Analisi Matematica - Teoria

ANALISI 1

NUMERI

Insiemi: ℕ NATURALI (interi pos.) ℤ RELATIVI (interi pos. e neg.) ℚ RAZIONALI (forma q di cui p,q ∈ ℤ e q ≠ 0) ℝ REALI

OSS: ℤ non è RAZIONALE

DIM per ASSURDO √2 ∉ ℚ ⇒ √2 = m/n ∈ ℤ. c.c. √2 = m/n

• m,n non sono primi tra loro (senza fattori comuni)
• 2 numeri 2m ⇒ m² = 2 ⇒ m PARI ⇒ m = 2k con k ∈ ℕ
• Allora 3n² = (2k)² ⇒ n² = 2k² = 2 (n² PARI) ➜ ASSURDO: m,n sono primi tra loro e risultano pari

Operazioni definite in ℚ:

1. SOMMA, proprietà:
   • • COMMUTATIVA a+b = b+a
   • • ASSOCIATIVA (a+b)+c = (b+c)
   • • elem. NEUTRO 0 t.c. a+0 = a
   • • (∃)el ϵ ℕ t.c. a+(-a) = 0
2. PRODOTTO, proprietà:
   • • COMMUTATIVA a•b = b•a
   • • ASSOCIATIVA (a•b)•c = a•(b•c)
   • • DISTRIBUTIVA (a+b)•c = a•c+b•c
   • • elem. NEUTRO 1 (unità t.c. a•1 = a
   • • (∃)el ϵ ℕ t.c. a•(a⁻¹) = 1
3. RELAZIONE D'ORDINE (relazione tra coppie di Ω in cui valgono le proprietà:
   • • RIFLESSIVA a ϵ Ω ∀a b a
   • • ANTISIMMETRICA se a ≤ b b = a ⇒ a = b
   • • TRANSITIVA a ≤ b b ≤ c ⇒ a ≤ c
   • • TOTALE a ≤ b a ≥ b
   • • se a ≤ b ⇔ a + t ≤ b + t
   • • se c > 0 ⇔ a • c ≤ b • c a ≤ b c ● b•c

ORDINATO

X=insieme quaunque X ϵ Ω C ⊆ X

• LIMITATO SUPERIORESTE (INFERIORE) se ∃ T ϵ X t.c. a ≤ x ∀ a ϵ E
• (se ∃ y ϵ X t.c. a ≥ y a ϵ E)
• MAGGIORENTI e MINORENTI X⊆X x ≥ x_0 (x ≤ x_0) x ϵ X N.B. NERelevant
• ESTREMO SUP. (ESTREMO INF.) di un insieme limitato sup (limitato inf) MINIMO dei MAGGIORE V [MASSIMO dei MINORANTI] Per esempio 3 1 h E = {x : x ϵ N MAGGIORENTI x ≥ 0
• _{E = (x ≤ n 0 MINORANTI x ≤ 0}

^{sup E = 1} (MAX a ϵ E) N.B 3 numeri e a in movimento

^{inf E = 0} (2 min a ϵ 0) e e estrema x sup = CR

4) ESTREMO SUPERIORE → ogni insieme E⊆X t.c. E ≠ ∅ e limitato superiorum ^{3) ammette estremo sup. E∊X}

• CAMPO: insieme che soddisfa proprietà 1,2,3 INSIEME dei REALI.
• (CAMPO ORDINATO soddisfa proprietà 1,2,3 INSIEME in corrispondenza biunivoca (∀u.1) con ℕ)

1cor: ℚ è NUMERABILE I⟩ℝ c ℚ ∉ NON è NUMERABILE

Principio di induzione

Dimostra la veridicità di infinite affermazioni fatte discorrere su un valore di verità.

Proposizione p(n): proprietà con un valore di verità p(n) vero per n ≥ n₀ Predicato p(n): proposizione dipendente dalla variabile n, n ≥ n₀

• Considero p(n) dimostrando la validità shn: n → ammetto che ∃ vero per pm(n) e p(n+1)

Esempio:

1+2+3+...+n = (n+1) n / 2

p(1) → 1 = (1+1) 1 / 2 vera p(n) Hp p(n) : 1 + 2 + 3 +... + n = (n+1) n / 2

p(2) = 1+2= (2+1) 2 / 2

p(n)+1 th p(n+1) th p(n+1): 1+2+3+...+n+1 = (n+1)(n+2)/2

NB: Parto dal passaggio utilizzato Hp → arrivo 2a metn th

1+2+3+...+n -1+n+1+n² = (n+1)(n+2) / 2= n³ - n²+2n+2 = (n+2)(n+1) / 2

Disuguaglianza di Bernoulli

(1+x)ⁿ = 1+n x n ∈ N, x > -1 Principio di distribuzione p(n): (1+x)ⁿ ≥ 1+n x (1+1)² Dimostrazione p(n): (1+x) (1+x) = 1+1x+1x+(x)*x # → (1+x)ⁿ⁺¹ > (1+n)(x)

Fattoriale

n! = n(n-1)! per def. 0!=1 canto le disposizioni possibili di n elementi

Coefficiente binomiale

C(n,k)= ⁿ C _k = n(k) proprietà: ^(n-1)_k = ^(k+n)_(k-1) con 0 ≤ k ≤ n oppure ^{(n) _k} = n(n-1)...(n-k+1) / k!

= ⁿC^n-k

Formula di Newton

(a+b)ⁿ = ^{∑_{k=0n (}n₎C_{(k) aⁿ⁻ᵏ bk})}

Dmn(a+b)^m(a+b)

= ^{(∑ _{k=0 n (n)/k}}) C^{(n)(n-k) an-1)}

DEF: _n → l oppure lim _n = l se ∀ε>0 ∃m ∈ ℕ t.c. |_n - l| ≤ ε ∀n ≥ m

2) _n = ∞ oppure (m _n = ∞) ↔ ∀m ∃m' ∈ ℕ t.c. _n ≥ M ∀n ≥ m'

3) _n → l ⁿ (cos n) _an ≤ ε

TEO: (UNICITÀ del LIMITE)

Limite se è unico: i se l₁, l₂ ∈ ℝ t.c. lim _n an = l₁, lim _n an = l₂

ax ≤ 0 f.t.c. | _an - l ₂ | ≤ ε ∀n ≥ m, |_an - l

modulo |l₂ - l₁| = |_an = _n = 0

TEO: (di MONOTONA)

Sia _an definita crescente monotona crescente

2) SUP = l_cp

TEO: (CALCOLO dei LIMITI)

Se _n = a ⁿ, ≡ esempio ⁿ

Corollario: 1) f(x) = 0, g(x) è continua, x→x₀, f(x)g(x)→0

2) f(x)→±∞, g(x) definita. ⇒ g(x)→0

Teor. Permanenza del Segno:

1) Se lim x→x₀ f(x) = l (l≠0) ⇒ f(x) > 0

2) Se lim x→x₀ f(x) = l ≥ 0 ⇒ f(x) > 0 definita.

Corollario: Se f(x) è continua in x₀ e f(x₀) > 0 ⇒ f(x) > 0 definita.

Teor. Algebra dei Limiti:

Se lim x→x₀ f(x) = l₁ e lim x→x₀ g(x) = l₂ con l₁, l₂ ∈ R

1) λ₁f(x) ± λ₂g(x) = x₁l₁ ± x₂l₂

2) f(x)·g(x) = l₁·l₂

3) g(x) x→x₀ ≠0

Corollario: Se f,g continue in x₀ ⇒ λ₁f(x) ± λ₂g(x), f(x)·g(x)

Teor. Continuità di fz Elementari:

Sono fz continue : ESPONENZIALI, POTENZE, LOGARITMI, sin x e cos x

Teor. Cambio di Variabile:

Definita f o g definitivamente: se lim x→x₀ g(x) = t₀, lim t→t₀ f(t) = l ∈R

Corollario: Continuità della fz Composta

Teor. Stima Asintotica:

f(x) ∼ g(x) ⇒ f(x) = g(x) + o(g(x)) per x→x₀

Se

f(x_o)=l^oo → x_o pto di CUSPIDE

f(x_o)=lim [f(x_o+h)-f(x_o)]/h = ±∞

Sia f:(a,b)→R k x_o∈(a,b) e fοz DERIVABILE in x_o

= f_ox^o e continua in x_o

f(x_o+h) - f(x_o)/h

lim h→0 [f(x_o+h) - f(x_o)]/h = f’(x_o)

ALRBRRA delle DERIVATIO

Siano f,g:(a,b)→R x_o∈(a,b) e f,g derivabili in x_o

(f±g)’ = f’±g’

(f•g)’ = f’g+g’f

(f/g)’ = [gf’-f’g]/g²

NB (kf)’=kf’ (k=cost)

1) RAPPORTI = [f(x_o+h)g(x_o+h)-f(x_o)g(x_o)]/h

DERIV.P.SCNT.

= [f(x_o+h)-f(x_o)]g(x_o)

2) RAPPORTO

A. (1/g)’= -1/g_o(g(x_o+h)-g(x_o))/h→0

= [1/h][1/g_o]

B. (f/g)’ = f’(x_o)1/g_of(x_o)[q’(x_o)]/g(x_o)

=f(x)_ob(y(x_o)

DERIVATE di FUNZIONI COMPOSITE

Sia f derivabile in x e f derivabile in y=g(x)

Studio di funzione

1) Dominio di f, simmetrie (pari o dispari) e intersezioni con gli assi

2) Limiti (destra e sinistra) alle frontiere del dom

3) Asintoto obliquo se f(x)

4) Calcolo f'(x) nei punti in cui esiste

5) Studio del segno f'(x) → monotonia, più di massimo e minimo

6) Calcolo f''(x) e studio il segno → concavità, convessità e più di flesso

NB tracciare il grafico gradualmente

Sviluppi di Taylor

Teor.: Formula di Taylor (con resto di Peano)

Sia f : derivabile n volte in x0 E Γ(a,b)

f(x) = Pn(x) + θ

DM

Per induzione:

Rn(x) = Pn+1 - f(x) =

Pn+1 = f(x) -

Polinomio di Mclaurin

1) n=2

f(x) = f(x0) + f'(x0)x + f''(x0)

lim = 0

per teor. Lagrange: f(x) = f(0) + f'(0)x ε(g,x(0))

Suppongo vera per induzione la formula di Taylor

f(n) - Pn(x) = Pn(x)

-> de L'Hopital:

lim

DM

f ε C

Derivate di ordine continuo i, x0 ε I

cerco Pin, P(n,x0) = f(x0)

Pin(x) = Σ