 1⁄2 x (1, 1) → (1⁄2, 1⁄2) → ∉ ℕ² → NO
Sottospazio Vettoriale
Def Sia V(K) uno spazio vettoriale e sia U⫋V con U≠∅
Diciamo che U è un sottospazio vettoriale di V se esso
` esso uno spazio vettoriale sul campo K
U è esso uno spazio vettoriale che contiene il vettore nullo
(condizione necessaria ma non sufficiente)
↓
devo poi controllare le altre proprietà
CRITERI x (sottospazi)
Sia V(K) uno spazio vettoriale e sia U⫋V
U⫋V U è un sottospazio vettoriale di V se vale:
∀ u₁, u₂ ∈ U u₁+u₂ ∈ U ↠ Chiusura rispetto alla somma
=> U⫋V
- ∀ k∈U ∀u∈U ku∈U => U è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare
(a1, a2, a1 + a2)
a1 - 2a2 - 6 = 2 a2 - 3a1 = z a1 = z - 3a1 + 2 2; 5 = 2 (5 - 3) = 5a1 = 2a2 = 5V: 2 · W - 3 · V2
Def
Sia V(K) uno spazio vettoriale e A: ∑{v1, v2, …, vm} un insieme di vettori di V(K).A si dice LIBERO se i suoi vettori si dicono LINEARMENTEINDIPENDENTI se l'unica combinazione lineare divettori di A che dà il vettore nullo è quella a coefficientitutti nulli.
0v1 + 0v2 + … + 0vm = 0a1 v1 + a2 v2 + … + an Vn = 0 ⇨ a1 = a2 = … = an = 0
Esempio:
A = ∑ {v1=(1, 0, 3), v2=(2, 5, 0) } ⊆ ℝ3(ℝ)
A è libero
a1, a2 ∈ ℝ tenete a1 v1 + a2 v2 = 0 => a1 = a2 = 0
a1 v1 + a2 v2 - a1 (1, 0, 3) + a2 (2, 5, 0) = (a2, 3a2) = (a1 + 2a2, a1, 3a2)
u è combinazione lineare dei vettori di A
Prop Se A è legato ogni insieme che lo contiene è legato
Dim
- Ip A = {e₁, e₂, ..., em} ∃ u₁, u₂, ..., um 3^ e legato
- Teor B = {e₁, e₂, ..., en} u₁, u₂, ..., um 3^ e legato
3^ legato => a₁ v₁ + a₂ v₂ + ... + am vm = 0 con ai ≠ 0
v₁ + v₂ + ... + vn + u₁ + u₂ + ... + um = a
a₁ v₁ + a₂ v₂ + ... + am vm + 0 u₁ + 0 u₂ + ... + 0 um = 0
=> B è legato
Prop Se A è libero ogni suo sottoinsieme è LIBERO
Dim
- Ip C ⊆ A -> con A libero
- Tesi C -> libero
∀ Assurdo ammetto C legato -> ma se C = legato anche A è legato -> quando C è libero
Controllo "il libero"
A ⊆ V(K)
f(x) = fV(K)
caso particolare
L(A) : V(K)
A genera V(K)
- Rn {e1, ..., en} con x ∈ Rn è finitamente generato ≤
- Rm.m (R) è finitamente generato
matrice la matricia di m righe, m colonne ad elementi aij
Es: eij = matrice m x m che ha aij = 1 e tutti gli altri
elementi come = 0
E11 = ( 1 0 0 ) E12 = ( 0 1 0 )
( 0 0 0 ) ( 0 0 0 )
( 0 0 0 ) ( 0 0 0 )
Queste matrici formano un insieme di generatori per
Rm.m (R). Infatti
( a11 a12 ... a1m ) ( a11 0 ... 0 ) ( 0 a12 ... 0 )
( a21 a22 ... a2m ) = ( 0 0 ... 0 )+ ( 0 0 ... 0 )+
( am1 am2 ... amm ) ( 0 0 ... amm )
(x1) = (1 0) + 3 (0 1) + (0 0) + 1 (0 0)
(x2) = (0) + (1 0) + (0)
B = {v1=(1,1); v2=(0,2)} È una base di R2(R)?
- è libera? -> Sì, è LI perché (tre due vettori non proporzionali)
- B genera R2(R)?
∀(x,y) ∈ M2(R) ∃ a,b ∈ R t.c. (x,y) = a v1 + b v2?
(x,y) = a(1,1) + b(0,2) = (a,a) + (b,2b) = (a, a+2b)
L -> {x=ay=a+2b}
{a=x2b= y-a}
{x=ay ➝ x ➝ b= y-x a-x / b, y-x - b, y+ / 2 }
quindi (x,y) = x v1 + y/2 v2
B genera R2(R) ➝ B è BASE di R2(R)
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