Lezioni e esercitazioni, Analisi numerica

Analisi Numerica

Metodi e procedure per risolvere problemi in forma numerica

• calcolo scientifico
• calcolo parallelo

-> ogni processore risolve una parte per la stessa procedura

La matematica, pura ed applicata, ha bisogno di metodi numerici per risolvere i problemi

Metodi per risolvere equazioni non lineari o approssimare funzioni

Burden Faires "Numerical Analysis" Thomson Brooks

Problema Reale ➔ Modello matematico ➔ ? ➔ Problema ben posto

Modello numerico

Algoritmo ➔ Schema risolutore del modello numerico ➔ Output ➔ Analisi risultati

A volte, i processi potrebbero non essere finiti ma essere iterativi avere de continuità dell'imput e convergere alla soluzione

Strumenti elaborazioni scientifiche

• Linguaggi di programmazione (es C++)
• Excel Equi
• Software scientifico (Equi) Matlab, Maple, Mathematica

Floating Point

Numeri in virgola mobile -> dobbiamo prima studiare Aritmetica di macchina

ANALISI NUMERICA

Metodi e procedure per risolvere problemi in forma numerica

• calcolo scientifico
• calcolo parallelo

-> ogni processore risolve una parte per la stessa procedura

• La matematica, pura ed applicata, ha bisogno di metodi numerici per risolvere i problemi
• Metodi per risolvere equazioni non lineari o approssimare funzioni

Burden Faires "Numerical Analysis" Thomson Brooks

Problema Reale -> Modello matematico -> ? -> Problema ben posto

intendenza che la soluzione è unica allora è ben posto

Modello numerico

Algoritmo -> Implementazione su computer -> [Output] -> Analisi Risultato

-> schema risoluzione del modello numerico

• A volte, i processi potrebbero non essere finiti ma essere iterativi ovvero che continuano all’infinito e convergono alla soluzione

strumenti elaborazioni scientifiche

• linguaggi di programmazione (es C++)
• excel (qui)
• software scientifico (qui) matlab, maple, mathematica

Floating Point

Numeri in virgola mobile -> dobbiamo prima studiare

Aritmetica di macchina

ESEMPIO Crescita della popolazione nel tempo t

N(t) la popolazione cresce con velocità proporzionale al suo numero con λ costante di proporzionalità

1. ¹/₁ ^dN(t)/_dt = λ N(t) N₀ = N(0)

Si tratta di un'equazione differenziale ordinaria La soluzione di ⁽¹⁾ è N(t)=N₀e^λt

Se introduciamo che oltre un aumento della popolazione causa immigrazione con velocità/anno costante ν

1. ^(1') diventa ¹/₁ dN(t)/dt = N(t) + ν

La soluzione di ^(1') ⇒ N(t) = N₀e^λt + ν/λ (e^λt - 1) N₀ = 1000000 ν = 435000 Alla fine dell'anno ha 1564000. Allora, quanto vale la velocità di crescita interna della popolazione?

N₀e^λ*1 + ν/λ (e^λ*1 +1) = 15640001000000 f(λ) = 0 λ ?

Equazione non lineare impossibile risolverla in modo esatto! → Dato passare dal modello matematico al modello numerico!

ARITMETICA di MACCHINA

viene anche chiamata in virgola mobile (floating point) x∈ℝ x = p·r^q dove r è la base (di solito 10), q è l'esponente, p è detta mantissa

0·C₁C₂... Si dice che la mantissa è normalizzata se C₁ ≠ 0

La mantissa di un numero reale x è normalizzata allora ¹/_r ≤ p < ¹/₁

x = 0,3478·10^-3 r= 10 q=-3 p=0,3478 (normalizzato)

x* = p* . r^q*

numero di macchina

schema di un numero di macchina

0 <= q* <= 2^s -1

q*

q

2^s-1 -1

0

2^s-1

2^s-1

2^s

la più piccola caratteristica che può essere mantissa m

la massima caratteristica che può essere mantissa M

esempio

s=3

2^s-1=7

q* e [0, 4, ..., 7]

q e [..., -3, -2, ...3, 4]

Questa corrispondenza tra q e q* è comoda perché almeno è intuitivamente utilizzabile

ARROTONDAMENTO

x=pr^q

x* = p* r^q*

se t= 1

forma di arrotondamento arrotondamento x taglio

Le cifre di p a destra della t-esima vengono trascurate

Es. r=10 t=4

p=0,45743 p*=0,4574

forma di arrotondamento rounding

si somma (1/2)r^-t e poi si esegue le chopping

Esempio

r=10 t=4

p=0,45748

1/2 r^-t = (1/2) 10^-4 = 5 10^-5

=> p^x = 0,45748 + 0,00005 = 0,45753

=> p* = 0,4575

Supponiamo p₁* e p₂* due mantisse successive

p₁* - p₂* = r * t

p₁* = 0,124

p₂* = 0,123

r = 10 t = 3

p₁* - p₂*