Appunti Algebra

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ha per complementare una qualunque retta passante per l'origine e che non giace sul piano. In generale dati sottospazi di uno spazio vettoriale, si dice k U, ..., U V1 k che tali sottospazi sono in somma diretta se, per ogni i = 1, ..., k, l'intersezione di U_i con la somma di tutti gli altri è uguale a {O}, ovvero U_i ∩ (U_1 + ... + U_k) = {O}, dove il simbolo ∩ indica che nella somma si è saltato il termine Û_i.

In tal caso per indicare si può usare la notazione: U_1 + ... + U_k ⊕ ... ⊕ U U_1 k.

325 Applicazioni lineari e matrici invertibili

5.1 Endomorfismi lineari invertibili

Consideriamo uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo e una applicazione lineare L: V → K. Una tale applicazione lineare si dice endomorfismo lineare di V. Indicheremo con End(V) l'insieme di tutti gli endomorfismi lineari di V.

< n Imm(L) m.la dimensione di è minore della dimensione di , e non èImm(L) W Lsurgettiva.Se fissiamo una base di , ad ogni endomorfismo viene associata∈V L End(V )una matrice Se è invertibile, consideriamo l’inversa e−1∈[L] M at (K). L Ln×nla matrice ad essa associata Visto che vale−1 −1 −1◦ ◦[L ]. L L = L L = I,−1 −1[L ][L] = [L][L ] = [I] = IDunque la matrice è invertibile e ha per inversa Possiamo afferma-−1[L] [L ].re anche il viceversa: se la matrice associata ad un endomorfismo lineare è[L]invertibile allora anche è invertibile e la sua inversa è l’applicazione associataLalla matrice −1[L ]. Una matrice è invertibile se e solo se il suo∈A M at (K)Corollario 5.1.4. n×nrango è n. 335.2 Metodo per trovare l’inversa di una matriceCome abbiamo visto nel paragrafo precedente, il problema di trovare un’inversadi si

Può tradurre nel problema di trovare l'inversa in L End(V) Mat(K)n×n di una matrice data. In questo paragrafo descriviamo un metodo per trovare l'inversa di una matrice in A Mat(K).n×n. Una matrice in forma a scalini per righe (o per colonne) ridotta, si dice se ha tutti i pivot uguali a 1. Una matrice può essere portata in forma a scalini per righe (o colonne) ridotta e normalizzata, attraverso un numero finito di operazioni elementari. Consideriamo la matrice:

Esempio:

A =
[3 2 1]
[1 1 0]

Che ha rango 3, dunque è invertibile, e calcoliamo la sua inversa. Per prima cosa formiamo la matrice:

(AI) =
[3 2 1 1 0 0]
[0 1 1 0 1 0]
[1 1 0 0 0 1]

Ora con delle operazioni elementari di riga portiamola in forma a scalini per righe ridotta, per esempio nel seguente modo: si sottrae alla prima riga la terza moltiplicata per 3:

[1 0 -3 -3 0 3]
[0 1 1 0 1 0]
[1 1 0 0 0 1]

→ 0 1 1 0 1 00 1 1 0 1 0   1 1 0 0 0 11 1 0 0 0 1poi si somma alla prima riga la seconda   −1 −3 −30 1 1 0 0 0 2 1 1→ 0 1 1 0 1 00 1 1 0 1 0    1 1 0 0 0 11 1 0 0 0 1a questo punto si permutano le righe e si ottiene 1 1 0 0 0 10 1 1 0 1 0 −30 0 2 1 1Per ottenere la forma a scalini ridotta, moltiplichiamo l’ultima riga per 12 1 1 0 0 0 10 1 1 0 1 0 12 12 32−0 0 1 34sottraiamo alla seconda riga la terza riga 1 1 0 0 0 11 1 30 1 0 2 2 21 1 32−0 0 1 2 2infine sottriamo alla prima riga la seconda:1 12 12 − −1 0 0 21 1 3−0 1 0 2 2 21 1 3−0 0 1 2 2 2La matrice 12 11 − −2 21 1 3−B =  2 2 21 1 3−2 2 2è l’inversa di A.Perchè il metodo funziona ?Consideriamo una matrice e cerchiamo la sua inversa;∈A M at (K)n×nsupponiamo che abbia rangoA n.Per prima cosa creiamo una

matrice ponendo accanto le colonne di×n 2ne quelle di Indicheremo tale matrice con A I. (AI).

Adesso possiamo agire con operazioni elementari di riga in modo da ridurre la matrice in forma a scalini per righe ridotta. Poichè ha rango anche A n, (AI) ha rango n. Un modo per rendersene conto è il seguente: il rango di è n. (AI) minore o uguale a n visto che ha n righe ed è maggiore o uguale a n visto che individuiamo facilmente n colonne linearmente indipendenti.

Allora quando la matrice viene ridotta in forma a scalini per righe (AI) ridotta, deve avere esattamente n scalini, dunque deve avere la forma n. (IB).

Affermiamo che la matrice che si ricava dalla matrice precedente è proprio B l'inversa di A che cercavamo.

Infatti agire con operazioni di riga equivale a moltiplicare a sinistra la matrice A per una matrice invertibile di formato n × n, dunque:

×(AI) U n × n,

U (AI) = (IB)

Per come è definito il prodotto righe per colonne,

U (AI) = (U A U I)

Dalle u