Analisi matematica II - lezione 4

POLITECNICO di TORINO

APPUNTI ANALISI MATEMATICA II

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora MagnottaMarco Codegone

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2

Lezione 02: Riprendiamo dalla lezione precedente.

Richiami Superfici in ℝ³

Per rappresentare le superfici in ℝ³ noi dobbiamo avere una regione ℝ inclusa in ℝ², quindi una regione piana, e una superficie descritta da una funzione vettoriale Ϭ che prende dei punti della regione ℝ e valori in ℝ³; è chiaramente una funzione continua. Si dice superficie questa funzione Ϭ: R⊆ℝ²↦Ϭ(R)⊆ℝ³; si indica con la lettera σ grande quella che è l’immagine di σ piccolo:

Ŷ = Ϭ(R)⊆ℝ³

Questo conferma come terminologia in modo analogo a quel lo che avevamo per le curve, il sostegno delle superfici. Si usa anche dire che questa è la definizione parametrica della superficie. Se uno volesse il grafico completo della funzione Ϭ dovremmo andare nelle 5 dimensionali.

Noi chiamiamo calotta se la regione R⊆ℝ² che è la regione delle variabili di Ϭ, è compatta, questo vuol dire che è chiusa e limitata.

Vogliamo un esempio: immaginiamo di avere due vettori, ĝ e ẑ di ℝ³

Se noi facciamo il prodotto vettoriale tra ĝ e ẑ otteniamo un vettore che possiamo chiamare Ṙ, che è un vettore ortogonale al piano su cui giacciono 2 vettori. Chiaramente i vettori ottenuti sono linearmente indipendenti.

ĝ ∧ ẑ = Ṙ

Se noi andiamo a cercare tutti i punti (x,y,z) con questa caratteristica, allora scriviamo:

Se mettiamo θ=0 la seconda componente =0, il cosθ=1 e

troviamo esattamente la curva, quando la 2^a componente è 0:

lo abbiamo il nostro arco.

Ora ci mettiamo a fare le derivate.

"CALCOLO DIFFERENZIALE"

Cominciamo a parlare di 2 variabili per avere una scrittura più

sintetica, ma ciò che diciamo può essere anche allargato

alle n variabili.

Consideriamo una funzione:

z = f(x,y)

e andiamo a definire la derivata parziale rispetto ad x.

_∂f/_∂x |^{(x₀, y₀)} = _∂/_∂x |^{(x₀, y₀)} = lim_{x→x₀ f(x,y₀) - f(x₀,y₀)}/_{x - x₀}

Io ho bloccato fissato in punto (x₀, y₀) che chiamo x̅ (vettore).

This is the definition of the derivative in one variable

perchè si è tradotto nella sola variabile x.

Analogamente possiamo dire che questa derivata parziale è se

c'è questo limite:

Io dico che:

_∂f/_∂y |^{(x₀, y₀)} = _d/_∂y f(x₀, y) = lim_{y→y₀ f(x₀,y) - f(x₀,y₀)}/_{y - y₀}

O: campionare la derivata parziale e fare la derivata dell'ana-

lisi 1 rispetto alle variabile y della funzione f in cui la prima

variabile è rimasta fissa come un pari, e y è la variabile, e quin-

di quello sarà per definizione ai limiti per y → y₀ ecc...

Le regole di derivazione sono uguali a quelle dell'analisi 1, ba-

sta solo ricordare che quando si fa la derivata parziale

rispetto ad una variabile l'altra bisogna tenerla costante.

Vediamo ora l'interpretazione grafica della derivata parziale:

la superficie, cioè la sf z = f(x,y), noi immaginiamo di

muoverci su questa sf e di muoverci nella direzione dell'asse

Teoremi Fondamentali

Un primo teorema importante è il seguente:

1. Se f è differenziabile in x₀ allora f è continua in x₀. (Chiaramente non vale il viceversa). In una variabile f e la sua derivata è anche continua; in 2 o più variabili la derivata parziale non basta per la continuità. Invece la differenziabilità sì. Dal punto di vista geometrico la differenziabilità è quella che coincide con l’uscente del piano tangente.
2. Teorema che mi permette, mediante uno strumento, di capire se la funzione è differenziabile. Se f ha derivate parziali continue (quindi è derivabile) in un intorno di x₀ (x₀), allora si dice che la nostra funzione f è di classe C₁ nell’intorno di x₀, quindi f è differenziabile.
3. Se f è differenziabile in x₀ allora l’ammonta deriva da direzionali lungo qualunque vettore, V diverso da 0, e si ha che: ^𝕕f⁄_𝕕V(x₀) = ∇f(x₀) · (�^𝕕).

Le differenziabilità vuol dire che c’è un piano tg, e f e le sue derivate parziali (nel caso di funzione a 2 variabili), mi permettono di ottenere 2 vettori linearmente indipendenti che stiano sul piano tg. È chiaro che la pendenza in ogni altra direzione la troviamo mediante una qualche combinazione di quei 2 vettori ottenuti con le derivate parziali.

4. Prendiamo sostanzialmente una conseguenza del risultato precedente. Consideriamo un vettore η₂ che abbia norma 1 dove η sinonimo che ‖ V ‖ = 1. Facciamo tutte Fig perché io ora va giù confrontare le pendenze, le pendenze saranno laddove le derivate sono "", mentre, saranno laddove le derivate sono nulle.

Andiamo a scrivere la derivata direzionale: ^𝕕f⁄_𝕕V(x₀) = ∇f · v = ^𝕕⦿ per dopo

5. Di tale espressione noi possiamo ora benissimo chiederci, ma che cosa vuol dire, un prodotto scalare? Ricordiamo che il prodotto

Quando gli autovettori che sono linearmente indipendenti, faccio un cambio di base, si diagonalizza la matrice HF:

HF(x₀) può essere:

diagona...

Questo vale anche per matrici simmetriche ( × ). Tale processo di diagonalizzazione significa usare come assi coordinati quelli individuati dagli autovettori.

Ora diventa molto semplice interpretare questa forma quadratica se io prendo:

(x₀, y₀) [ λ₁ 0 ] [ x₀ ]

[ 0 λ₁ ] [ y₀ ]

λ₁ x₀² + λ₁ y₀²

Allora questo è molto facile interpretare che cos’era

λ₁ x₀² + λ₁ y₀²

È facile pensare se i 2 autovalori sono entrambi strettamente positivi: 0 < λ < λ₁, questo è esattamente un paraboloide ellittico, la figura di questo elemento geometrico è quella di seguito riportata:

Se supponiamo invece che λ₁ ≤ λᵢ < 0 abbiamo di nuovo un paraboloide con però la concavità verso il basso:

Un'altra situazione interessante è quella di oltre: λ₁ < 0 < λ₂ cioè i due autovalori hanno segno discorde, ciò ci dice che siamo in presenza di un paraboloide iperbolico: