Analisi matematica-monomi polinomi

Monomi e Polinomi

Un monomio è un'espressione matematica costituita da un coefficiente numerico e una parte letterale in cui sono presenti soltanto operazioni di moltiplicazione.

Esempi: 3n² 5i³ 6n² 12n³ n² y⁵

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale.

Due monomi si dicono simili se hanno stessa parte letterale: 3n² e 5n² (diverso numero)

Polinomi

Un polinomio è un'espressione matematica data da somma di monomi.

Casi particolari: binomio (ossia somma di 2 monomi), trinomio (3 monomi).

Esempio: 2n² + 5n² + 6 = 1/2 a b² c

Polinomio di n^th b^th b² c in forma normale o ridotta quando non è presente monomi simili.

• 3n² + 2ny⁴ + 6y⁴ + 5 ny = (sono in forma ridotta)

Grado di un polinomio è il massimo dei gradi che lo compongono (grado 7).

• 3n² + 5ny⁴ y³ n³ 2ny² 7:

0 gradi 1 2 4 3 0 0

Definizione: i coefficienti del monomio di grado 0 di un polinomio.

R: aRb se a è madre di b

Monomi e polinomi

Un monomio è un'espressione matematica costituita da

un coefficiente numerico e una parte letterale in cui

sono presenti soltanto operazioni di moltiplicazione.

Esempi: 3n²; 5i³; 6n²; 12 n; x²; 3a; n²; y⁵

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti della

parte letterale.

Due monomi si dicono simili se hanno stessa parte

letterale => 3n² e 5n² (diverso numero)

Polinomi

Un polinomio è un'espressione matematica data da

somma di monomi.

Casi particolari: binomio (ossia somma di 2 monomi)

trinomi (3 monomi)

2n² + 5n - 6 - 1/2 a b²

Polinomio 3n³ble

in forma normale o ridotta quando non rappresenta

monomi simili.

• 3n² + 2ny⁴ + 6y⁴ + 5ny = (sono in forma ridotta)
• 3n² + 6y; 3ny

Grado di un polinomio è il massimo dei gradi che lo

compongono (grado 7)

3n²; 5ny; y⁴; 3m; 2ny²; 7; y⁰ = y⁰

• gradi 2 4 1 2 0

Definizione: il coefficiente del monomio di grado o il un polinomio

Scritto in forma didascal si chiama termine noto

OPERAZIONI TRA POLINOMI

SOMMA DI MONOMI - Dati: 2 monomi uguali da: 5n3p2, 7n3p2

Somma di un monomio con la stessa parte letterale e come coefficiente numerico la somma dei 2 coefficienti: 3n2y2 + 7n2y2 = 10n2y2 7n2y2 - 2n2y2 = 8n2y2

PRODOTTO TRA MONOMI - Un monomio che ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti e il prodotto dei numeri: 2n3y2 . 7n3y2 = 2.1 n3p3y2 ¹/⁰

PRODOTTO TRA POLINOMI - Si distribuisce il prodotto rispetto alla somma (3n2y2 + 7n2y2) (6ab2 - 3cab2 + 1) = 18n2y2ab + 21n3y2ab + 12cab2 - 6ab + 2

Divisione tra polinomi

DIVISIONE TRA MONOMI:

Un monomio è divisibile per un altro monomio se per variabile del divisore ha esponente maggiore o uguale con la stessa variabile compare nel dividendo:

3n2y2 / 3n = 3n

3n2y2 / n3y2 = NO.

DIVISIONE TRA UN POLINOMIO E UN MONOMIO - Un polinomio è divisibile per un monomio quando ciascuno dei monomi che compaiono nel divisore sono divisibili per il divisore (9n2y2 - 6ny ) : 3y ²/y = 2n2y - 2ny

(PROPRIETA DISTRIBUTIVA)

9/12

3n²y⁴ ÷ 3

3 3

2n³y⁵

Divisone tra polinomi:

P(n) = 2n³ + 8n¹ + 5

q(n) = n² - 3n - 2

2n³ + 8n¹ + 5

n² + 6n + 1

5

q²/4

P(m) = q³/n + 3

q(m) = n² + 3

n⁴ - 3

n² - 1

(p_n) = n³ - 1 = (n - 1)(n² + n + 1) (m² - 1)

n³ - a³ = (n - a) (n² + an + a²) = (n - a)(n² + an + a²)

a² - b² = (a - b)(a + b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

-3a²b + 3ab² = - ...

Scomposizione di polinomi in fattori.

P(m) valutato in a si indica con P(a)

Se P(a) = 0 allora a è detta radice oppure zero del polinomio.

Teorema del resto

Dato un polinomio P(n) e un numero a, il resto della divisione di P(n) per n - a è P(a).

P(n) = Q(n)(n - a) + P(a)

Se P(a) = 0 => P(n) = Q(n)(n - a)

P(a) = 0

Esempio

P(n) = n²-1

n² - 1 = Q(n)(n - 1)

n² - 1n - 1

P(n) = Q(n) (n - a)

n + 0

Q(n)

Esempio

P(n) = n⁶ (n - 1)

n⁶ 0 0 s³ 0 0 0 n⁴ + n

P(n) = Q(n)(n-1)

n⁶ + n⁵ + 4n³ + n² + 4n

P(a) = 0 ->

n - 1

φ(n) polinomio a coefficenti interi

Se a è una radice di φ(n) allora b è un divisore

dei coefficienti di grado max

a è un divisore del termine noto.

φ(n) = 3n³ - 4n² + 5n + 2

divisor di 3 = ±1, ±3

divisor di 2 = ±1, ±2

radici di φ(n) = ±1/3, ±2, ±2/3, ±1

φ(2/3) = 8/27 · 8 = 16/9 · 5 = 10/3 · 2 = 56/9 (8/9 = 56/9)

(10/3 - ...)

- 8/9 - 10/9 · 2 = -φ(n) ... - 16/3 · 16/3 = 0

φ(n) = n² - 3 = (n + √3)(n - √3)

1°: φ(√3) = 0 => φ(n) = q(n) · (n - √3)

2°: φ(√3) = 0 => (n) = n · (n + √3)

φ(n) = (n - √3)(n - √3)

φ(n) = an² b n + e = φ(n - n₁) · (n - n₂)

φ(n) = 0

n_1,2 = -5 ± √5/2a

Δ = b² - 4ac

Δ = b² - 4ac ≥ 0

(casa - φ(n) = n² + 1 = 0

n₂ = 0 ± √0 - 4(1)(1) = ±√ -4/2

Δ = -u ◅0

Non ci sono radici reali.

2 ° n²(8n + 4) = 0 n√3 = 4 ± √8/2 = √8 · 2.

n² - 6n + 2 = (n - 3 ± √7)

1° n,1,2 = n₁ - 6 ± √16

Δ = b² - 4ac = 36 - 8 = 28

n² - 6n + 2 = ............ - 2(1) + 2 = 3 + √7

(m)

e(m)=m⁵-3m+2=0

e(1)=1⁵-3*1+2=0

R.ac => 1a radice

m⁵ 0 0 -3m +2

-m⁴ + m³ + n² - n +2

m⁵

m⁵ 0 0 -3m +2

1

-m⁴

+3m +2

°°°°°°

-3m +2

∑

(h) e(m)= m⁴-m³+n² -n+2

(m-1)

q(m)= m⁴-3m+2

e(1)=1 + 1 + 1 + 1 - 3

(-1)

e(-1)=1/1/1/1-2

Disegno P(n) per scomporre un fattori primi

1) Cerca tra i radici raivoli

Se no

2) Cerca le radici dei polinomi

Se non le conosci -> non posso scomporre in fattori

Se ci sono radici cadi allora

Data a P(n) => q(n) = (n-a) q(n) dove ngrado di q(n) è w/ al grado p(n)-1

3) L'alger per q(m) fino a piando poside

Esempio:

an² + bn + c = 0

Scomporre in fattori è polinomio di secondo grado

p(n) = an² + bn + c = a(n² + b/a n + c/a)

(1) Izzo de cada ali: n² + b/an + c/a = 0

Δ = (b/a)²/4 ≥ 0

n_1,2 = -b/2a ± √(...)a/b =

(2) P(n) = a(n-n₁)(n-n₂)

Escolpio: p(m) = 3n² + 2n + 5

p(m) = 3(n² + 2/3n + 5/3)

n² - 2/3 n + 5/3 = 0

Δ = (2/3)² - 2(5/8) = 64/9 - 120/3 64 - 60/9

n_1,2 = 5/3 ± √((2/3)²) / 2 = 1/2

- 8/3 ± 2/3 7 (1/2 - 10/3 - 5/3

1/2 6/3 1

p(n) = 3(n - 5/3)(n - 1)