Appunti Algebra e Geometria Lineare

Lezione 1

9/3/2020

Vedi Drive su mail giulio.sculedetti00@gmail.com per trovare appunti lezione

1. Numeri Complessi

• Aspetti algebrici: risoluzioni eq. che con i numeri reali non si possono risolvere
• Aspetti geometrici: legame tra operazioni algebriche e trasformazioni geometriche

Insieme N complessi \( \mathbb{C} = \{ (x, y), x, y \in \mathbb{R} \} \)

\( \mathbb{C} = \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)

Esempio: (2; -1)

Operazioni

• Somma: \((x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)
• Sottrazione: \((x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\)
• Prodotto: \((x_1, y_1) \times (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2; x_1 y_2 x_2 y_1)\)
• Opposto: \( (x, y) \Rightarrow (-x; -y) \)
• Inverso: \((x, y) \neq (0; 0)\) \( (x, y)^{-1} = \left( \frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2} \right) \)

Denominatori ≠0 (almeno 1 tra x e y è ≠0)

Cosa succede se \((x; y) \cdot (x; y)^{-1} = (1, 0)\)

OPERAZIONI IN FORMA ALGEBRICA

z₁ = x₁ + y₁i

z₂ = x₂ + y₂i

• somma: z₁ + z₂ = (x₁ + y₁i) + (x₂ + y₂i) = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i
• moltiplicazione: z₁ · z₂ = (x₁ + y₁i) · (x₂ + y₂i) = x₁x₂ + x₁y₂i + y₁ix₂ + y₁iy₂i = x₁x₂ + x₁y₂i + y₁x₂i - y₁y₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + (x₁y₂ + y₁x₂)i
• opposto: -z₁ = -x₁ - y₁i
• inverso: ¹/_z₁ = ¹/_{x₁ + y₁i} = ...

z = x + yi, e ϵ ℂ

• x = Re (z) ϵ ℝ
• se y=0 z è reale
• y = Im (z) ϵ ℝ
• se x=0 z = yi (immag. imaginario puro)

ORDINAMENTO:

Non esiste un ordinamento per i numeri complessi che abbia buone proprietà rispetto alle operazioni.

Si possono solo ordinare i complessi.

Proprietà di un ordinamento per eseguire le operazioni:

• Riflessiva: a⩽a
• Antisimmetrica: se a⩽b e b⩽a allora a = b
• Transitiva: se a⩽b e b⩽c allora a⩽c
• Invarianza per somma: se a⩽b  a+c⩽b+c
• Invarianza per prodotto: se a⩽b e c⩾0 então a · c⩽b · c
• Ordine totale: ∀a,b a⩽b ⋁ b⩽a

QUESTE SONO PROPRIETÀ DELLE DISUGUAGLIANZE (NUMERI REALI)

Dimostrazione:

Non possono neanche es. 2 di cmplessi.

• Se i⩽0 allora i^2⩽0 assurdo
• Se i⩾0 allora i^2⩾0 assurdo

CONIUGATO DI UN NUMERO COMPLESSO

Sia z = x + yi ϵ ℂ

Definiamo coniugato di z: z̅ = x - yi

• Re(z̅) = Re(z)
• Im(z̅) = -Im(z)

Proprietà:

• z = z̅ se e solo se si congiungono 2 volte torni al numero di partenza
• z + z̅ = 2Re(z)
• z · z̅ = (x + yi)(x - yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 + y^2
• dunque, z · z̅ = x^2 + y^2
• se z = ^a/_b allora z̅ = ^a̅/_b̅
• Importante: z · z̅ = x^2 + y^2 = Re(z)² + Im(z)²

Lezione 3 16/3/20

Precisazioni

Associo a un arco _{2 4}

• e sono periodi: ₁₂

Vale e _{(ampiamentivistoprec.}

Formule di de Moivre

(operazioni in forma trigonometriche)

• _cos=costsin
• altriz ² _{=cos+sin +ve}

=partereale

• sin=

osservazione

• vizio=
• parteradice;

esercizio

Forma esponenziale

sudio, definisco:ir=cosisin

poi in generale,

=

proprietà `

Sistemi Lineari

(e metodi di eliminazione o riduzione di gauss)

NB: torniamo a lavorare con i _R

def: un sistema lineare m x n (m eq, m incognite) è: m ≥ 1n ≥ 1

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
• ...
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_an

m-sono r.negolineare eq di 1^° gr molte incognite x₁, x₂, ..., x_n

A_ij {Aij è sottoinsieme dei R} cu, c∈R

• x₁, ..., x_n sono le incognite (salvo nomi esempio x=xx, x₂=xy, x₃=z etc)
• b₁, ..., b_m sono i termini noti.

caso “banalotto” degener: m=1 n=1

ax = b eq. 1^° gr

• determinato (1 soluz): se a≠0 x=b/a
• impossibile (0 soluz): se a=0 e b≠0
• indeterminato (∞ soluz): se a=0 b=0

Un qualsiasi sistema lineare diventa queste possibilità si dice:

• determinato ⇢ unica soluzione (x₁, x₂, ..., x_n)
• indeterminato ⇢ ∞ soluzioni
• impossibile ⇢ 0 soluzioni

caso 2x2 (x₁ x₂ x)

e moto altre un interpretazione geometrica nel piano cartesiano

esercizio

• _3x+2y=3 ↓ x=3
• _6x-3y=3→ ↓(sist=2eq+w.sc)

• x₁ + x₂ + x₃ + 13 = 1
• x₁ + x_return=aa2a ⟶

HP (✓_3x+4y=7-z)

• 1 - salvezza
• NSSP (si deve avere 5 soluzioni)

Riduzione di gauss:

def: Un sistema lineare è in sist. triangolare se per ogni eq i^mo in cui compare almeno un'incognita, una delle sue incognite non compare in tutte le eq successive

• esempi: 3x3:
• x₃ - y+4z = 5
• y-2z=6
• z-6x=1

Un sistema triangolare diventa poi “semplice” da risolvere (generalizzando: dei procedimenti di induzione e sostituzioni dalle superiori)

caso (3x3) tutti

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ b₁
• a₂₂x₂ + a₂₃x₃ b₂ ⟶ eq. 1^° gr

Se a₁₁, a_kk, a_2a, ..., sono bilate, che fanno, risolve sostituendo “a ritroso”

ultima eq →

• _k₁→x=0
• x+_x+0)!=but

R casi vari k(1x=0)

OPERAZIONI

• somma: siano x e y ∈ ℝ^m (stesso numero di componenti) ovvero: x = (x₁, x₂, ..., x_m) e y = (y₁, y₂, ..., y_m) des: x + y = (x₁ + y₁, ..., x_m + y_m)
• prodotto per uno scalare: (noto anche come prodotto scalare di vettori) sia x ∈ ℝ^m se t ∈ ℝ des: t • x = t • (x₁, x₂, ..., x_m) = (t x₁, t x₂, ..., t x_m) (moltiplico ogni componente di x per t) ovvero t • (x_i)_i=1..m = (t • x_i)_i=1..m

vettore nullo: 0 ∈ ℝ^m des: 0 = (0, 0, ..., 0) è l’elemento neutro della somma.

combinazione lineare = sommaroria del prodotto tra uno scalare t e un vettore x

• (Scrivo un vettore come somma di uno scalare (numero) per un vettore)

des: siano x₁, x₂, ..., x_n ∈ ℝ^m (n vettori a m componenti) e t₁, t₂, ..., t_n ∈ ℝ la combinazione lineare dei vettori x_i a coefficienti t_i è la scrittura t₁x₁ + t₂x₂ + ... + t_nx_n = Σ_{i=1 to n} t_ix_i

des: combinazione lineare banale di n vettori in ℝ^m è la combinazione lineare con t_i = 0 ∀i: 0 = 0 • x₁ + 0 • x₂ + ... + 0 • x_n

Esempio

m = 3, k = 2 con x₁ = (2, 0, -3); x₂ = (5, -4, 3); b₁= -1; b₂ = 4 ;

• combin. lineare: L = b₁x₁ + b₂x₂ = (-2, 0, 3) + (20, -16, 12)

= (18, -16, 15) = 18x₁ - 16x₂ + 15x₃

oss: il risultato della combinazione lineare banale è sempre 0 (vettore nullo)

Regola del parallelogramma (metodo grafico per sommare vettori)

considero x e y ∈ ℝ² individuo x + y e 2x - y

è una combinazione lineare di x e y con coefficienti b₁ = 2 e b₂ = -1

oss: Ricordare l'identificazione tra ℝ² e ℂ e vettori di ℝ².

Esercizio:

• annullare sulla retta le operazioni tra vettori di ℝ (come si sommano? come avviene prodotto per uno scalare?)