Analisi - parte 1

Diseguaglianza di Bernoulli

Dato Ita HEIN1 71qualsiasi 1miin 07 OkIta 070neo aab U n 11 fotothI 1 It4IiHp x 7 uhfax 7Dim taxfax Giux171 Itafax 1Stx 7 thx auxfix Stx htt1T Cuti t induttival'hpuso41 1mHz 1 141 1 70K nDimostra che la sommatoria di 2 è uguale a 2 -1:nei1LLk O 2120 10 okneab httUn nei1 1L LHp tuL L1 K0 ODinise se 22 1 induttivauso limpK O 2 2 1 1L 221oziati ÈInfatti 12 tipMemento!: kcal 1KNumeri complessi:Essi di tv servonoesono ampiamente perne giustificaredi disoluzionidellela alema equazionimancanzaminimo X20Nt 1 112 X 0come 0gradoTeorema: radici complesse di un polinomio a coe cienti realiHPrendiamo bitl'aq.ae apicella atoe come eC ofaÈà bb discriminantedettoX Aza za disER 2A 0 realisolXi 7cane e2 realiE RDA 0 2 solXcanXi X2 eR Ge Nenna solDEO realeX X2Assumiamo Acodunque che FaFI bCA Fièil duqueproblemaLaza Fai Questail 1 ceèponiamo mae dunque ilrisolveil simbolo proprietà problemasoddisfa una eFa iIfa

A IB A BENcondasa leQuesto che soluzioni2dimostra 2sono Zeedinumeri Cadiloroe frae coniugati dopoDef: Numero Complesso ateo2S dellaesso è forma algebricaun numero Rilbeh RE E1 CEa estendeduquecome e vistoRfie esserepoiché menone comepuòcomplessoi iddi Pci essendo apolinomiounOss!: il valore delle potenze di i 4è3 èè I 11 11l lJ iI i è iil I1 11eOperazioni con numeri complessi in forma algebrica:dati weltedIb DERbcome2 Qea cCarbsomma iced2 we Laci ilad.bebdidbZaia aprodotto itah.veintereentrambe sono a eStruttura algebrica: GruppoM AboliamoSi AboliamoE siEGruppo1 Gruppoal rispetto alrispettointerna internaè si è sisi siAssociatività Associativitàe si e SiNeutro O 1Neutrosi siZopposto oppostosi siAboliamo aboliamoForma Algebrica diM autodota la 2algebricaforma numerome complessodire Rezsi colaacue portapuò Inez b InvaginariaE EIb dia coniugato z segnatotab121 dimodulo 2Dim: ogni numero complesso diversoda 0 è invertibile. Dato te 2 bio2 to adunque con. Possiamo dittee'b 121E e'bdire azcue E ambito. Perciò EEFf2 dunque Hpe 1212 incetibilez. FI èLInfatti z sempre. Solo è5 lote 02 dunque nondioquando0 e. Struttura algebrica: Campo si. Teorema: C è campo di distriboperazioniallerispetto e. HOss!: la relazione d'ordine del campo è solo parziale. RE di R direvedendo sieE estensione peròpuònond'ordineER la tela siaciane totalecane cheper ilildato 1 teoricamente 0 E illogicoche e. Non totalmente ordinatacatenaavranno dunque mauna èciòulterioredimostracione caraa. In Rnelzia soloavviene O0 se 2 wEtin E Èanniene Ospesso. Oss!: valgono solo le proprietà di campo l'ordine si apenaperchéK diquello campo. Proprietà (di campo): KM Axis deZ io Rare bicie vi comeSleep CfoeeaueeeiuRNeutralità X.gepresi OKNOOXy invertibileHO 0unti0 invèdei 2sono entrambi o unol'altro whoèmentre.E2E 2Di2a e2Coniugati ZIEInezZIERez e 2 nucleoOgni campanoEeZinertibilità FO invertibile2con IO ci121Teorema solo12Nn 1 0,512 00 O27,0 se1R fu ER tuEtà 1211 lui2 IzuviR è IT E 121E 121 IEIZI I ZI2T Melzi IR.czReal IIeeziEE I2 2 7121M Dim: Diseguaglianza Triangolare: Posto aedo idmieERdb0 CcanY Zanoletti lui1K 1 i latibitictidl1 EdbAtctastate tant Età thirteenCat 54 è dEd 2s t d ZtlAHH DI CeredaHadZac Ebdetby.catalfact Età5Sd eayei oidEbydli 2acbdeaf.is bd b2cl2acbda2d2 Olad ERbe 70 poiché alba eForma trigonometrica:K il dianime attraversola Argan GausspianorappresentativaI itsForma algebrica Z atIeee2 Forma La b2trigonometricaZb Innaginaioasse FeolaAhai Reza Oss! èse Rez sedetotalmente2 giace suz Ieee èse innitotalmentesugiocasiCirconferenze sul piano con i numeri complessiH RedI Preso OcentroCeo unun raggioputto yoyaJ P 2 Xxivchiamiamo tifoe ioZoR t G fadice Dti R xc y yoR notadunque yoyo 20162 12Izzo a Eilt risulta

Due delle differenze tra i numeri complessi e i numeri reali sono:

• La presenza dell'unità immaginaria i
• La possibilità di rappresentare numeri nel piano complesso

Ad esempio, lo stile OEa rappresenta un numero complesso Z con parte reale Ea e parte immaginaria O. La formula |z-z|_oJ2 rappresenta il modulo del numero complesso z sottratto a z stesso, elevato al quadrato e radice quadrata.

Le equazioni con i numeri complessi possono essere di due tipi:

1. Primo tipo: Zi = i13 + Ot + Z + ifX
2. Secondo tipo: E = axils12 + iz12 + 12 + 11 + 2

Per risolvere le equazioni del primo tipo, si segue il seguente svolgimento:

1. Si considera l'equazione gg 1l'x = i3 + 3 + fig O1gi + i 1 O3 + 1 3g x7 01eun 3kgnucleo E Enudo
2. Si semplifica l'equazione ottenendo Xequando g01la 3g2 componenti 1nullesonolo algebrica graficasoluzione IeeeeE2 Z Z i Rat

Per risolvere le equazioni del secondo tipo, si segue il seguente svolgimento:

1. Si considera l'equazione E axils12 iz12 12 11 2O
2. Si applica la legge del prodotto dei fattori verificando se uno dei fattori è uguale a zero
3. Si risolve l'equazione ottenendo le radici, che possono essere reali o immaginarie

La soluzione delle equazioni complesse può essere unica o avere più soluzioni, a seconda dei casi.

ildache comecomplesso raggiodi de ocirconferenzauna centro a2raggioiter 22 innienteumani totalecomplessi2 verticalesull'assegiacentialgebrica graficaitiZi2Z v a 2 aiz2Rappresentazione trigonometrica:Spiano GansiArgand data la algebricaformaInez 12 troviamo2 1 cheX µZP troviamoY dile coordinate 2polariTO GaussArganosul piano di0 ReaXP distanza 121pdall'origineReaZfra e orgeangolo cosaReale X pcoordinatax senocoordinata Immaginariaf pg ti senocosaa 2rumeno complesso pP ItUsando le feniani 7 Oi se o_taaf.iaaexcotrigonometrica vediamo rgzOperazioni fra numeri complessi in forma trigonometrica:KTutti dimostranianeunapossiedano appresso_Moltiplicazione:DatiS i2 seno Zzicaso palco 02 senorp esenoi i2 caso22 02p senorfa cos senocosatifosocosa seno02 seno 1senop pa cos travianodella dila sauna seno cosenoseguendo proprietà eè 00P 02Zaza 02cos senfa12 al II2 1221Zi Z ZzGila orgorg orgDivisione:Dati iM 2 Zzsenoicaso palco 02 senorp e2 EaZÉ ZIIZi cueSapendo2

Hia arglzikarqffimaargz.orgallora eseconiarono oppostoangolocweiisnaoa denqueargzI arg.EE orgeRicandocendoci moltiplica cianeallea è 0 02QZZ cosPipa senOaTeorema di De Moivre: l’elevamento a potenzaK e'seno tuttise allorapecoraI senileècosap seno costi2 sentocacaopdunqueRadici n-esime:K demaniodiEsse ricavano dallasi formulaK i 0 haasia r seq2 cos sue sensonon4 nocosa ismeoAllora id r pcasula SeungQuesto solodecade sepero animante ENp 0 con u12kt0 KE 7periodicitàne come4Dunque l'IIpt inie'II2 cose 9però risultano infinitiangoli esseregli escludere