Analisi matematica (parte 4)

Dimostrazione del teorema

Dan oLa Dimostreremo avantipiùESEMPIO ElegiacheEliGià'st too 3mnESEMPIOline 2 con3ratto Traccoglierelo tin l'infinitogerarchico fortefareNON ma Tsnlive.FIII70 Dnnper Eaerarchiel gironesonononIo osuccuna pytende3 chela limitato1a PucciinfinitoEffeton Effe sa teoremapertendeche dimostrato tendeline 3h azig1atot oagglo saline htnato Tron nellaC'èFI oNon perG a gerarchiaIII paynotalimento per gerarchian AtroFNIEN.fi oftp.EIEsempioline ggologntlagenato nti ntilenti Ergerarcaeloguline fanto ALITIno FAIodeiD algebraper ClimatelimitiIIIIline 0.109Nn II 119himin n Eloperrare gerarchie ÈE si perèO EO O iah2 3n nPer delilprovarlo rapportocriteriousiamo VaSia EINIRsucc coninan anuna oline antilcheSupponiamo esista D to ann Opostobenlse dicequesto teorema nonnulla1se hanno duesi casiti141se anDa Iflatteselz anetoc tende ad altro valorenon poichémai un la tendefrattovolutoavrebbe sche adire141Dim eserciziosiaa Iè Ioha IISi altendeche

ilaQuindi cheper valedelpermanenza segnoIII definitivamentecoi ninda cui definitivamenteFat cipoiché an o definitivamentecananti Eè definitivamentedecrescenteanQuindi limanilesiste AtronEssendo definitivamentee decrescentean so dade IR confrontosegue teoremae 0Devo il adilche Assurdoprovare pero o o1 1allora 1 poicheAssurdoalaperd laQua limitideisotto succcomedi Dianallora i 0ESEMPIO ÈII oa 3it ÉIntel n EEl EEatl 13E 0ci EzezioIppolitoIIIIline anniè lei1 puòsinon2 applicare ilcriterio114 tis2nAÈ Utise u2mnin _ILE _È mai nLittlett E llim E EE D an toi inatohim tooInnDK line E Eetà2 nato unlive OLIO E nDNline FIMIIanato Enti YIII antian Efil El'tME èc 3nti IInatannbt 3h2 3h Itai 1natansitta Istat ta1EIBaldi2 IlTeorema Bolzano Weierstrass successioni dieCauchySia IRDef succinan diceansucc siunadi Cauchy seE Ine t.c.tnIN EamiIanamoTeorema Cauchydièselaniconverae1 anTEOREMA limitataèdise Cauchyan

aiutimaggiorela hasuccessione finito2 di picchinumerounil indiceKo strettamenteSia primodell'ultimopiù piccogrande ilèKo poiché numeropicconon unKoki laè finitodi neghiamopicchi def piccodiINK E eOro ki KoAhPoiché il limitatodi èpicchinumero nemmenoperciòèK un picco7K IN 9E KaAh KIeK2Procedendo si successioneunatrovaanalogamentedi indici ho K KaCC eKo picchi tenoniku sonoKi9k 9Kti abbiamo ditrovato successioneovvero una sottoT.can aka crescenteAnn strettamenteè picchiSe èil numero di si prende0Oss dellail indicepiccocome primo successioneDim Bolzano BWWeierstrassteoremaSia limitata alloraIRsuccessionean una in basuccessione convergenteunaesiste sottoPer è limitatasuccessioneUnaipotesi ovveroanFa IR KEINES5 QuEE QPer il dei picchiteoremaha akasuccessionean sotto monotonaunaIn tu IN5particolare ea carneMa ha limiteessendo aka monotonac supera se è crescenteakainf èl decrescenteaka se ann

In entrambi i casi, il teorema limite afferma che se una successione è convergente, allora è di Cauchy.

Dimostrazione: supponiamo che la successione sia limitata. Allora, per il teorema di Cauchy, esiste una sottosuccessione che converge. Quindi, esiste un elemento massimo nella successione. Prendiamo un elemento maggiore di tale massimo e consideriamo la differenza tra questo elemento e tutti gli elementi successivi. Poiché la successione è limitata, questa differenza è limitata. Quindi, per la proposizione di Cauchy, la successione è di Cauchy.

Teorema Criterio di Cauchy: una successione di numeri reali è di Cauchy se e solo se è convergente.

Dimostrazione: sia una successione di Cauchy. Allora, per definizione, per ogni numero positivo , esiste un numero naturale tale che per ogni e . Quindi, per ogni numero naturale , esiste un numero naturale tale che per ogni . Quindi, la successione è limitata. Quindi, per il teorema di Cauchy, la successione è convergente.