Analisi matematica II - lezione 4

Appunti di analisi matematica II

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta e Marco Codegone

Prodotto scalare e piani

(a ∧ b).(x, y, z) = 0

Facendo tale prodotto scalare e ottenendo quei valori per cui z = 0, ottengo sostanzialmente il piano ortogonale a_z. È il piano su cui giacciono i vettori a e b.

Se andiamo a scrivere:

(a, b).(x, y, z) = c (Costante ≠ 0)

Otteniamo un piano // al precedente che si trova in una posizione non passante per l'origine.

Se ora scrivessimo:

(a, b).(x-x₀, y-y₀, z-z₀) = 0

È chiaramente la nuova equazione di un piano, il quale passa per il punto (x₀, y₀, z₀). È un piano // al precedente e che passa per il punto (x₀, y₀, z₀).

Equazioni parametriche e cartesiane

L'equazione a termine diventa l'equazione di un piano che non è più in forma parametrica, ma in espressione cartesiana, un'equazione che a volte viene anche definita implicita.

Come se stessi interpretando equazioni del tipo esplicito di una superficie in una forma parametrica, significhiamo di dire:

z = f(x, y)

Nell'esempio precedente se noi scriviamo:

(a ∧ b) = n̂ (n₁, n₂, n₃) componenti della normale n̂.

Quell'espressione diventa:

n₁(x-x₀) + n₂ (y-y₀) + n₃ (z-z₀) = 0

È un'osservazione semplice allora ricavare z:

z = ... poiché chiaramente n₃ ≠ 0

Ricavare z significa avere un'eq esplicita del piano.

Tali rappresentazioni dei piani possono essere definite anche in forma parametrica, si possono cioè scoprire come parametri le variabili. Partiamo da:

z = \sqrt{x² + y²} = f(x, y) = ||x||

Gradiente e derivata direzionale

Se noi andiamo a cercare il gradiente di f, questo è sempre da andare a vedere:

∇f = \left( \frac{x}{\sqrt{x² + y²}}, \frac{y}{\sqrt{x² + y²}} \right) = \left( \frac{x}{||x||}, \frac{y}{||x||} \right)

Detto x_0 = (x_0, y_0).

Noi ora vogliamo andare a misurare la pendenza in altre direzioni, dobbiamo allora introdurre la derivata direzionale lungo il vettore \vec{v} nel punto x_0.

Derivata direzionale

Cosa vuol dire fare questa derivata lungo la direzione? Vuol dire chiaramente muoversi lungo quella direzione. La derivata direzionale è quello strumento che ci permette di calcolare la pendenza lungo una direzione individuata da un vettore sulla nostra φ topografica.

Definiamo la derivata direzionale:

\frac{∂f}{∂v}(x_0) = \lim_{{t \to 0}} \frac{f(\overline{x}_0 + t \cdot \vec{v}) - f(x_0)}{t}

t: è un parametro.

Notiamo che:

\overline{x}_0 \in \mathbb{R}^L e \vec{v} ∈ \mathbb{R}^2

Noi qui praticamente abbiamo la nostra superficie topografica e abbiamo un punto su questa φ topografica. Tale punto lo proiettiamo nel piano. Se deriviamo lungo x, ovvero la derivata parziale rispetto ad x, mentre, se deriviamo rispetto ad y, ovveriamo la derivata parziale lungo y ora invece deriviamo rispetto ad un vettore r qualunque;

È facile notare che se noi consideriamo i versi e₁ = (1,0) e e₂ = (0,1), la derivata:

• ∂f/∂e₁ = ∂f/∂x
• ∂f/∂e₂ = ∂f/∂y

Quindi la derivata direzionale è una generalizzazione della derivata parziale lungo una qualunque direzione. Chiaramente abbiamo la derivata differenziale se è il punto, definito nella pagina precedente.

Facciamo ora un’osservazione importante da fare: La derivabilità di f non implica continuità in più variabili. Vediamo un esempio:

Immaginiamo di inserire nel piano xy delle zone in cui la funzione ha un valore + che in nelle altre zone, per esempio potrebbero essere due valori costanti. Nell’ipaline e nella zona che io non ho tratteggiato la mia funziona per es: vale 1, e invece che ce l’ho tratteggiato vale 0.

Quando io faccio le derivate parziali mi viene 0, ma la funzione qui è discontinua, perché nel intorno dell’origine abbiamo sia delle variazioni in cui la funzione vale sia 0 che 1. Quindi, quando io derivato è costante è vale 0. Quindi la presenza delle derivate parziali non mi garantisce la continuità.

Se io cercassi di mettere in piano tg su una funzione che ha questi buchi, dove vale 0 altra una parte e 1 dall’altra, non lo trovate e quindi questo dimostra che non si possa tg.

Come posso essere sicuro che la mia sia in piano tg? Bisogna avere allora le funzione differenziabile, e ciò significa che abbiamo introdotto il concetto di differenziale.

Differenziale

Immaginiamo di prendere un punto X₀ e dominio di f, e f sia oltre che differenziabile in x₀. Se il gradiente di f, e oltre che il proprietà di f significa imparare che f sia derivabile, perché ∃ le 2 derivate parziali. E se f(x̄) = f(x̄₀) + ∇f(x̄₀) (x̄ - x̄₀) + o (|| x̄ - x̄₀ ||).(x̄ → x̄₀)

Prodotto scalare

Cerchiamo di capire bene cosa vuol dire questa differenza blu. Cosa descrivono i primi due addendi. Descrivono l'equazione di un piano; mi serve f₁; ma se prendo quelle somme f attieniamo un piano.

Quindi:

z = f(x̄₀) + ∇f(x̄₀) (x̄ - x̄₀) è un piano

Se lo guardiamo bene è un piano su cui giacciono le z tangenti al punto x̄₀ e f(x̄₀), quindi se il piano tangente. Vuol dire che deve ∃ un gradiente e la mia funzione f sia derivabile in questo modo vuol dire che la mia funzione è ben approssimata dalla funzione. E se è ben approssimata dal piano vuol dire che quello è il piano tangente. Tale piano ha proprio come parametri che lo descrivano sono i valori delle funzioni e pendenze.

Si dice che è differenziabile se f(x̄) è ben approssimato dal suo piano tangente e vuol dire che ∃ il piano tangente e l’equazione del piano tg è esattamente quello che noi abbiamo scritto al grafico di z = f(x, y) nel punto x̄₀.

Osservazioni

Si chiama in verità differenziale: f_x̄0 (Δx̄) = ∇f(x̄₀)Δx

dove Δx̄ è l’incremento pari a x̄ - x̄₀. Questa è la definizione vera e propria del differenziale; colè un'applicazione lineare nella variabile Δx vicino fi n x̄₀.

Dal nato permotico il differenziale disunone il piano che pone per il'origine dell'css" il piano tg al grafico di z = f(x, y).

Teoremi fondamentali

1. Se f è differenziabile in x₀ allora f è continua in x₀ (chiaramente non vale il viceversa). In una variabile se la funzione è derivabile è anche continua; in 2 o più variabile la derivabilità parziale non basta per la continuità; invece la differenziabilità sì. Dal punto di vista geometrico la differenziabilità è quella che coincide con l'estremo del piano tangente.
2. Teorema che mi permette, mediante uno strumento, di capire se la funzione è differenziabile. Se f ha derivate parziali continue (quindi è derivabile), in un intorno del x₀ (x+x₀), allora dice che la nostra funzione f è di classe C¹ nell'intorno di x₀, quindi f è differenziabile.

Se f è differenziabile in x₀ allora ammette derivate direzionali lungo qualunque vettore v diverso da 0, e si ha che:

1. ∂f/∂∇v (x₀) = ∇f (x₀) • (∇v)

Le differenziabilità vuol dire che c'è un piano tg, è f e le 2 derivate parziali (nel caso di funzione 2 variabili), mi permettono di ottenere 2 vettori linearmente indipendenti che stanno sul piano tg è chiaro che la pendenza in ogni altra direzione la troviamo mediante una qualche combinazione di quei 2 vettori ottenuti con le derivate parziali...

Prendiamo sostanzialmente una conseguenza del risultato precedente. Consideriamo un vettore v che abbia norma 1 cioè supponiamo che |v| = 1. Facciamo tutto ciò perché se io ora voglio confrontare le pendenze, le pendenze saranno > laddove le derivate sono >, mentre, saranno

Derivata direzionale e prodotto scalare

1. ∂f/∂v (x₀) = ∇f • v = ^* log dopo

6. Di tale espressione noi possiamo ora benissimo chiederci ma che cosa vuol dire un prodotto scalare? Ricordiamo che il prodotto

lo scalare è il prodotto delle norme per il coseno dell’angolo compreso tra i 2 vettori. Quindi ora possiamo scrivere che quel prodotto scalare è:

• 1) |∆f|·|x̅|·cosθ

Chiaramente io ho un angolo perché i 2 vettori sono applicati allo stesso punto.

Dato che |x̅|=1 non abbiamo che la derivata direzionale è: |∆f|·cosθ

Chiediamoci ora quando riesco a trovare la direzione di max. pendenza? Ricordiamo che -1≤cosθ≤1, allora la derivata direzionale è max quando il cosθ=1 =>θ=0°. Che cosa vuol dire questo? Se noi andassimo a cercare la norma del vettore: 0·-|∆f|·|≤ ∂f/∂γ ≤|∆f|

Chiaramente calcolati nel punto xo che io non ho scritto. È un numero essendo il risultato di un prodotto scalare. Dire quello che ho scritto in (1) mi dice che la direzione di max pendenza è quella che l’ho già usato ⟸ cioè la direzione del gradiente è la direzione di max. pendenza, e il verso è anche quello di max. crescita; mentre il segno indica chiaramente la direzione di max decrescita.

Curve di livello

Vediamo ora un grafico in cui sono presenti anche le curve di livello:

Queste curve di livello sono le f(x, y) = C.

Quello che si vede in questa figura, ma che poi costruire in più punti. Noi possiamo allora dire che:

• (∂²f/∂x²) (x₀)
• (∂²f/∂x∂y) (x₀)
• (∂²f/∂x∂y) (x₀)
• (∂²f/∂y²) (x₀)= Hf (x₀)

Per il th di Schwarz scrivere prima ∂x∂y o ∂y∂x è la stessa identica cosa.

In questi 4 punti ottengo dei valori ben precisi e cosa posso dire? Potrei andare a analizzare e cercare quelli che sono gli autovalori, quando li troviamo questi autovalori sono reali, e quindi li possiamo ordinare: λ₁ ≤ λ₂. Se sono autovalori distinti non c'è nessun dubbio che a ciascuno di essi, corrisponda un autovettore. Se tre autovalori sono coincidenti abbiamo peranti cmq 2 autovettori linearmente indipendenti, quindi la matrice è diagonalizzabile.

Posso dire allora che:

• → a λ₁ corrisponde l'autovettore u₁
• → a λ₂ corrisponde l’autovettore u₂

Noi possiamo partire dalla matrice Hessiana, sfruttiamo ora per semplicità che la matrice Hessiana la calcoliamo in un certo punto x₀ e venga fuori una cosa del genere:

Hf(x₀) = [c, b][b, c]

Quello che possiamo fare nel punto x₀ è andare a costruire la forma quadratica nel seguente modo; cioè possiamo prendere:

(x₀, y₀) + Hf(x₀) [x₀][y₀]

e questo ci dà:

(x₀, y₀)•[c x + c y][cx₀ + by₀]• c x₀² + 2c x₀ y₀ + b y₀² =

Che può essere anche scritto per matrici nel seguente modo:

[c b] [x₀] [b c] [y₀]

(viene fuori lo stesso risultato).

Cosa mi dà ora questa forma quadratica c x₀² + 2c x₀ y₀ + b y₀²? Se io prendo z = a quella forma quadratica, che tipo di espressione è? Scritto così c'è da un po’ fastidio il termine 2c x₀ y₀, ma ci anche usare più assi coordinati x, y prendo come assi coorUniti gli autovettori che sono linearmente indipendenti, faccio un cambio di base, si diagonalizza la matrice Hf.

Autovalori e forma quadratica

Aci vale anche per matrici simmetriche (n x n). Tale processo di diagonalizzazione significa usare come assi coordinati quelli individuati dagli autovettori. Ora diventa molto semplice interpretare quella forma quadratica e io prendo:

Allora questo è molto facile interpretare che cos'era = λ₁ x₀² + λ₁ y₀² è facile perché se i 2 autovalori sono entrambi strettamente positivi: 0 < λ₁ < λ₂, questo è esattamente un paraboloide ellittico, la figura di questo elemento geometrico è quella di seguito riportata:

Se supponiamo invece che λ₁ ≤ λ₁ < 0 || abbiamo di nuovo un paraboloide con però la concavità verso il basso:

Un'altra situazione interessante è quella di avere λ₁ < 0 < λ₂ i 2 autovalori hanno segno discordo, ciò ci dice che siamo in presenza di un paraboloide iperbolico: L'origine è diventato il punto di sella.

Facciamo una precisazione: la forma quadratica la risolviamo molti pianario per:

z = (x-x₀, y-y₀, z-z₀) cioè c'è una traslazione nel punto (x₀, y₀)

Max e min di una funzione

Dunque avrà:

z-_{(x-x0, y-y0, z-z0)} Hf(x₀)

Formule che abbiamo scritto in 3 variabili; se vogliamo la forma in 2 variabili basta togliere la coordinata z:

z = (x-x₀, y-y₀)

Questo diventerà fondamentale nella ricerca dei max e min di una funzione.

Formula di Taylor

Vediamo ora come si può arrivare alla formula di Taylor in + variabili.

Formula di Taylor per funzioni di più variabili

La formula di Taylor è quella formula che mi permette un'approssimazione del valore delle mia funzione. Al primo ordine la formula di Taylor diventa che:

f(x) = f(x₀) + (x - x₀)

Al primo ordine si ha l'approssimazione con il piano tg. Al secondo ordine allora la nostra funzione f(x) a cosa diventa la uguale sarà uguale a:

f(x) - f(x₀)

Notazione verticale perché faccia r. per x colonna

Notazione di secondo ordine che però ha bisogno che f &ϵ;Sione estremamente interessante per noi perché Importanti

Prima di tutto ma alcuni che x_o è un punto critico di f(x)

Se il gradiente di f nel punto x_o è