Analisi matematica - il differenziale di una funzione di due o piu variabili

Il differenziale di una funzione di due o più variabili

Siamo nel piano tridimensionale, dove oltre alle ormai classiche funzioni nelle variabili x e y, viene ad aggiungersi una terza, la variabile di quota z. In questo contesto vengono usate come variabili indipendenti la x e la y e come variabile dipendente, cioè come risultato di una funzione di due variabili, la z.

Graficamente vedremo l’insieme dei valori che la variabile z assume a seconda dei vari punti nella quale è definita, come un grafico della funzione nello spazio della terna di assi cartesiani x, y e z; questo grafico lo chiameremo S.

Funzione di due variabili

Possiamo vedere una funzione di due variabili come f: A → B dove A (dominio) è la proiezione di S sul piano e B (codominio) è la proiezione di S sull’asse Z.

Calcolo del limite

Il calcolo del limite per una funzione di due variabili è molto simile al caso monodimensionale, fatta eccezione per i limiti iterati. Infatti, se volgiamo calcolare un limite bidimensionale per x e y che tendono a dei dati x e y, possiamo farlo direttamente facendo tendere ai valori dati le due variabili contemporaneamente, oppure possiamo iterare i due limiti, cioè quello per x e poi quello per y in sequenza alla funzione studiata. Si noti che i limiti iterati sono due e differiscono solo per l’ordine di successione dei limiti in x e y.

Una prima condizione di continuità della funzione ci viene appunto dal calcolo del limite. Infatti, se il calcolo dei due limiti iterati (nelle due successioni di esecuzione diverse) danno lo stesso risultato, allora possiamo affermare che il limite bidimensionale generale esiste ed è uguale a quello dei limiti iterati.

Derivazione e calcolo del differenziale

Dopo questa breve introduzione, passiamo ora alla derivazione e al calcolo del differenziale in due variabili. Diamo la descrizione dell'operatore di derivazione in due variabili che ci servirà per definire il differenziale.

La derivazione in due dimensioni è una generalizzazione dell’operazione di derivazione nel caso monodimensionale, solo che nel nostro caso avremo due funzioni derivate, a seconda che si derivi la variabile x o la variabile y. Per fare questo, mascheriamo la variabile che non deriviamo nella funzione come un parametro, e quindi deriviamo la funzione. Il significato dell’operatore di derivazione inteso come limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell’incremento h non cambia, è solo che viene calcolato distintamente per ogni variabile indipendente.

Come risultato della derivazione di una funzione di due variabili avremo quindi 2 derivate, cioè una derivata parziale in x, e una derivata parziale in y. Il vettore che ha come componenti le derivate prime di una funzione in 2 variabili come funzione dei vettori...