Appunti Algebra e Geometria Lineare

Revisionato il 27/06/2026

di scudy00

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Appunti molto ordinati, chiari e ricchi di commenti, comprendono definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esempi di tutto il programma richiesto per il superamento dell'esame, tenuto dal …

Esame algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria

Università Università degli Studi di Bergamo

A.A. 2019-2020

74 pagine

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Lezione 1 9/3/2020

COMPITINO 7 APRILE FORSEESAME: 1 PROVA SCRITTA (U PÌU PRAT)TESTI CONSIGLIATI:

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1. NUMERI COMPLESSI

Aspetti algebrici: risoluzioni eq. che con i numeri reali non si possono risolvere
Aspetti geometrici: legame tra operazioni algebriche e trasformazioni geometriche

Insieme N complessi ℂ={(x;y) , x,y &element; ℝ}-> un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali -> ℂ=ℝ²=ℝxℝ

ESEMPIO

OPERAZIONI

Somma: (x₁;y₁) + (x₂;y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
Sottrazione: (x₁;y₁) - (x₂;y₂) = (x₁-x₂; y₁-y₂)
Prodotto: (x₁;y₁)x(x₂;y₂) = (x₁x₂-y₁y₂; x₁y₂+y₁x₂)
Opposto: (x;y) → (-x;-y) = -(x;y)
Inverso: (x;y) ≠ (0;0) (x;y)^-1 = ⁢^x⁄_x²+y²⁢, -^y⁄_x²+y² Inverso moltiplicativo - Denominatori ≠ 0 (almeno 1 tra x e y ≠ 0)

Cosa succede se (x;y) x (x;y)^-1 = (x;y) x (^x⁄_x²+y², -^y⁄_x²+y²) = ⁢^{(x;y)x(x;y)^-1} = 1 i.e. ( x²+y²) Verifico -> (x;y);(1;0)= (x-0;o+y) > Quindi (x;y)&= l'elemento neutro

I numeri complessi sono un CAMPO, ovvero una struttura algebrica con certe proprietà

Proprietà

Commutativa (somma e prodotto): (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₂, y₂) + (x₁, y₁)
Associativa (somma): t, z = (x; y) ∈ ℂt₁, t₂, t₃ ∈ ℂ (t₁ + t₂) + t₃ = t₁ + (t₂ + t₃)(prodotto): t, z = (x; y) ∈ ℂt₁, t₂, t₃ ∈ ℂ (t₁t₂)t₃ = t₁(t₂t₃)
Elementi neutri e simmetrici (somma e prodotto)Elemento finale che moltiplicato o sommato per un elemento iniziale dà quell'elemento iniziale (vedi es sopra)Elemento opposto (somma)Elemento inverso (moltiplicazione)
Distributiva (somma e prodotto): t₁(z₁ + z₂) = t₁z₁ + t₁z₂

Dimostro:t₁ = (a; b) t₂ = (c; d) t₃ = (e; s)(a; b)((c; d) + (e; s)) = (a(c + e) - b(d + s); (a + s) + b(c + e))(a(c + e) - bd - bs; ad + as + bc + be)(a; b)(c; d) + (a; b)(e; s) = (ac - bd; bc + ad) + (ae - bs; as + be) = (ac + ae - bd - bs; ad + as + bc + be)

Prodotti notevoli

(t₁ + t₂)(t₁ - t₂) = t²₁ - t²₂t₁, t₂ - t₂, + t₂ + t₂ - t₂ t₁

Cancello perché vale la proprietà commutativa, se non vale? → Non sono più veri prodotti notevoli

(t₁ + t₂)² = (t₁ + t₂)(t₁ + t₂) = t²₁ + 2t₁t₂ + t²₂

Esercizi Proposti

Calcola la somma tra Z1=(2;-1) e Z2=(0;-2). Rappresentali insieme alla loro somma nel piano di Gauss. Se ad ogni numero complesso associ un vettore avente coda in (0; 0) e punta nel numero in questione, cosa osservi per la somma?

Z_S (2,-3) è la somma dei vettori

Sia Z3 = (-1/2 ; 3). Verifica che Z1 x Z2 = (2;-4), Z1 x Z3 = (2¹³/2;1/2), Z2 x Z3 = (6;1).
Verifica esplicitamente che (Z1 + Z2) x Z3 = Z1 x Z3 + Z2 x Z3

Determina Z_i² = Z_i. Calcola i prodotti Z₁ x Z_i e Z₂ x Z_i.
Considera i

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