Appunti Algebra Lineare

Campo

Proprietà del campo

Somma: (a+b)+c = a+(b+c), a+0 = a

Moltiplicazione: (a·b)·c = a·(b·c), a·1 = a

Proprietà distributiva: a·(b+c) = ab+ac

Esistenza dell'opposto: ∀a ∃-a t.c. a+(-a) = 0

Esistenza dell'inverso: ∀a ∃a⁻¹ t.c. a·a⁻¹ = 1

Vale in ℚ, ℝ, ℂ ma anche ℚ[√2] = {a+b√2 | a,b ∈ ℚ}

Campo ℂ

ℂ = {z | z = a+ib | a,b∈ℝ}

z = a+bi, complesso coniugato: z̅ = a-bi

z = x + iy |z| = √(x²+y²), tgθ = y/x, z = γ(cosθ + i senθ)

zⁿ = γⁿ(cos(nθ) + i sen(nθ))

|z| = |ȳ|, z·ȳ = |z|², z⁻¹ = ȳ/|z|²

z = γeiθ

Teorema fondamentale dell'algebra

Qualunque equazione polinomiale a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+...+aₙ=0 con coeff ∈ ℂ ha soluzioni già comprese in ℂ, quindi ℂ è algebricamente chiuso.

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V è un insieme dotato di due operazioni:

• Somma: _(^x₁y₁) + _(^b₁i₁) = _{(^{a₁+b₁b₁+i₁})}
• Prodotto per scalari: a _(^x₁xₙ) = _{(^ax₁axₙ)}

0·V = 0_V, -1·V = -²V

Sottospazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale, un sottospazio di V è un sottoinsieme U ⊂ V che è a sua volta uno spazio vettoriale.

Per dimostrare che U è un sottospazio:

• 0_V ∈ U
• u,v ∈ U ⇒ u+v ∈ U
• u ∈ U ⇒ a·u ∈ U

Somma diretta

Si ha una somma diretta quando U ∩ V = {0_V}

Un elemento di U + V si scrive in un unico modo si scrive U ⊕ V

Campo IK

Proprietà del campo IK

Somma: (a+b)+c = a+(b+c), a+0 = a

Moltiplicazione: (a·b)·c = a·(b·c), a·1 = a

Proprietà distributiva: a·(b+c) = ab+ac

Esistenza dell'opposto: ∀d ∃-d t.c. a+(-d) = 0

Esistenza dell'inverso: ∀d ∃d^-1 t.c. a·d^-1 = 1

Vale in ℚ, ℝ, ℂ ma anche ℚ[√2] = {a+b√2 | a,b∈ℚ}

Campo ℂ

ℂ = {z | z = a+ib | a,b∈ℝ}

z = a+bi, z^-1 = z̅/|z|², z̅ = a-bi complesso coniugato, cos(θ) + i·sen(θ)

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V è un insieme abbattito di due operazioni:

• Somma: _v1 + _v2 = _w1
• Prodotto per scalari: _αv = _αw

0·V = 0_V, -1·V = V̅

Somma diretta

Si ha una somma diretta quando U ∩ V = {0_V}

Un elemento di U + V si scrive in un unico modo si scrive U ⊕ _W

Combinazione lineare e span

Siano un campo e V uno spazio vettoriale in e v₁, ..., v_n ∈ V.

Un vettore v ∈ V si dice combinazione lineare di v₁,...,v_n se vale v = a₁v₁ + ... + a_nv_n.

Lo SPAN sono tutte le possibili combinazioni lineari: span(v₁,...,v_n) = spazio lineare o spazio generato da v₁,...,v_n.

Indipendenza lineare

v₁, ..., v_n si dicono linearmente indipendenti se:

• Nessuno di questi vettori può essere scritto come comb. lin. degli altri
• v ∈ span(v₁,...,v_n) si scrive in un unico modo come comb. lin. di v₁,...,v_n
• L'unico modo per avere a₁v₁ + ... + a_nv_n = 0 è prendere tutti i coefficienti = 0

Generatori e base

v₁, ..., v_n si dice che generano V quando il loro span è ⁿ.

Gli elementi della base standard di ⁿ si possono scrivere come combinazione lineare di v₁, ..., v_n.

Base

Una base di V è una lista di vettori v₁, ..., v_n che generano V e sono linearmente indipendenti.

Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi: dim V = n, v₁, ..., v_n base.

Esiste una base formata dalle v più qualche elemento di V ma non possiamo aggiungerne nessuno sennò non sono più linearmente indipendenti ⇒ meno di.

La dimensione di V

La dimensione di V è il numero di elementi di una delle sue basi.

Se u₁, ..., u_m sono linearmente indipendenti allora m ≤ dim V.

Se u₁, ..., u_m generano allora m ≥ dim V.

Se u₁, ..., u_m sono linearmente indipendenti e m = dim V allora sono una base.