Analisi matematica II - lezione 3

POLITECNICO di TORINO

APPUNTI ANALISI MATEMATICA II

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora MagnottaMarco Codegone

CORSO DI ANALISI: MATEMATICA 2

Lezione 01: Introduzione al corso.

Gli argomenti principali del corso sono:

1. Richiami sulle funzioni tra 2 spazi euclidei;
2. Richiami sul calcolo differenziale per funzioni scalari;
3. Calcolo differenziale per funzioni vettoriali;
4. Calcolo integrale per funzioni in più variabili;
5. Calcolo integrale su curve e superfici;
6. Serie numeriche;
7. Serie di funzioni e di potenze;
8. Serie di Fourier.

RICHAMI SUGLI INSIEMI

Vediamo ora gli insiemi in Rⁿ e le loro proprietà. Per ora non ha molto interesse studiare n molto grandi infatti, noi ci occuperemo di n = 2 e n = 3.La prima questione che affronteremo è l’intorno di un punto:

DoveBr: sta per intorno del punto X₀ di raggio ‘r’.

Scrittura che significa che l’insieme dei punti x vettori di Rⁿ tali che la norma euclidea di x - x₀ (differenza vettoriale) è minore del numero r (positivo).Ricordiamo che la norma della differenza rappresenta una distanza dei punti, quindi questo rappresenta un intorno circolare attorno ad x₀.

Se è un intorno circolare tutto contenuto in un insieme, supponiamo che quello di fig. 1 sia l’insieme A, se ∃ un raggio r¹ sufficientemente piccolo in modo tale che questo intorno sia tutto contenuto in A si dice che x₀ è un punto interno.

Se invece formando un punto x₁ (parola fig. 1) e definiamo il suo intorno ed ∃ un intorno di raggio r in modo che questo intorno sia tutto esterno ad A (non appartiene ad A) si

"FUNZIONI SCALARI"

Per scalari intendiamo che i valori che la funzione assume sono dei numeri e non dei vettori. Parliamo di funzioni che sono definite sul dominio della nostra funzione e quindi il dominio è un sottoinsieme del Rⁿ ha valori in R, in termini matematici si farà così:

f: dom f ⊆ Rⁿ → R

Sono funzioni di 'n' variabili quindi ipoteticamente possiamo mettere:

y = f(x₁, x₂, ..., x_n)

Generalmente se n=2 si preferisce la scrittura:

z = f(x,y)

Se n=3 si preferisce la scrittura:

w = f(x,y,z)

Se abbiamo funzioni di n variabili ci sono immediatamente alcune indicazioni che possiamo dare. Che cos'è il grafico di una funzione di n variabili? Il grafico di f è fatto da n+1 punti. Sarebbe costituito dal vettore x che è l'insieme delle variabili che sta in Rⁿ e si aggiunge una componente che è la f(x):

{ Γ(f) = { (x, f(x)) ∈ Rⁿ⁺¹ : x ∈ dom f } }

Facciamo una riflessione nel campo tridimensionale:

z = f(x,y)

Se io vado a rappresentare il grafico di questa funzione f è dato dall'insieme dei punti che sono del tipo (x,y,z) quindi possiamo anche scrivere così: (x,y,f(x,y)).Questo grafico nel caso di n=2 rappresenta una superficie che è detta anche curva topografica.

Ad es.:

* dovre riusire che le corrispondenti f ( _z ) sono vicine al vettore

il cui una distanza che non riferia ε - Matematicamente ab-

biamos:

_{limx → xo f} ( _x )= _l

- ∀ ε>0 ∃ σ0: ∀ _z ε aamm 7 0