Appunti Algebra e Geometria (prima parte)

Politecnico di Milano

Algebra e geometria lineare

2016/2017

1. VETTORI GEOMETRICI
   1. Operazioni algebriche sui vettori ............................................ 1
      1. somma di vettori ................................................................. 6
      2. prodotto di un vettore per uno scalare ............................ 7
      3. somma di p + v ................................................................. 8
   2. Sistemi di riferimento e coordinate ...................................... 9
   3. Prodotto scalare ..................................................................... 13
      1. disuguaglianza di Schwartz e Cauchy (dim.) ............... 15
      2. disuguaglianza triangolare (dim.) .................................... 17
   4. Proiezione ortogonale .......................................................... 17
   5. Prodotto vettore ................................................................... 28
      1. identità di Lagrange (dim.) ................................................ 28
      2. prodotto vettore dei versori degli assi coordinati ........... 29
      3. prodotto vettore tra due vettori nel piano ......................... 29
   6. Prodotto misto (dim.) ............................................................ 30
      1. volume di un parallelepipedo (dim.) ................................ 31
2. MATRICI
   1. Generalità sulle matrici ........................................................ 2
   2. Operazioni con le matrici ..................................................... 2
      1. prodotto riga per colonna ................................................ 3
   3. Matrici trasposte e simmetriche ........................................ 5
   4. Matrici invertibili ............................................................... 18
      1. calcolo l'inversa ................................................................. 23
   5. Determinante .................................................................... 20
      1. sviluppo di Laplace ......................................................... 21
      2. teorema di Binet ............................................................... 22
      3. proprietà e conseguenze .................................................. 25

3. SISTEMI LINEARI

• 3.1 Sistemi lineari e matrici

• 3.1.1 sistemi lineari come equazioni vettoriali

• 3.1.2 sistemi omogenei e legge di sovrapposizione

• 3.2 Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan

• 3.2.1 sistema a gradini

• 3.3 Metodo di Kronecker per il calcolo del rango (teo.)

• 3.4 teorema di Rouché-Capelli _(dim.)

4. SPAZI VETTORIALI

• 4.1 Definizione ed esempi

• 4.2 Sottospazio vettoriale

• 4.3 Combinazioni lineari

• 4.3.1 dipendenza e indipendenza lineare

• 4.3.2 spazio generato e insiemi di generatori

• 4.4 Base

• 4.4.1 definizione e dimensione

• 4.4.2 teorema della base _{(conseguenze del teo. con dim.)}

• 4.4.3 riduzione dello spazio riga a gradini (teo.)

• 4.5 Rango di una matrice

• 4.5.1 teorema del rango _(dim.)

• 4.5.2 teorema della nullità più rango _(dim.)

5. APPLICAZIONI LINEARI

• 5.1 Generalità

• 5.2 Nucleo ed immagine

• 5.2.1 teorema della dimensione _{(conseguenze del teo. e dim.)}

• 5.3 Applicazioni lineari iniettive e suriettive

Def:

Una matrice A si dice conforme ad una matrice B se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

Es. A_lxm B_rxs → se m = r

Si ha che A è conforme a B

Def:

Se A è una matrice nxm e B è una matrice mxk si può definire il loro prodotto come:

A·B = C

dove C_ij = ∑_k=1 a_ikb_kj

Risoluzione esempio:

(0, 2, -2) (1, 1, 1) → 0·1 + 2·0 + (-2)·3 = 0 + 0 + 6 = -6

Proprietà del prodotto riga per colonna

1. Associativa (A(B)C) = (AB)C
2. Distributiva A(B+C) = AB + AC
3. (A+B)C = AC + BC
4. t(AB) = (tA)B = A(tB)

Se A è una matrice uxm allora t(tA) = A

In generale non vale la proprietà commutativa

Es. A_3x2 B_2x3 AB ha senso

BA non ha senso

Es. Se A è uxm e B uxu ha senso sia AB che BA, ma in generale AB ≠ BA

Dobbiamo trovare i valori di t ed s tali che

H₁, H_C: H₂, H_B

A + (tAB + λAC)^c = A + t¹AC + λ¹AC,

2^-5, 1¹AC - 1²t, 3³ = 2^-5, 2^-5, t = 2^-5, 2⁵, 1.2⁵, 1²t,

Il punto di intersezione della mediana è

M = 1¹HC + 1₁NB₃

SISTEMI DI ASSI CARTESIANI

^v1₁0

¹Rovelos, tre la direzione dei que è giu però il Beethoven e il Drame setti O, v_i

e_pj accostare pari campioni D e suoi difei versari dei cartisiani

Esso danno la direzione degli assi cartesiani e la lunghezza in 1 unità

di misura che a scelta. Difatti:

Def: Un rivelatore è un vettore il cui modulo è uguale a 1. (i e j sono i versari degli

assi cartesiani)

COORDINATE DI UN VETTORE

Se v è un vettore allora possiamo scrivere v = OP la coppia (x, y) delle coordinate

OP è detta pure 2-vettore delle coordinate di v.

Inoltre, risvolta che v = xi + yj

Os:. Su questo modo si associa ad ogni vettore libero nel piano un 2-vettore; ovvero ad

una corrispondenza biunivoca tra i vettori liberi nel piano e i 2-vettori.

Tale affermazione vale anche nello spazio.

Se _v = x₁i + y₁j + z₁k, _w = x₂i + y₂j + z₂k allora:

_v · _w = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

ANGOLO MINIMO

Per due vettori _v e _w nel piano esso sottende due angoli:

|_v · _w| = |_v| |_w| cosθ

θ : _v · -_θ non cambia il suo valore

ESPRESSIONE ANALITICA DELL'ANGOLO MINIMO

Def: se _v = x₁i + y₁j, _w = x₂i + y₂j allora:

_v · _w = x₁x₂ + y₁y₂

e quindi se θ è l'angolo minimo:

|_v||_w|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂

allora:

cosθ = ( _v · _w ) / |_v||_w|

Θ = arccos ( _v · _w / |_v||_w| ) = arccos ( ( x₁x₂ + y₁y₂ ) / ( √(x₁² + y₁²) √(x₂² + y₂²) ) )

esercizio: calcola l'angolo minimo tra i vettori 3_i +

cosθ = (3_i -

Θ = arccos( -

Esercizio:

consideriamo _v = x₁i + y₁0

S_x =