Appunti Algebra

Algebra Lineare

Federico Bustaffa

13/02/2022

Indice

1 Spazi Vettoriali 3

1.1 Definizione di spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Base di uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Applicazioni Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Matrici e vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Riduzione a scalini 16

2.1 Operazioni elementari sulle colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Riduzione a scalini e studio delle basi . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Il teorema della dimensione del nucleo e dell’immagine di una

applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Immagine di un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Riduzione a scalini per righe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Riduzione a scalini e applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Sistemi lineari 26

3.1 Risoluzione di sistemi tramite riduzione per righe . . . . . . . . . 26

4 La formula di Grassmann 28

4.1 La formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Calcolo dell’intersezione di due sottospazi . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Somma diretta di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Applicazioni lineari e matrici invertibili 33

5.1 Endomorfismi lineari invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Metodo per trovare l’inversa di una matrice . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Cambiamento di base negli endomorfismi lineari . . . . . . . . . . 37

1

6 Determinante 41

6.1 Definizione di determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Determinante e calcolo del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3 Teorema di Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.4 Proprietà del determinante rispetto alle mosse di riga e colonna . 47

7 Diagonalizzazione di endomorfismi lineari 48

7.1 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2 Polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.3 Strategia per scoprire se un endomorfismo è diagonalizzabile . . . 52

7.4 Criterio di molteplicità algebrica e molteplicità geometrica . . . . 54

8 Prodotti scalari e spazi euclidei 56

8.1 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.2 Ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.3 La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.4 Sottospazi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9 Teorema spettrale 63

9.1 Introduzione al teorema spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.2 Endomorfismi simmetrici definiti positivi o negativi . . . . . . . . 65

2

1 Spazi Vettoriali

1.1 Definizione di spazio vettoriale

Per fornire la definizione di spazio vettoriale si ha bisogno di un insieme non

vuoto e di un campo dove sia possibile definire le operazioni di

V somma

K,

e

vettoriale prodotto per scalare.

Uno è un insieme V

Definizione 1.1.1. spazio vettoriale su un campo K

su cui sono definite la somma fra due elementi di (il cui risultato è ancora un

V

elemento di V, si dice quindi che è chiuso per la somma), e il prodotto di un

V

elemento di per un elemento di (il cui risultato è sempre un elemento di ,

V V

K

si dice quindi che V è chiuso per il prodotto con elementi di che verificano

K)

le seguenti proprietà:

1. vale

∀u, ∈

v, w V (u + v) + w = u + (v + w)

(proprietà associativa dell’addizione)

2. vale

∀v, ∈

w V v + w = w + v

(proprietà commutativa della somma)

3. tale che vale

∃O ∈ ∀v ∈

V V v + O = v

(elemento neutro somma)

4. , tale che

∀v ∈ ∃w ∈

V V v + w = O

(opposto per la somma)

5. e vale

∀λ, ∈ ∀v, ∈

µ w V

K λ(v + w) = λv + λw

e anche (λ + µ)v = λv + µv

(proprietà distributiva prodotto per scalare)

6. e vale

∀λ, ∈ ∀v ∈

µ V

K (λµ)v = λ(µv)

(proprietà associativa prodotto per scalare)

7. vale

∀v ∈ V 1v = v

(invariante moltiplicativo) 3

L’elemento neutro della somma e lo elemento neutro

O 0,

Osservazione 1.1.2.

di sono due cose ben distinte, il primo è un vettore, il secondo è uno scalare.

K Ogni campo è uno spazio vettoriale su stesso con le

Esempio 1.1.3. K K

operazioni di somma vettoriale e prodotto per scalare che sono definite identiche

alle operazioni di somma e prodotto sul campo. In particolare è uno spazio

R

vettoriale su così come è uno spazio vettoriale su

R, Q Q.

è uno spazio vettoriale su con le

2 {(a, | ∈

= b) a, b

Esempio 1.1.4. R R} R

operazioni di somma vettoriale e prodotto scalare definite come segue:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

λ(a, b) = (λa, λb)

Anche l’insieme dei polinomi con la somma tra polinomi

Esempio 1.1.5. K[x],

e il prodotto tra polinomi e costanti di definiti come segue:

K

• Il polinomio somma di e è quello il cui coefficiente di grado è

p(x) q(x) n

la somma dei coefficienti di grado dei polinomi e

n p(x) q(x).

• Il polinomio prodotto di e è il polinomio che ha come coeffi-

∈

k p(x)

K

ciente di grado volte il coefficiente di grado di

n k n p(x).

è uno spazio vettoriale su K. 4

1.2 Sottospazi vettoriali

Un di è un sottoinsieme di

W V

Definizione 1.2.1. sottospazio vettoriale

che (rispetto alle operazioni e che rendono uno spazio vettoriale su

·

V + V K)

è uno spazio vettoriale su K.

Dato uno spazio vettoriale su un campo e l’insieme

V V O

Esempio 1.2.2. K,

sono sempre sottospazi di .

V

Chiamiamo di un qualsiasi sotto-

V

Definizione 1.2.3. sottospazio proprio

spazio vettoriale di che sia diverso da e dal sottospazio

V V O.

Dato uno spazio vettoriale su e , è sotto-

⊆

V W V W

Proposizione 1.2.4. K

spazio vettoriale di (rispetto alle operazioni e che rendono uno spazio

·

V + V

vettoriale su se e solo se:

K)

1. Il vettore appartiene a

O W

2. vale

∀u, ∈ ∈

v W u + v W

3. vale

∀k ∈ ∈ ∈

W ku W

K∀u Consideriamo lo spazio vettoriale su e proviamo vedere

2

Esempio 1.2.5. R R

se l’insieme è un sottospazio vettoriale di

2 2

{∀x, ∈ |

X = y x + y = 1}

R

. L’insieme in questione è l’insieme di punti di una circonferenza. Subito

2

R

notiamo che il vettore non appartiene all’insieme dunque possiamo subito

(0, 0)

concludere che non è un sottospazio di .

2

X R

Tutte le rette passanti per l’origine sono gli unici sotto-

Osservazione 1.2.6.

spazi vettoriali di . Tutti gli altri sottoinsiemi non sono chiusi per somma e

2

R

prodotto. Consideriamo il sottoinsieme di che contiene tutti e

L

Esempio 1.2.7. K[x]

soli i polinomi che hanno radice ovvero:

1,

{p(x) ∈ |

L = p(1) = 0}

K[x]

Verifichiamo che è sottospazio vettoriale di

L K[x].

• Il polinomio che è il vettore di appartiene a infatti ha come

0, O L, 1

K[x],

radice (addirittura ogni elemento di è una radice di 0).

K

• Se allora appartiene a infatti:

∈

p(x), q(x) L (p + q)(x) L,

(p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0

• Se e allora infatti:

∈ ∈ · ∈

p(x) L k k p(x) L,

K · · ·

(k p)(1) = k p(1) = k 0 = 0

5

1.3 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Dati due sottospazi vettoriali e di uno spazio vettoriale , la somma è

U W V

il più piccolo sottospazio vettoriale di che contenga sia che mentre

V U W

l’intersezione è il più grande sottospazio vettoriale di contenuto sia in che

V U

in .

W Sia uno spazio vettoriale su un campo e due

V U W

Proposizione 1.3.1. K,

sottospazi di , allora è un sottospazio vettoriale di .

∩

V U W V

Ci interessa verificare che verifichi le proprietà della

∩

U W

Dimostrazione.

definizione:

1. , infatti essendo e due sottospazi, certamente e

∈ ∩ ∈

O U W U W O U

.

∈

O W

2. Siano allora:

∈ ∩

v , v U W

1 2 ( ∈

v + v U

1 2 ⇒ ∈ ∩

v + v U W

1 2

∈

v + v W

1 2

3. Sia allora si ha:

∈ ∩ ∀λ ∈

v U W K

( ∈

λv U ⇒ ∈ ∩

λv U W

∈

λv W

Per cercare il più piccolo sottospazio contenente sia che verrebbe da

U W

pensare all’unione insiemistica, tuttavia, in generale non è vero che è un

∪

U W

sottospazio vettoriale di .

V

Dunque il più piccolo sottospazio vettoriale di che contiene sia che

V U

deve necessariamente (per essere chiuso per la somma) contenere tutti gli

W

elementi della forma dove e .

∈ ∈

u + v u U w W

Provare che se e e sono due rette distinte passanti

2

V = U W

Esempio 1.3.2. R

per allora non è un sottospazio di .

∪

O, U W V

Basta mostrare che, presi e , entrambi diversi dall’origine,

∈ ∈

u U w W

non appartiene all’unione .

∪

v + w U W

Dati due sottospazi vettoriali e di uno spazio vettoriale

U W

Definizione 1.3.3.

su chiamo di e l’insieme

V U W

somma

K, {u | ∈ ∈ }

U + W = + w u U, w W

Dati due sottospazi vettoriali e di uno spazio vet-

U W

Proposizione 1.3.4.

toriale su è un sottospazio vettoriale di (ed è il più piccolo

V U + W V

K,

contenente e ).

U W 6

, infatti appartiene sia ad che a .

∈

O U + W U W

Dimostrazione.

Ora dati e , per definizione di esistono

∈ ∈ ∈

a x, y U + W U + W u , u U

K 1 2

e tali che: e . Dunque

∈

w , w W x = u + w y = u + w

1 2 1 1 2 2 ∈

x + y = (u + w ) + (u + w ) = (u + u ) + (w + w ) U + W

1 1 2 2 1 2 1 2

∈

ax = a(u + w ) = au + aw U + W

1 1 1 1

7

1.4 Base di uno spazio vettoriale

Sia uno spazio vettoriale su un campo Per definizione di , se

V V v , v , ..., v

K. 1 2 n

sono vettori di , allora per qualsiasi scelta di elementi di il

n V n k , k , ..., k K

1 2 n

vettore: n

X

v = k v + ... + k v = k v

1 1 n n i i

i=1

appartiene a , in quanto è chiuso per somma vettoriale e prodotto per

V V

scalare. Dato un insieme di vettori di , spazio

{v }

, v , ..., v V

Definizione 1.4.1. 1 2 n

vettoriale sul campo il vettore:

K, · ·

v = k v + ... + k v

1 1 n n

con scalari di si dice una dei vettori

{k }

, k , ..., k combinazione lineare

K,

1 2 n

I sono detti della combinazione lineare.

{v }.

, v , ..., v k coefficienti

1 2 n i

Consideriamo lo spazio vettoriale su e i seguenti due

3

Esempio 1.4.2. R R

vettori:    

3 1

−1 0

v = v =

1 2

   

3 2

Allora il vettore seguente:

v 3 

 

 

 1

3

5 −1

−1 ·

· 0

+ 2

= 1

v =

3 

 

 

 2

3

7

È una combinazione lineare dell’insieme dei vettori di coefficienti 1 e 2.

{v }

, v

1 2

Dati vettori di su si definisce

{v }

, v , ..., v V

Definizione 1.4.3. span

K,

1 2 t

dei vettori (e si indica con l’insieme di tutte le

v , v , ..., v Span(v , v , ..., v ))

1 2 t 1 2 t

possibili combinazioni lineari dell’insieme di vettori {v }.

, v , ..., v

1 2 t

Un insieme di vettori di per cui

{v }

, v , ..., v V V =

Definizione 1.4.4. 1 2 t

ovvero , esistono degli scalari tali che

∀v ∈

Span(v , v , ..., v ), V a , a , ..., a

1 2 t 1 2 t

a v + a v + ... + a v = v

1 1 2 2 t t

si dice un di . In tal caso si dice anche che i vettori

V

insieme di generatori

.

v , v , ..., v V

generano

1 2 t

L’esistenza di un sistema finito di generatori per uno spazio vettoriale su

V

un campo è un fatto molto importante, dato che si riduce la descrizione di

K

uno spazio vettoriale con cardinalità infinita, ad una lista di numero finito di

vettori di .

V 8

Dato un sistema di generatori di sappiamo dunque che ogni

{v }

, ..., v V

1 t

si può scrivere, con opportuni coefficienti come:

∈ {k },

v V , ..., k

1 t

t

X

v = k v

i i

i=1

In generale, tale scrittura non è unica, ovvero non ci permette di identificare

univocamente ogni vettore di .

∈

v V

Si verifica che i vettori

Esempio 1.4.5.        

1 1 0 2

2 0 0 2

       

3 1 1 4

generano . Si possono facilmente trovare due distinte combinazioni lineari

3

R

di tali vettori che esprimono il vettore

 

2

2

 

5

Per esempio: 

 

 

 

 

 

 0

2

2

0

1

1 0

2

2

0

0

2 +

=

=

+

+ 

 

 

 

 

 

 1

4

5

1

1

3 Si dice che un insieme finito di vettori è un

{v }

, v , ..., v

Definizione 1.4.6. 1 2 r

se l’unico modo di scrivere il

insieme di vettori linearmente indipendenti

vettore come combinazione lineare di questi vettori è con tutti i coefficienti

O

nulli, ossia se ⇔

a v + a v + ... + a v = O a = a = ... = a = 0

1 1 2 2 r r 1 2 r

Si può dire anche che i vettori sono Se invece i vet-

linearmente indipendenti.

tori non sono linearmente indipendenti si dice che sono

v , v , ..., v linearmente

1 2 r

dipendenti. Un insieme di vettori di uno spazio vetto-

{v }

A = , ..., v

Proposizione 1.4.7. 1 n

riale su è un insieme di vettori linearmente indipendenti se e solo se nessun

V K

, appartenente ad si può scrivere come combinazione lineare dell’insieme

v A,

i (ovvero non appartiene a

}

B = A\{v v Span(B)).

i i

Sia uno spazio vettoriale su un insieme di vettori

V

Definizione 1.4.8. K,

, che generano lo spazio e che sono linearmente indipen-

{v } ∈

, v , ..., v V V

1 2 n

denti, si dice una (finita) di .

V

base Nella definizione è specificato Non sempre uno

Osservazione 1.4.9. finita.

spazio vettoriale ammette un numero finito di generatori, e di conseguenza

nemmeno una base finita. 9

Fissata la defizione di base siamo interessati a capire:

1. Se la scelta di una base garantisce l’unicità di scrittura di un vettore in

termini di combinazione lineare degli elementi della base.

2. Quando uno spazio vettoriale ammette una base finita, ed in particolare se

il fatto che uno spazio vettoriale abbia un insieme finito di generatori,

V

garantisca che abbia una base finita o meno.

V Ogni vettore si scrive come

∈

v V

Proposizione 1.4.10. in modo unico

combinazione lineare degli elementi della base.

Sia uno spazio vettoriale su diverso da e generato

{O}

V

Teorema 1.4.11. K

dall’insieme finito di vettori Allora è possibile estrarre

{w }.

, w , ..., w

non nulli 1 2 s

da un sottoinsieme (con che è una base

{w } {w } ≤

, w , ..., w , w , ..., w n s)

1 2 s i i i

1 2 n

di .

V Sia uno spazio vettoriale con basi di cardinalità Tale

V n.

Definizione 1.4.12.

cardinalità è detta di .

n V

dimensione 10

1.5 Applicazioni Lineari

Le applicazioni lineari non sono altro che funzioni che mandano sottospazi in

sottospazi Consideriamo la funzione definita da

2 2

→

:

Esempio 1.5.1. f R R

x x

=

f 2

y x

La funzione manda i punti con la prima e seconda coordinata uguali,

xx

f ( ),

ovvero i punti della retta di equazione nella parabola di equazione .

2

x = y, y = x

Ma, come sappiamo, la retta passando dall’origine, è un sottospazio di

y = x,

, mentre la parabola non lo è. Si devono dunque considerare applicazioni con

2

R

proprietà particolari. Siano e spazi vettoriali di dimensione finita sul cam-

V W

Definizione 1.5.2.

po Un’applicazione da in è detta se soddisfa le seguenti

L V W lineare

K.

proprietà:

• vale

∀v ∈

, v V

1 2 L(v + v ) = L(v ) + L(v )

1 2 1 2

• e vale

∀λ ∈ ∀v ∈ V

K L(λv) = λL(v)

Soddisfare le due proprietà, da parte di un’applicazione

Osservazione 1.5.3.

lineare è equivalente a soddisfare la seguente proprietà:

L, e vale

∀v ∈ ∀λ, ∈

, v V µ K

1 2 L(λv + µv ) = λL(v ) + µL(v )

1 2 1 2