Serie di Laplace

PARTE 3

TRASFORMATA DI LAPLACE

DEFINIZIONE E DOMINIO DELLA TRASFORMATA

®

Consideriamo una funzione ed un numero reale Se esiste l’integrale

: 0, +∞ .

01 +,-

2

esso è definito Trasformata di Laplace della funzione nel punto Di solito si suppone che la

() .

funzione sia uguale a su per cui

0 (−∞, 0)

01 01

+,- +,-

=

+1 2

Indichiamo con 01 +,-

∶= ∈ : < ∞ ()

2

È così definita una funzione ®

: 01 +,-

=ℒ =

2

che definiamo Trasformata di Laplace della funzione ().

La trasformazione di Laplace può essere interpretata come una trasformazione funzionale, cioè

come un’operazione che, mediante il primo integrale, fa corrispondere a una funzione trasformabile

di variabile reale una determinata funzione della variabile L’insieme si definisce

() .

dominio della trasformazione di Laplace della funzione ().

DEFINIZIONE E DOMINIO DELLA TRASFORMATA

Determiniamo delle condizioni sulla che assicurano l’esistenza della trasformata di Laplace.

()

Preso scriviamo l’integrale nella forma

0 < < ∞ E 01

+,- +,-

ℒ = +

2 E

Se la funzione è generalmente continua in il primo integrale esiste. In realtà il primo

() [0, +∞)

integrale esiste anche se la funzione, pur non essendo generalmente continua in 0, verifica la

condizione lim () = +∞

J

®

- 2 L

in modo tale che per qualche valore di il prodotto è limitato in Una condizione

< 1 () 0.

sufficiente a garantire l’esistenza del secondo integrale (almeno per valori di sufficientemente

grandi) è che appartenga alla classe delle funzioni di ordine esponenziale.

()

Definizione

Se esistono e appartenenti a con tali che

, , > 0

+P-

() < , ∀ >

o equivalentemente P-

() < , ∀ >

si dice che è di ordine esponenziale a (per valori di sufficientemente grandi, Se

() > ). ()

P-

è di ordine esponenziale a e quindi soddisfa allora si ha

() < , ∀ > ,

+,- +,- P- + ,+P -

() < =

TRASFORMATA DELLA DERIVATA

Notiamo che dalla - trasformabilità di non segue, in genere, quella di Ad esempio, la

ℒ () ′().

V

U

funzione è - trasformabile, mentre la sua derivata non lo è, in quanto la

= log ℒ = -

XYZ

W

funzione non è integrabile in per alcun valore di Si può però dimostrare che dalla

(0, +∞) .

-

- trasformabilità di segue quella di

ℒ ′() ().

Teorema

Se e le sue prime derivate sono continue su ogni intervallo del tipo e di ordine

() − 1 (0, )

L

esponenziale e se è continua a tratti su ogni intervallo del tipo si ha

() (0, ),

J J

L L L+V 0 L+[ U 2 L+\ UU 2 L+V 0

ℒ = − 0 + + + ⋯+ 0 =

+ + 0

= − , ∀ ∈

f

Dimostrazione U 0

Per dimostriamo che Integrando per parti si ha

= 1 ℒ = − (0 ).

01 01

01

U +,- U +,- +,-

ℒ = = [ ] +

2

2 2

®

+,-

Poiché è di ordine esponenziale, tende a quando Ne segue che

() 0 + ∞.

U 0

ℒ = − (0 )

U UU

In modo analogo, nel caso se è continua e continua a tratti, l’integrazione per

= 2,

parti determina 01 01

01

UU +,- UU +,- U +,- U -

ℒ = = [ ()] + =

2

2 2

01

+,- U U

= [ ()] + ℒ ()

2 ®

+,-

Se anche è di ordine esponenziale, tende a per e diviene pertanto

′() ′() 0 + ∞

UU [ 0 0

ℒ = − 0 − ′ (0 )

Supponiamo che la tesi sia vera per e dimostriamola per

+ 1

j0V j

ℒ =ℒ =

j j 0

= ℒ − 0 =