Analisi Matematica - Teoria

Analisi dei numeri

Insiemi numerici

Insiemi:

• ℕ Naturali (interi positivi)
• ℤ Relativi (interi positivi e negativi)
• ℚ Razionali (forma q = con p,q ∈ ℤ e q ≠ 0)
• ℝ Reali

OSS: √2 non è razionale (DM). Per assurdo, √2 ∈ ℚ ⇒ √2 = m/n ∈ ℕ tale che √2 = m/n. m,n sono primi tra loro (senza fattori comuni).

Guindoli → 2m² = mm o n pari → m = 2k con k ∈ ℕ. Si ha 2k² = (k)² → n² = 2k² ⇒ n (n è pari) → assurdo: m,n sono primi tra loro e risultano pari.

Operazioni definite in ℚ

1. Somma → Proprietà:
   • Commutativa: a+b = b+a
   • Associativa: (a+b)+c = a+(b+c)
   • Elemento neutro: 0 tale che a+0=a
   • ∃!(-a) ∈ ℚ tale che a+(-a)=0
2. Prodotto → Proprietà:
   • Commutativa: a·b = b·a
   • Associativa: (a·b)·c = a·(b·c)
   • Distributiva: (a+b)·c = a·c + b·c
   • Elemento neutro: 1 unità tale che a·1 = a
   • ∃!a^-1 tale che a·(a^-1)=1

Relazione d'ordine

= Relazione tra coppie di ℚ in cui valgono le proprietà:

• Riflessiva: a ≤ a ∀ a ∈ ℚ
• Antisimmetrica: se a ≤ b & b ≤ a → a=b
• Transitiva: a ≤ b & b ≤ c → a ≤ c
• Totale: o a ≤ b o b ≤ a

Se a ≤ b ∧ b ≤ a ⇔ a = b_{∀ a,b ∈ ℚ}

Se γ maggiorante ∀E (minore) X⊆E α⊆X. NB: per successioni_{X α>α} E = {x=maggiorante X⊆E minore di ☎. λα⊆|E|

Estremo superiore e inferiore

Estremo superiore (estremo inferiore) di un insieme limitato sup. (limitato inf.) minimo dei maggioranti (massimo dei minoranti). Per esse ∼∃ E∈E.

SUP = 1 (MAX. α∈E) INF = 0 (MIN. NEVER [.] E) estremi sup. ∼ inf. ℂ∈ℝ

Per ogni insieme ∈ Porgiterò l'ideato ξ limitato superiorum. CAMP. 3: insieme che soddisfa proprietà 1, 2 ∼ insieme dei reali. CAMPO ORDINATO soddisfa proprietà 1, 2, 3. ⊆ insieme in corrispondenza biunivoca (Φ(x) con λ)

Teorema: numerabilità

ℚ è numerabile / ℝ ∼ ℚ non è numerabile.

Principio di induzione

Dimostra la veridicità di infinite affermazioni fatte discretamente sino a proposizione p, affermative con un valore di verità V per ogni n ∈ ℕ.

Predicato p(n): proposizione dipendente dalla variabile n ∃ n ∈ ℕ

1. Considero p(n) dimostrando la validità ∀ n: 1° anno p(n)
2. Dimostro che ϑ vero propr(n)