Analisi matematica I - parte 3

Integrali

Integrali Indefiniti

Abbiamo certo F → F'

Problema inverso: calcolare F

Primitive (o antiderivate)

Sia data una funzione

f: I → R I intervallo

diciamo che F: I → R

è una primitiva (o antiderivata) di f se F' è derivabile e F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I

es.

• f(x) = x ⇒ F(x) = ½x²
• f(x) = sin 3x ⇒ F(x) = -⅓cos(3x)
• f(x) = 1/x² ⇒ F(x) = -1/x
• F(x) = x ⇒ F'(x) = f(x) = 1
• G(x) = x + 7 ⇒ G(x) = f(x) = 1

In general R(x) = x + cott. R'(x) = f(x)

Se F' è una primitiva di f

⇒ F + c è una primitiva di f

Teorema: f: I → R I intervallo

Se F₁ e F₂ sono primitive di f allora esiste c ∈ R t.c. F₁(x) = F₂(x) + c ∀ x ∈ IViceversa se F₁ è una primitiva di f e c ∈ R allora F₂(x) = F₁(x) + c è una primitiva di f

dim.Sono F₁, F₂ due primitive di fProviamo cheF₁(x) - F₂(x) è costante

cioè = 0 ⇒ F₁(x) - F₂(x) = f(x) - f(x) = 0⇒ F₁ - F₂ = cost

Sia data f: I → RL'insieme di tutte le primitive di f si chiama integrale indefinito di f. In I e si scrive

∫ f(x) dx La funzione f è detta integranda

∫ f(x) dx = [ F(x) + c : F'(x) = f(x) c ∈ R]

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / n+1 + c n ≠ -1

∫ 1/x dx = ln |x| + c ⇒ I = R - {0} D( ln |x| ) = 1/|x| D( ln [|x|] ) = 1/|x| segno (x) = 1/x

segno (x) =

• 1 x > 0
• -1 x < 0

se n<k

• Denominatore di I grado:

∫ ^c/_{ax + b} dx = ^c/_a ∫ ^a/_{ax + b} dx = ^c/_a ln | ax + b | + cost

∫ ²/_{3x + 5} dx = ²/₃ (ln | 3x + 5 |) + cost.

• Denominatore di II grado: ax² + bx + c

• A) due radici distinte
• B) denominatore quadrato perfet
• C) denominatore con n.: annulle no.

A) ∫ ^{x + 2}/_{(x - 2)(x + 3)} dx   ^{x + 2}/_{(x - 2)(x + 3)} = ^A/_{x - 2} + ^B/_{x + 3} = ^{A(x + 3) + B(x - 2)}/_{(x - 2)(x + 3)}

= ^{Ax + 3A + Bx - 2B}/_{(x - 2)(x + 3)}   { A + B = 1 3A - 2B = 2

=> A = 5/6 B = 1/6

∫ ⁴/₅ ¹/_{(x - 2)} dx + ∫ ¹/₅ ¹/_{(x + 3)} dx = ⁴/₅ ln | x - 2 | + ¹/₅ ln | x + 3 | + c

ex.

∫ ¹/_{x² - 4} dx = ∫ ¹/_{(x - 2)(x + 2)} dx

espressione   ^A/_{x + 2} + ^B/_{x - 2} = ^{Ax - 2A + Bx + 2B}/_{(x + 2)(x - 2)}

A⏎B⏎0   { A = - 1/4 B = 1/4

-¹/₄ ∫ ¹/_{x + 2} dx + ¹/₄ ∫ ¹/_{x - 2} dx = - ¹/₄ ln | x + 2 | + ¹/₄ ln | x - 2 |

Teorema fondamentale del calcolo integrale

f: [a; b] → ℝ continua f ≠ 0

∀ x ∈ [a; b]

I_a(x) = area della regione tra a e x

I_a(x) = ∫_a^x f(t) dt

I_a(b) = ∫_a^b f(t) dt

1. Teorema di Torricelli

I_a(x) è una primitiva di f cioè I_a(x) è derivabile e I'_a(x) = f(x) ∀ x ∈ [a; b]

dim.

calcolo il limite del rapporto incrementale I'_a(x) = lim_h→0 I_a(x+h) - I_a(x)

I_a(x+h) - I_a(x) = ∫_a^x+h f(t) dt - ∫_a^x f(t) dt = ∫_x^x+h f(t) dt

I_a(x+h) - I_a(x) / h = 1/h ∫_x^x+h f(t) dt = ∃ x₁ ∈ (x; x+h) t.c. 1/h ∫_x^x+h f(t) dt = f(x₁)

media integrale [x; x+h]

I_a(x+h) - I_a(x) = f(x₁)

calcoliamo il limite per h→0

lim_h→0 x₁ = x

f continua → lim_h→0 f(x₁) = f(x)

I'_a(x) = lim_h→0 I_a(x+h) - I_a(x) / h = lim_h→0 f(x₁)

I'_a(x) = f(x) x ∈ [a; b]

II tipo

f continua in _(a,b], illimitata verso ad a.

L'integrale improprio è definito da _{^b ∫a f(x)dx = lim f(x)dx}

Analogamente

_a^∫b f(x)dx = lim_a^∫b f(x)dx

ex.

₁∫⁰ dx/(√x) = lim₁∫^c x^-1/2dx = lim [2x^1/2]¹_c = lim [2 - 2√c] = 2 (L'integrale converge)

₀∫¹ dx/x = lim_c∫¹ dx/x = lim [lnx]¹_c = +∞

₀∫¹ lnx dx = lim_c∫¹ lnx dx = lim [x (lnx -1)]¹_c = lim [ -1 - clnc + c] = -1

Confroto Asintotico

f,g: [a,b) → ℝ f,g→0

f∼g per x→b.

allora f è integrabile (con integrale finito) ⟺ g è integrabile

ex.

₁∫^∞ dx/x^α 1/sinx = 1/2 x o

ex.

₂∫¹ (x-1)^-1/2 dx + ∫² x^-1/2 dx = +∞

₁∫² lnx (x-1)^-1/2 è convergente

Prodotto scalare

Sati: due vettori V e W il loro prodotto scalare (o interno), denotato V • W oppure <V, W>, è espresso dalla formula V • W = |V|•|W|cosα dove α è l’angolo formato da V e W (0 ≤ α ≤ π).

Osserviamo che V, W ∈ ℝ

Proprietà

• commutativa: U • V = V • U
• distributiva su (U+V) • W = U • W + V • W
• t ∈ ℝ (t • V) = t(V • W)

prodotto tra vettori

prodotto tra numeri reali

V • V = |V|•|V|•cos0 = |V|²

Osserviamo subito che V ⊥ W V • W = 0Il prodotto scalare da informazioni nella perpendicolarità

Proiezione:

V vettorer retta orientata

^r versore della retta r

|^r| = 1

V • ^r = |V| • |^r| •cosα = |V|•cosα = proiezione di V su r

(^reiezione) = (V-^r) ^r → verso della reiezione

modulo della reiezione

Il verso della reiezione di V su r dipende da α

Nel piano

^i = (1,0) ^j = (0,1)

^i • ^j = 0^i•^i = 1^j•^j = 1

Sati due vettori

V = (x₁, y₁) = x₁^i + y₁^jW = (x₂, y₂) = x₂^i + y₂^j

V • W = (x₁^i + y₁^j) • (x₂^i + y₂^j) = (x₁, y₁) • (x₂, y₂) = x₁x₂ + y₁y₂

V • W = x₁x₂ + y₁y₂

e)

P (₀, y₀, z₀)

V = P₀P₁ = (x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀)

W = P₀P₂ = (x₂ - x₀, y₂ - y₀, z₂ - z₀)

Poniamo n = V x W

L’equazione del piano: n . P₀ = 0

f)

Vengono date due rette

P = P₀ + tv

F = P₁ + tw

due rette incidenti

Casoro precedente f. P .(V x W)= 0

Paralleismo e Ortogonalità

Due piani sono paralleli se i loro vettori normali sono paralleli

cioè a₂x + b₂y + c₂z = d₁

i piani sono paralleli se

cioè re m sono linearmente dipendenti

Due piani sono ortogonali se i loro vettori normali sono ortogonali

cioè se: (a₂, b₂, c₂).

[a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0]