Appunti Algebra Lineare

Campo 1K

• somma (a+b)+c = a+(b+c) | a+0 = a
• moltiplicazione(a.b).c = a.(b.c) | a.1 = a
• proprietà distributiva (a+b).c = ab + ac
• esistenza dell'opposto ∀a ∃-a t.c. a + (-a) = 0
• esistenza dell'inverso ∀a ∃a⁻¹ t.c. a.a⁻¹ = 1

vale in Q, IR, C ma anche Q[√2] = {a+b√2 | a, b ∈ Q}

Campo C

C = {a+ib | a, b ∈ IR}

z = a + bi z̅ = a - bi complesso coniugato

x = x + iy | z = √(x² + y²) tg θ = y/x z = γ(cos θ + i sen θ) zⁿ = γⁿ(cos(nθ) + i sen(nθ))

|z| = |z̅|z̅.z = |z|²

z⁻¹ = z̅/|z|²

z = re^iθ

Teorema fondamentale dell'algebra

Qualunque equazione polinomiale a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ = 0 con coeff ∈ C ha soluzioni già comprese in C, quindi C è algebricamente chiuso

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V è un insieme dotato di due operazioni:

• somma(d₁, dₙ) + (b₁, bₙ) = (d₁ + b₁, dₙ + bₙ)
• prodotto per scalari a ⋅ (x₁, xₙ) = (ax₁, axₙ)

0⋅v = 0 -1⋅v = -v

Sottospazio vettoriale

Se V uno spazio vettoriale, un sottospazio V è un sottoinsieme U ⊂ V che è a sua volta uno spazio vettoriale. Per dimostrare che U è un sottospazio:

• 0⋅v ∈ U
• u, w ∈ U ⇒ u + w ∈ U
• u ∈ U ⇒ a⋅u ∈ U

Somma Diretta

Si ha una somma diretta quando

• U ∩ V = 0{v}
• Un elemento di U + V si scrive in un unico modo

Si scrive U ⊕ W

Siano W < K un campo e V uno spazio vettoriale in K

e v₁, ..., v_n ∈ V un vettore v ∈ V si dice combinazione lineare di v₁,...,v_n se vale v = a₁v₁ + ... + a_nv_n

Lo SPAN sono tutte le possibili combinazioni lineari (v₁,...,v_n) = spazio lineare o spazio generato da v₁,...,v_n

INDIPENZA LINEARE

v₁,...,v_n si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI se:

• nessuno di questi vettori può essere scritto come comb. lin degli altri
• se span(v₁,...,v_n) si scrive in un unico modo come comb. lin di v₁,...,v_n
• l'unico modo per avere a₁v₁ + ... + a_nv_n = 0 è prendere tutti i coefficienti = 0

GENERATORI

v₁,...,v_n si dice che generano quando:

• il loro span è in Rⁿ
• se BASIS i gli elementi della base standard di Rⁿ si possono scrivere come combinazione lineare di v₁,...,v_n

BASE

Una base di V è una lista di vettori v₁,...,v_n che generano V e sono lin. indip. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi dim V = n, v₁,...,v_n base esiste una base formata dalle più qualche elemento di V ma non possiamo aggiungere nessuno senno non sono più linearmente independenti ⇒ meno di

LA DIMENSIONE DI V

• Se v₁, ..., v_m lin. indep. allora m ≤ n = dim V
• Se v₁, ..., v_m generano allora m ≥ n = dim V
• Se v₁, ..., v_m lin. indep. e m = dim V allora sono una base
• Se v₁, ..., v_m generano e m = dim V allora sono una base

Tutto parte dal teorema che dice u₁,...,u_m lin. indep e v₁, ..., v_m generano allora esiste una base u₁,...,u_m,v_m+1,...,v_n

dim U + dim V = U, sono lin. dip. quindi c'è un vettore che è comb lin degli altri ed è per forza uno per aggiungere u₂ e dovrò togliere un'altra v. Dopo che ho aggiunto tutte le u se sono lin timestamp polymerization;

• u₁,...,u_m,v_m+1, v_n, v_n è una base
• se invece sono ancora lin. dip. leto oltre v

FORMULA DI GRASSMAN

Siano U, V sottospazi di V vale la formula dim(U + V) = dim U + dim V - dim(U ∩ V) dim v = dim v + dim w = ps (U ∩ V) visto che U allo spazio di U e allo spz p sono psm base u₁,...,u_m,u₁ e io sono d'accordo con il visto che due u sono di U, sono... e e

supponiamo che due vettori v = p₁gw_c (cp_u1w₁) e..._m - p sono q hanno un punto (w_i),w_k+1 + ...a,v

dim u + w = m - p - u... a... base se io = u_n e w_n ∈ U e quindi w_n ∈ U ∩ W

TEOREMA di BINET |AB| = |A|·|B|

dim fissiamo B e definiamo F: Mat_n(R)->R F(A) = |BA|

dimostriamo che è multilineare e alterna

* Aⁱ = C[-C[_i]ⁱ]. Bⁱ = C[-C_i]

quindi |BA| =₀ quindi F(A) = 0

x = [D[0....0]^i-1. X J-1 . 0. ..]. Y = [1 0 ... ]

BX = [B₀. . 0 . B_i X]

BX = |B₀' . ]- [ B_i']

quindi |BA| =|B| |A| ^∋I |bx|) |-a i di ri.. ;

quindi per teorema che F(x) = F(Y) + F( ri

quindi per teorema che F multilinea alterna allora

F(CA) = D(A) F(1)=

|F(A)|(|F(1)| = |A| |B|

studiando si Lap0e si può fare lungo que|lassi rigg

dim per induzione su i

Aⁱ = |up ri:

A^j = b = [ R:: ri ] a

A^j =

perciò è sempre vero per i=1

A^c = [b r₁.. ;

fi noto ]) [srono [A ^....]

quindi |A^{stamo Ac = |1[ri...:]}

u Aⁱ q

|A| = |AT|

|^c di m| |=^c A^c [sde [s_p

.

|A| = |AT|

| dim

dim..

F(A) = |AT|

sode sono t

F(1I) = 1

dim. F(A) = |A| |² =|T| |1|

e so due colonne uguali = AT no due righe uguali => rg(AT)<n un e colonne di AT e comb. lin. |A|5x=e

0 A^T = [c₁c '.c_t |c₂ 'c₂. |c^-1 |. - cm. _T bc

(c). |am|) = c.

S a = [c^{.'. .}

quindi se F(A) è Ilineare su su Un.

(F(A) = a

In questo modo si dimostra anche Laplace lungo le colonne e la definizione dell'insegnare

|A| sp

TEOREMA COFATTORI

prendiamo uña matrice A e costruiamo la matrice C dove c_ij = |A_ij|

poi cambiamo i segni con lo schame (+ - + - -+ ) poi facciamo la trasopsta e dividiamo pe |A|

ti INutiliamo se A^-1

dim . Aⁱ [matrice = 0 ] con

Σ[( -1^i+j)|A^jjal| / dell'ingie~~{ 0 se i≠ joj = { 1 sc i = j

i=j: Σ^{(zii - (-1) n_in/ z) = [d_aii ]|}

______________

| 1 / |A^1_n [(^C-1_j)|A_ih|...] ^Σi1 +^(-1)nd_in|A ij|) = |A|n | A| Ai1...+ (-1)^{1nd_in 1921|}

i=5

B= A ^{dove mettiamo n el posto delle rigie i la rigia 3 = [ 52}

l'espressione reu parorene di lo sul@ppo le riga ne B nc ne ne colonne comb.lin.

-_--| |B|=s0 -------->²

...i≠ j si 0