Analisi - parte 1

Proprietà fondamentali e definizioni degli insiemi numerici

Insiemi di numeri

A numeri IN naturali interi positivi 2 interi numeri positivi negativi o numeri razionali be 2 cambio a come i reali NR numeri a daa dacolei 03Aza 304 numeri E complessi i I R irrazionali E numeri numeri ma.

Definizione: i numeri Reali attenti da numeri sono fra un rapporto quantità omogenea.

Teorema: radice di 2 è irrazionale

Ed E b0 È Hp BEN 0 a eea come ridotta loro 90 primi graz fra E ERth I eti tedissi Q se allora bE di D 2525a Dunque aa essendo 2 divide esso pari numero primo e area ai interi sia pori numeri sono me perciò a.

Posto 2k KEN dunque come a 2h2b22h2 4k a essendo 2 divide esso pari numero primo e interi kek sia pori numeri sono necue perciò e sia lo pori a sono sia Dunque ma fa decadere BEN l'Hp poiché maa a mano loro primi fra e perciò essere possano non entrambi contemporaneamente poi te P E ER dimostrala che dire Dunque a.

Teorema: esistono a, b irrazionali tale che a appartenga ad in numeri razionali

bS 52 E I Hp abfa QEIbth E la ED FIeE EDim EI perciò può REIE bFa Eab ticosi se 2 anche fosse.

Operazioni

H interna E essere operazione essere può non Ogni o insieme ad numerico come RE2 Assodato IvRE e NE E che e intere IN mentre i non sono sempre e e2 intene mentre sono t i none sempre interne vi insieme denso sono ma sono i I numeri la esclusi molti radici R numeri dai tutti attenti fa grandezze rapporti omogenee numeri E tutti in i assoluto.

Strutture algebriche

Definizione di gruppo

Gruppo: è di munito 4 insieme Un un gruppo binaria ni 9 tale 4 4 operazione che 1 V Pg Associatività C.ca Xyz2x.yiz txt2 Jeeg Esistenza neutro 4 X eeed 73 E Esistenza 4 ex reciproco gaXyg.

Oss!: gruppo abeliano o commutativo 9 se Hye xyeg.in.

Oss!: La scrittura GxG cartesiano da identifica in prodotto una di coordinate ad corriva coppia sig f cartesiano un ce aiutano prodotto.

Gruppi ed insiemi numerici

Determinato Valutando intere ad le un operazioni insieme alla numerico può si grazie definizione scoprire insieme di tale numerico se è rispetto in gruppo gruppo interna ad esso determinata ad operazione una.

Somma: G Associatività 77 elel neutro reciproco Gruppo C NoN si NO si 17asi Si e si si a 1 ZABEuano si Si e si si a 1 Arenano si Si e si Radev ano asi 1 la è cannitativa sa una.

Moltiplicazione: i Associatività Zelotel neutro reciproco gruppo µ No si 1 NO si lo O si No NO nanna 1 si 2 reciproco si No 1 NO si è non invertibile si R No si NO 1 se però Associatività 7 eltel neutro reciproco Gruppo lo E si N No 1 NO si lo si E No NO si 12 si Sito 1 si si GE arenano si R Sisi fofabe un.no 1 si GE la cannitativa è moltiplicazione zaffo 1 2,3.

Oss!: esistono gruppi non abeliani 3 1 04 percio J 2i 3 1 2531 Aboliamo 2.2 No 04.

Oss!: se esiste l’elemento neutro, ce n’é solo uno N invertibile se è xy yx.eef 2 mettiamo che Z siano a caso e ce ne eednque kgefg.es efxgeyx fCe unico è ez2 2 fezei g g.

Campi: proprietà e definizioni

Definizione di campo

Campo: k insieme Un è di munito un campo B RX2 somma operazioni ex prodotto aboliamo ll1 It è neo rispetto O canet cana un gruppo LoK aboliamo è 2 al rispetto ne gruppo 3 la distributive Valgano proprietà 2 Ax E Caty2 x21 2XYZ Xy e gzy.

Campi ed insiemi numerici

Di vedere J si se gli valutando la definizione può campo insiemi siano numerici meno o campi N 31 2 Campo si N No si NO No si NO si 2 si si si si si 112 si si.

Struttura d’ordine

Definizione di struttura d’ordine parziale

Struttura d’ordine parziale insieme è relazione su una del Non tale che E tipo 1 EX Riflessività ex Anti allora EX2 simmetria se eg y y Transitività 23 EX se e zee egg PG Cui amiamo.

Oss!: perché ordine parziale partizione ogni fa G dell'insieme b c0PG b ab hoc Abcdaa c l'insieme ordinato parzialmente è IL0 abe i si perché intersecano rami che instaurare di Emento nonono.

Definizione di struttura d’ordine totale

Struttura d’ordine totale è HEX relazione quando una J faxXI sono vf confrontabili e g è L'insieme si catena albero ad formato non a e equivale 0 dire OXE ay g g.

Oss!: Max, Min ed insiemi numerici d'ordine nella relazione totale Max J min identificare me posso anche 001 discreta 3 semiretta 0 002 µ 00 retta 11 O 002 retta catena delusa mi nz come I oh del tutto nome 112 decisa ul catena mi Cane completamente j ha.

Le strutture algebriche e le strutture d’ordine

G Quindi le abbiamo compatibili strutture che ora sono per visto.

Definizione di campo ordinato

Campo ordinato N è ordinato munito di Tel è Un una campo quando d'ordine totale tale ma V elemento 1 kE2 2 se Xe zEyez qualsiasi g y2 K ZzXx xzeg.EEE ll2 se neutro e 1 oagy.

Oss!: proprietà e corollario della definizione di campo ordinato S Etip IfVII 702 a come eye Th 70X x2 o27o x oin Dim un campo ordinato 270a Ex0 ox x ordinati I R usati solo noi campi da saranno e.

Proprietà: gli intervalli di R

Proprietà: gli intervalli di RI IR b elementi ab 00exeXEa sono R di penetrano cue I IR bbQ MaxXE a c dare ed di un Xc min alla catena un IRIb Rb ordinata aXE exeai di IRb bIa elemento aXE exe fe ao grande di l'insieme tutto p IRXEao aa elemento 00 piccolo I IR di tutto l'insieme aXEa 00 C IRIb b00 eXE IRC b bp eXEaoC 11200 00.

Proprietà legata alla struttura d’ordine: max, min, estremo inf e sup

Definizione di intervallo limitato

Intervallo limitato. Sia X RE IG limitato 1 X è IMER GEMFAXI superiormente quando Tonetti HEX ci limitato X2 quando inferiormente ne HEXERI limitato M è 7M due 3 X quando ne.

Definizione di massimi e minimi

Massimi e minimi. Sia X R e x CXE IN FAX 1 è di Max Xo Xo Ene quando V è X CXCXT.to 2 di min Xo quando ne x.

Oss!: l’unicità dei massimi/minimi di sia X massimi 7 ma LEXx2e e2 metri anni X2 a dunque x.

Definizione di maggiorante e minorante

Maggiorante e minorante. Sia X R e y C REl iJ di HeyHEX è X 1 quando ne y maggiorente è HEX di minoranze 2 ne y quando yx.

Oss!: maggioranti e massimi / minoranti e minimi J se I 0 prendiamo i Max 1 too maggioranti i ricorda l min 0 minoranti oao.

Definizione di estremo superiore ed inferiore

Estremo superiore ed inferiore. Sia X R e y C RE iM il di è L'estremo minimo 1 dei X esiste superiore se di maggiorenti di è il L'estremo dei X massimo 2 inferiore esiste se di X minorenni.

Oss!: estremi superiori e massimi / estremi inferiori e minimi J 1 l'eIRXE alletta coniucide Se Max esso al come sup l'e Se IR mine coincide XE2 elioduetta ing con in H.

Insiemi numerici: esempi

MNI 320,1M 1 venne NO Max superiormente Maggiorente 401 limitato si e mia inferiormente ing NO generale J Z 12 1210M mica Imax estremo NO limitato nessun X Q E1 I ee 0 1M Imax 1 se superiore estremo limitato se 0 min NO inferiore estremo Yoo 700 questo ma perché X Q Ct EE RXE O EX 0 E QImax NO estremo per me superiore limitato se.

Assioma: teorema di Dedekind o assioma di continuità/completezza di R

ÉdMIl dell'estremo la ing112 proprietà possiede sup campo R insieme Xl limitato X 0 ing Ogni sup possiede l'estremo ing o sup.

Teorema: caratterizzazione

A Esiste ordinato la unico che un possiede proprietà campo dell'estremo che sotto conviene carneinge campo e sup R Questo isomorfo è a campo di solo R C'è metodo estendere un i.

Dimostrare massimi, minimi ed estremi

Dimostrare Massimi, Minimi ed Estremi: È nnicia dimostra di XENG NENXe 4 esiio e Enuncia Inf 71L 1a I EBE1 4n infe WII già verificato dimostra E1 lepri inflate 0 quantità piccola e come positiva cambia Einfo che inf in1 87 73 Fa 1T E EE 3E Ele IIWE si allora è se 7 min 32 dura ma E allora NO se e Juice ce3 0E E 073 se UEE non se ace3 0Ec0E 3 Se ne accettabile se ma più comunque piccolo è 1 dice di Min 1 Dunque ENUNCIA HER4 XESup 4 o EEFrance x fa 470E0 U QV dimostra EE RIOC quantità 4 piccola e come positiva Svp 4 E esiste nessun XE un LEE fate valore E4 umano più 3g di piada Imax738 a Max4 no cane.

Polinomi

PG Azizdo da pentito do 9n Faux dican a REX è il di esistenza dove è una cosa campo R[x] e Le strutture algebriche: H.

Gruppo

Gruppo: K si REI PG Associatività P'G P1 G si Ox si El2 neutro f PG3 si El inciso PGP'G G xpP P si fa mutativa G Bellano A aRED NO o P'G P4Pl'G Associatività G si 1 1 si E2 neutro P G è 3 Non El inciso polinomio No in.

Teorema: esistenza delle radici

Radice di un polinomio: Una di radice IREE polinomio fix è numero in un rt Pro troie che ofer allora radice sia lefly adiao aux possibili Qratiamoli i nuovi di della its ser consonofix forma ed Mao Slae.

Potenze di binomi

B Un binomio eviti è fattori polinomio 2 con nonna tali di alone sappiamo già svolgere potenze xpg EEx yatagg 3 xd 3kg Xx 3xyrxg.rog cnn.I.dk In ry però generale g k k.

Binomio di Newton e triangolo di Tartaglia

N della Gli necessari allo strumenti potenza svolgimento binomio di 2 sano un di 1 Tartaglia triangolo 1 1 dei attento samacane Obsoleto 2 adiacentiumani e sopra 1 12i 1 da lati sono comparsi è il simetrico triangolo 1 133.

Binomio di Newton le proprietà volgano e Ìn.peE seguenti T.AT del visibili arenek ITL114 simetria EuE ef 1.

Oss!: binomio di Newton e sottoinsiemi fa b Ricorda d'ordine parziali struttura la cPG 0,9 b AbeC bedb.ae È einomio partizione 1 btcItcb aetab.be1 Abcse iaa 1 prendiamo LexPG fax se ex Gtxba e poniamo c13PG 2 3331 1E il di sottoinsiemi di è reanke Dengue numero di insieme elementi me n.

Sommatorie

M da addo aare ao Qatar ansama 193 1K OJ.

Oss!: il problema di Gauss 3 vale 1 Quanto 199 1002 1 kazoodi Kil colore è dunque quale HaReso Ksu 1 2 1 litu1a 1Su 2Ut itUtLSU CHICutiLux ftp.cnn accolte 1 u httuKdi Somma SuGauss 2E 1 somma geometrica u 94go.iq AER oque que canqle 0 u u 171kse 1 9k9 Ubio bion1 9494se 9k 94 1t9 9 99 q 19leo gun 9494 1T1 duque 1 919 9gquele 0 Inoltre 1 91 quasi ha 92 quq qgun 1 qui99 Mabbiamo 1 dunque quei99 in guqufu quaf 1qu 19 Dengue qa1 guguu qua19 ga 1 qKO.

Proprietà delle sommatorie

Proprietà: n Xiaoart Mba Linearità Xanerebu MaoKao le costanti ER Colori fissati raccolgo µ1 dota tan Ciao di 1 an1 1 µn n bkah µKao to n n indice K K Cambiamento di 1K KaoL.

Dimostrazioni per induzione

Dimostrazioni per induzione da le Pca naturale sia dipendente nemmeno na proposizione 1 velo neo in specifico caso induttiva l'Hp uso il successivo 2 diva Ueno 1 1 corox UN la volta per Pci3 Allora KUEN è vena.

Dimostra per induzione che 10 | 11 - 1n

Dimostra per induzione che 10 | 11 -1n è 1 se ok0110 10 0 Lone 2 Se 4 1 le ITh10111 111 1 Hp n 1 Dim 11 1 induttiva l'Np uso seu_11111 Hp10KTook11 1111 111011 111LO Ri INE10 KIK.

Diseguaglianza di Bernoulli

Dato Ita HEIN1 71 qualsiasi 1miin 07 Ok Ita 070 neo aab U n 11 fototh I 1 It4Ii Hp x 7 uhfax 7 Dim taxfax Giux171 Itafax 1Stx 7 thx auxfix Stx htt1T Cuti t induttiva l'hp uso 41 1mHz 1 141 1 70K n.

Dimostra che la sommatoria di 2 è uguale a 2 - 1

Dimostra che la sommatoria di 2 è uguale a 2 -1: nei1LLk O 2120 10 okneab htt Un nei1 1L LHp tuL L1 K0 ODinise se 22 1 induttiva uso limpK O 2 2 1 1L 221oziati È Infatti 12 tip Memento!: kcal 1K.

Numeri complessi

Numeri complessi: Essi di tv servono e sono ampiamente per ne giustificare di di soluzioni delle la alema equazioni mancanza minimo X20Nt 1 112 X 0 come 0 grado.

Teorema: radici complesse di un polinomio a coefficienti reali

HP Prendiamo bit l'aq.ae apicella atoe come e C ofaÌà bb discriminante detto X Aza za disER 2A 0 reali sol Xi 7 cane e2 reali E RDA 0 2 sol XcanXi X2 eR Ge Nenna sol DEO reale X X2.

Assumiamo Acodunque che Fa FI bCA Fi è il duque problema Laza Fai Questa il 1 ce è poniamo mae dunque il risolve il simbolo proprietà problema soddisfa una e Fa iIfa A IB A BENcondasa le Questo che soluzioni 2 dimostra 2 sono Zeedi numeri Cadi loro e fra e coniugati dopo.

Definizione di numero complesso

Def: numero complesso ateo 2S della esso è forma algebrica un numero Rilbeh RE E1 CEa estende duque come e visto Rfie essere poiché meno ne come può comp.