Analisi matematica - parte 4

Es (SV) (Kⁿ, +,. )

Es (SSV) → ∪ S₀(E) ⊂ Kⁿ dove (E) : a₁ x₁ + … + a_n x_n = 0

equazione omogenea

Dim

1. O ⁿ ∈ S₀(E) ⇔ a₁ o ₁ + ... + a_n o _n = 0
2. x = ( x1 xn), y = ( y1 yn ) ∈ S0(E) ⇒ x+y ∈ S0(E) perchè

(x₁ + y1 ^, x_i + y_i) ^, o (x_n + y_n) ∈ o₁(x₁+y₁) b… + a_n(x_n+ y_n)=

(a₁x₁ + ... + a_n x_n) + (a₁y₁ + ... + a_ny_n) = 0

lo perchè x ∈ S₀(E) e y ∈ S₀(E)

im giocono il vuote di 5te u

3. λ = ( x1 xn ) ∈ S0(E) , λ ∈ K λ x = ( λx1 λxn) ∈ S0(E)

perchè a₁λx₁ + ... + a_n λ x_n :

λ (a₁x₁ + ... + a_nx_n) = λ o = o

(lista esempi)

1. K[ν] = { p (x) = a_n xⁿ + ... + a₀, a_i ∈ K ∀i = o...n }sfsuk

K_N(x): { P ∈ K[x], Gr(p) ≤ N } , SSV di K[x])

dim Gr (Pλ + μQ): ≤ Gr(p) + GQ ( ∀ P, Q ∈ K[x])

λ, μ ∈ K [ ]

2. Mm,n(K) = { A = ( a11 a1n )...(an1 ann), aij ∈ K }

   O^m,n(K): ( ^0_... )^...(_{0 0}) (a_ij = o ∀ i,j )

MATRICE SIMMETRICA :

A = A^T

• Identità matriciale elementare

[A]_ij = [A]_ji ⇔

A = ( 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ) =( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )^T

A = ( 1 3 2 3 5 1 2 1 9 )

Simmetrica

ℑ_n(k) : { A ∈ M_n,n(k) : A^T = A }

MATRICE ANTI-SIMMETRICA :

A = -A^T ⇔ [A]_ij = -[A]_ji

A = ( 0 1 3 -1 0 2 -3 -2 0 )

ℑ_n(k) : { A ∈ M_n,n(k) : A^T = -A }

Lemma :

ℑ_n(k) sssr M_n(k)

dim

0.MAT è simmetrica → ∃ ℑ_n(k) → 0) αk

(i) A ∈ ℑ_n(k) ; λ ∈ k

`Vogliamo che λA ∈ ℑ_n(k) ⇔

→ (t(λA))_ij = (λA)_ij ∀i j

   ⇔ λ(A)_ij ↔

      vero perchè (A)_ij = (A)_ji

_ij A, B ∈ ℑ_n(k) ⇒ A+B ∈ ℑ_n(k)

{[A]_ij = [A]_ji

``=[(A+B)_ij = (A+B)_ij

1. = [A]_ji θ [B]_ji = (A)_ij + [B]_ij
2. = [A]_tΩij

= (A+B)_ji

Dim

∀ u,v ∈ ∅, ∀ α,β,μ ∈ k

ce0

∃ α,β: λu + μv ∈ ∅, perché

(e1,2,5r) ⟹ λu+μv ∈ ∅

d∅ ce2

Corollario: se

∑ a_ix_i + a_nx_n = 0

(s1) ∏ a_px_p + qxn = 0

⟹ S(s1°s) SST in kⁿ

Dim

Sol(s) = sol(E1) ∩ n Sol (E2R)

SSR GENERATI DA FAMIGLIE DI VETTORI

∅₃

• • (1 0)
  • (0 1)
• λ
• μ

Dim

• ∀ u,v ∈ E, ∀ a,b ∈ R au+bv ∈ E (*)
• u∈E = ∃ λ₁,μ₁ : u = λ₁
  • (1 0)
  • (0 1)
  + μ₁
  • (0 1)
  • (1 0)
• v∈E ⟹ ∃ λ₂,μ₂ v = λ₂
  • (0 1)
  • (1 0)
  + μ₂
  • (0 1)
  • (1 0)
• ⟹ au + bv = a
  • (λ₁(1 0) + μ₁(0 1))
  + b
  • (λ₂(0 1) + μ₂(0 1))
• = (aλ₁+bλ₂)
  • (0 1) + (aμ₁+bμ₂)(1 0)
  ∈ E

CONCLUSIONE INSERIRE

Def

(v₁,...,v_n) sci di k

v₁,...,v_n∈V, λ₁,...,λ_n ∈ k

⟹ λ₁v₁+...+λ_nv_n = 0 (k)

R³ = E ⊕ F

osservazione

E: { X \[ _x,_y \] (0 0 0) | x,y ∈ ℝ }

F: { Z (0 0 1) | z ∈ ℝ }

∀ ﹛a b c﹜ ∈ ℝ³

(S) ﹛x = ay = by + z = c﹜

ho soluzione ﹛(x,y,z)﹜ variable

→ MATR.SIS

(1 0 0 a)(0 1 0 b)(0 0 1 c)

→ ( 1 0 0 q )

→ ( 0 1 0 c-b )

→ ( 0 0 1 b )

il sistema di Cramer ha soluzione indipendente

da chi c’è qui

FORMA SCALINI RIDOTTA

= 1 ø sol (S) + ø

∇ scelta del termine noto

﹛a b c﹜

R³ = E ⊕ F

SCALINI RIDOTTA = 1

Vn

V₁ = ⁽¹⁾/_(-2), V₂ = ⁽⁵⁾/₍₆₎, V₃ = ⁽¹⁾/₍₁₎

x₁ + 5x₂ + x₃ = 02x₁ + 6x₂ + x₃ = 0

1 5 1 02 6 1 0

1 5 1 00 -4 -1 01 5 1 00 1/4 1/0

Var. dip. x₁, x₂, Var. libera x₃Soe(S) = {^x₃/4/_x3/4 x₃ ∈ R}

x₁ = -4, x₂ = -4, x₃ = 1 danno4 ⁽¹⁾/₍₂₎ + ⁽⁵⁾/₍₆₎ + ⁽¹⁾/₍₁₎ = ⁽⁰⁾/₍₀₎

Famiglie generatrici (W, +, ) sr(V₁, ..., V_n) c V generatrice se |V| = {V₁, ..., V_n} = V

V_n = ^(a)/_(b) giorno R²∀ x₁, x₂ R²: (x₁, x₂) - x₍₁₎ + y⁽⁰⁾

V₁ = ⁽⁰⁾/₍₁₎, V₂ = ⁽⁰⁾/₍₂₎, giorno k verificano

A₃ = {A ∈ M_3,3 | A = -A}oss. A ∈ A₃ = A = ⁽⁰⁾/₍₀₎ ^(a)/_(b) ^(c)*/_(*)-a b c -b c

proposizione: Vsr {u₁... u_n} genera V ⟹ p ≤ n

f (Vsr, Vp) lii. ind.

{u₁... u_n} generano ⟹ ∀r ≤ k ∃a_i^(k) : v_k = a_i^(k)u_i + ... + a_n^(k)u_n

A = | a_r^(r) a_p^(p) | se p ≤ n

       | a_n^(s) a_n^(p) |

⇓

⇅ non + righe ≥ h E.T.

⇨∃x_i x_p + (0, ... , 0) TC x_i | a_i⁽ⁱ⁾ | + ... + x_n | a_p^(p) | = 0

             | a_i⁽ⁱ⁾ |          | a_n^(p) |

⇨ x₁r₁ + ... + x_pr_p =

= x₁ (a_i⁽ⁱ⁾)u_i + ... + a_n⁽ⁱ⁾u_n) + ... + x_p (a_p^(p))u₁ + ... + a_n^(p)u_n)

- (a_i⁽ⁱ⁾)x₁ + ... + a_i^(p)x_p)u_i + ...+ 0.u_n = 0

⇨ f Vsr. Vp lii.in-d   ⟹  assurdo

candela â° è una questura telebb o...

TEOREMA

V sr d u₁n V≠h f ⟹ 1) p ≤ n (visto sopra)

(r Vp) lii.ind. f ⟹ 2) ∃ w, w=n-p

3) {u₁... u_n} generano V e lii. ind    {v₁... v_p w₁ ... w_n-p}

completano {v₁... v_p} ad una base di V

dim

usare la &cuprof; Vr, lrp liii.ind

r_p ∘ Vect (Vsr, r_p) &implies; &) Vr, lrp ⊆ liin.na

induzione su p

Vect (v₁... v_p) = sotto una base (generano)

Vr ∘ Vect &implies; ∀ w¯ ∈ V — Vect (v₁... v_p)