Analisi matematica II - lezione 3

Politecnico di Torino - Appunti Analisi Matematica II

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta, Marco Codegone

Corso di analisi: matematica 2

27/3/2014

Lezione 01: introduzione al corso

Gli argomenti principali del corso sono:

1. Richiami sulle funzioni tra 2 spazi euclidei
2. Richiami sul calcolo differenziale per funzioni scalari
3. Calcolo differenziale per funzioni vettoriali
4. Calcolo integrale per funzioni in più variabili
5. Calcolo integrale su curve e superfici
6. Serie numeriche
7. Serie di funzioni e di potenze
8. Serie di Fourier

Ricevuta sugli insiemi

Vediamo ora più insiemi in Rⁿ e le loro proprietà. Per ora non ha molto interesse studiarli in modo grandi, infatti, noi ci acquirremo di n=2 e n=3. La prima questione che affronteremo è l'interno di un punto:

Br (_Xo) = ∅

Dove Br: sta per interno del punto X_o di raggio 'r'. Br = {x ∈ Rⁿ: ||x − X_o|| < r}

Scrittura che significa che l'insieme dei punti x vettori di Rⁿ tali che la norma euclidea di x − X_o (differenza vettoriale) è minore del numero positivo r. Ricordiamo che la norma della differenza rappresenta una distanza di punti, quindi, questo rappresenta un intorno circolare all'interno del X_o.

Se è un intorno circolare tutto contenuto in un insieme supponiamo che quello nella fig. 1 sia l'insieme A, se ∃ un rapporto r sufficientemente piccolo in modo tale che questo intorno sia tutto contenuto in A si dice che X_o è un punto interno. Se invece supponiamo di prendere un punto X₁ (parola fig. 1) e determiniamo il suo intorno ed è un intorno di raggio r in modo che questo intorno sia tutto esterno ad A (non appartiene ad A) si dice che x₁ è un punto esterno al mio insieme.

Mentre se invece comunque noi prendiamo l'intorno del punto x₂ se comunque nell'intorno non troviamo punti esterni ad A che interni ad A, vuol dire che questo è un punto di frontiera. Talvolta si può anche parlare di punto di accumulazione; significa avere un insieme di punti che tra di loro crei: ● ● ● o x - ●- e soli in certo punto tali punti si avvicinano ad x, quindi in ogni intorno di questo punto noi troviamo sempre elementi dell’insieme - cioè riprendendo da quello in figura fra l’insieme x fatto da punti allora un punto per il quale in ogni intorno codano nulla di X si dice punto di accumulazione.

Un punto si dice invece isolato se prendessi un punto x₁ che fa parte di A: o o Ao X₁ - È isolato se è un intorno in cui l’unico punto dell’insieme è il centro di questo intorno. Vediamo ora cosa vuol dire insieme limitato: è un insieme limitato se ∄ una circonferenza di raggio qualsiasi R che contiene A: ●A⃕◯ RR - Si capisce perfettamente che questo vuol dire proprio un intorno dello zero: B_R(ө) = ⃗x ∈ Rn : ||x|| < R origine inteso come vettore. Insieme delle x ∈ al Rn tale per cui le distanza di queste x dall’origine (che quindi è la norma) < R Ricordiamo che la norma e le distante dall’origine di un punto. (2)

Nel caso n-dimensionale se c'è un cerchio di raggio molto grande che contiene il mio insieme A, quindi se A è incluso in Br, diciamo che A è limitato. Se lo pensiamo nelle 3 dimensioni è una sfera. Altra definizione importante è quella di un sottinsieme compatto: in Rn un fattorialmente è compatto se chiuso e limitato. Un insieme è chiuso se contiene anche la sua frontiera.

Insieme convesso

Diamo una definizione nel campo di R² ma poi tale definizione vale anche in generale. Un insieme è convesso se il segmento che unisce due punti qualsiasi dell'insieme convesso A è tutto contenuto in A. Facciamo qualche esempio; supponiamo di avere:

Questo in figura non è un insieme convesso, questo perché se io prendo due punti nell'insieme e cerco di tracciarne il segmento che li congiunge questi 2 tratti del segmento stanno dentro la mia regione ma c'è un tratto invece che esce dalla mia regione (fuori dall'insieme). Questo allora mi dice che non è un insieme convesso. Un insieme invece di questo tipo è convesso:

È convesso perché comunque noi prendiamo 2 punti, il segmento che li congiunge è tutto contenuto in A.

Insieme connesso

Quando siamo in una variabile in R, più in generali possiamo collegare i numeri - in Rⁿ questo si traduce così: un insieme è connesso se presi comunque 2 punti nell'insieme A con qualunque la curva poligonale che li congiunge, questa poligonale è chiaramente tutto contenuto in A. A riprova questa definizione di connessione è quella che prende il nome di connesso per archi. Soffermiamo ora che il mio insieme A sia un qualcosa di...

Si vede benissimo che è un insieme non convesso ma è connesso perché se noi consideriamo quei 2 punti in figura, possiamo andare a costruire una poligonale dei segmenti continui che congiungono i 2 punti. Un esempio di insieme non connesso è quello in cui consideriamo sostanzialmente insieme costituito da due parti: Comunque io creo la mia poligonale quest'ultima esce dal mio insieme.

Definizione di regione

Diamo ora la definizione di regione R inclusa in R_n. R si dice regione se è un aperto connesso; un insieme è di... aperto se ogni punto è interno (non è la frontiera) e, R è indi...a con ℒ⊂R la frontiera di R. R si dice regione se è aperto connesso e/o contiene una parte della frontiera. Vediamolo praticamente:

1. Regione che non contiene la frontiera.
2. Regione che contiene una parte della frontiera.

Ora possiamo ai trattare le funzioni. Vediamo che la superficie auspicata è costituita da colonne coi, avvallamenti (guarda nel disegno modelli le linee tratteggiate che erano in seno al trimmer solidale). Abbiamo sostanzialmente x e y individuando le coordinate del punto, mentre il valore f mi dà la quota in corrispondenza di quel punto. È importante allora parlare dei cosiddetti insiemi di livello.

Insiemi di livello

Parliamo di insiemi di livello perché siamo considerando il caso di R², se lo invece considerassi il caso di R³ parlerei di curve di livello. Noi definiamo l'insieme di livello L come definito da una funzione f e da una costante C, ossia è l'insieme delle variabili x appartenenti al dominio di f tali che f (x) è uguale alla costante c; in termini matematici scrivo che: L (f,c) = [_∀x ∈ dom f: f(x) = c]

Facciamo un esempio; immaginiamo di prendere: f: IR² → R (parliamo in questo caso di curve di livello) Immaginiamo di avere quella S nera e di tagliarla ad un certo punto alla quota c, e ci viene fuori una curva di livello che sta alla quota C. Tale taglio ci dà effettivamente l'intersezione ottenuta tra S z=f(x,y) con il piano all'altezza c. In questo caso f mi dà proprio la curva di livello.

Facciamo ora per ragioni di completezza le funzioni vettoriali. Oltre repliche che le corrispondenti f() sono vicine al vettore l c'è una distanza che non ripcMatematicamente abboniamoli m   f̅(x̅) = l̅ ∀ε > 0   ∃ δ > 0:   ∀ e dom f   ε(0< |x-Nウ| <∨⇒ |f(x̅) -l|<ε*f 迁 continua in x= x=oの e solo se illim x→x=0，ò e solo sol h さf( nz ) -sio → gft

La continuità in più variabili è più difficile, ci sono degli curiosc: f(x,y) = 0 se y > 0 ノ orした f( x,y)Ein commitere（x）∃瞬で法 vedere che il limite io: lim ƒ(x,y) = lim以位為p <また(p coso d -cin 税Prorano, cirato che e in limite difficile da calcolare; pensareda prenotare il piano x e y; e di avvicinorci all'algiuio mediaite 角 azurira：

Se foce fare litteのSi dice arco di curva se I è un intervallo chiuso e limitato [a,b]. L'es. presente è chiaramente un arco, ma se io invece prendo:

_r(t) = (^{t cos t} _{t sin t}) t ∈ (-∞, +∞)

Questo rappresenta una curva che è una spirale, e ciò non è più chiamato arco; graficamente avrà:

L'arco si dice chiuso se _r(a) = _r(b), per es. il cerchio di raggio r è un arco chiuso. Se io prendo:

_r(t) = (^{cos t} _{sin t}) t ∈ [0, 2π]

Abbiamo tutta la circonferenza unitaria chiusa con lo stesso valore di partenza: _r(0) = _r(2π) = (1,0) L'arco si dice semplice quando non ci sono mai 2 punti tali per cui: hanno lo stesso valore, quindi interni riposi; si dice che _r è iniettiva. Non ci sono 2 parametri di _r che mi danno lo stesso punto. L'arco chiuso si dice semplice se soltanto in a e in b c'è coincidenza dei valori, cioè abbiamo che: _r(a) ≠ _r(b)

È molto interessante osservare in maniera semplice che in ogni momento il prototipo di una curva chiusa. Questo diventa - il mano - . In cui, può essere nell'esterno, nell'interno, e nella frontiera. Esempio: