Analisi matematica I - parte 3

INTEGRALI

INTEGRALI INDEFINITI

Abbiamo certo f → f'

Problema inverso: calcolare F

Primitiva (o antiderivata)

Sia data una funzione

f: I → R

diciamo che F: I → R

è una primitiva (o antiderivata) di f se F' è derivabile e F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I

es.

f(x) = x ⇒ F(x) =

/

x

f(x) = sin 3x ⇒ F(x) = -

/

cos(3x)

f(x) =

/

⇒ F(x) = -

/x

F(x) = x ⇒ F'(x) = f(x) = 1

G(x) = x + 7 ⇒ G(x) = f(x) = 1

In general R(x) = x + cost. R'(x) = f(x)

Se F' è una primitiva di f

⇒ Fc è una primitiva di f

INTEGRALI

Integrali Indefiniti

Abbiamo certo f -> f'

Problema inverso: calcolare F

Primitiva (o antiderivata)

Sia data una funzione

f: I -> R _intervallo

diciamo che F: I -> R

è una primitiva (o antiderivata) di f se F' è derivabile e F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I

ex.

f(x) = x => F(x) = 1/2 x²

f(x) = sin 3x => F(x) = -1/3 cos(3x)

f(x) = 1/x² => F(x) = -1/x

F(x) = x => F'(x) = f(x) = 1

G(x) = x + 3 => G'(x) = f(x) = 1

In generale R(x) = x + cost. R'(x) = f(x)

Se F è una primitiva di f

=> F + c è una primitiva di f

Teorema: f: I → ℝ I intervallo

Se F₁ e F₂ sono primitive di f allora esiste c ∈ ℝ t.c. F₁(x) = F₂(x)+c   ∀ x ∈ IViceversa se F₁ è una primitiva di f e c ∈ ℝ allora   F₂(x) = F₁(x)+c   è una primitiva di f

dim.Sono   F₁, F₂   due primitive di   fProvo che   F₁(x) - F₂(x)   è costante...cioè...   f(x₀) - f(x₀) = 0...⇒ F₁ - F₂ = cost.

Sia data f: I → ℝL’insieme di tutte le primitive di f, si chiama integrale indefinito di f su I e si indica∫f(x)dxLa funzione f è detta integranda

∫f(x)dx =   {   F(x)+c : F(x)=f(x)   c ∈ ℝ   }

∫xⁿdx =   xⁿ⁺¹/_n+1 + c       n ≠ -1

∫(1/x)dx = ln|x| + c ⇒ I = ℝ - {0}D(ln|x|) = 1/|x|D(|x|) = 1/|x|sgn(x) = 1/x...segno(x) = 1   ‘x’>0-1   ‘x’<0

Metodi di integrazione

• Derivata di una somma = somma delle derivate
• (c·f(x))' = c f'(x)

∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx ∫c f(x) dx = c ∫f(x) dx   c ∈ ℝ

• Integrazione per parti

Nel calcolo differenziale abbiamo (f(x)·g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

vale la relazione ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

dim. Sia h(x) una primitiva di f'(x)g(x) ovver h(x) = ∫f'(x)g(x)dx ⇒ h(x) = f(x)g(x) Sia k(x) = f(x)g(x) - h(x)

La tesi diventa: mostrare che k(x) sia una primitiva di f(x)g'(x) = k'(x) = f(x)g'(x) k'(x) = d/dx [f(x)g(x) - h(x)] = [f(x)g(x)]' - h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) - f'(x)g(x) = f(x)g'(x)

es. ∫x cosxdx = x sinx - ∫1·sinx dx = x sinx + cosx + c = F(x) F(x) = sinx + x cosx - sinx + o = x cosx

∫ ln x dx = x ln x - ∫ x 1/x dx = x ln x - x + C

∫ e^x sin x dx = e^x sin x - ∫ e^x cos x dx = e^x sin x - e^x cos x + ∫ e^x (-sin x) dx

∫ e^x sin x dx = e^x (sin x - cos x) - ∫ e^x sin x dx

∫ e^x sin x dx = e^x (sin x - cos x)/2 + C

∫ e^x sin x dx = e^x sin x - ∫ e^x cos x dx = e^x sin x - e^x / 2

Tautologia

• Integrazione per sostituzione
• Sia G una primitiva di f in I, cioè G'(t) = f(t) ∀ t ∈ I
• Sia t = φ(x) dove φ(x) è definita in [a, b] tale che φ([a, b]) ⊆ I
• x φ⟼ t G G(t)
• [a, b] I ℝ
• G(φ(x)) = G'(φ(x)) ∙ φ'(x) = f(φ(x)) ∙ φ'(x) x ∈ [a, b]

dunque

G(t) è una primitiva di f(t) ⟺ G(φ(x)) è una primitiva di f(φ(x)) ∙ φ'(x)

ne segue la formula di integrazione per sostituzione

∫ f(t) dt = ∫ f(φ(x)) φ'(x) dx t = φ(x) dt = φ'(x) dx

ex.

1. ∫ _{ln x}/^x dx   φ(x) = ln x = t   φ'¹(x) = ₁/^x

   ∫ t · dt = ₁/² t² + c   = ₁/² (ln x)² + c

2. ∫ cos x sin x dx = ∫ sin x · D[sin x]²] dx   t = sin x   dt = cos x