Analisi matematica II - lezione 5

POLITECNICO di TORINO

APPUNTI ANALISI MATEMATICA II

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora MagnottaMarco Codegone

CORSO di ANALISI MATEMATICA 2

15 | 05 | 2014

Lezione 03: Funzioni in più variabili. Differenziabilità. (Parte 1).

PROPRIETÀ FUNZIONI in PIÙ VARIABILI

Gli esempi che noi vedremo saranno in 2, 3 variabili, perché comunque sono gli esempi che hanno un significato fisico. Anche se quello che diremo potrà essere esteso a ben 'n' variabili reali. Consideriamo il primo problema: Oltre se la funzione f(x,y) è continua, dove la funzione f(x,y) è definita in questo modo:

x³ + y² f(x,y) = ------------ x² + y²

La prima cosa da fare quando abbiamo una funzione è definire dove questa funzione è definita, quindi calcolare espaulatamene il dominio.

dom(f-) = {(x,y) E R² tale che il denominatore non sia mai nullo in termini matematici: [ x² + y² ≠ 0 ] Quello che ho appena scritto significa che sto prendendo tutti i punti del piano R² eccetto (0), i punti per cui x² + y² = 0. E tali punti altro che riconducano al cal in solo ovvero (0,0) perchè il aboliamo in forma di qualsiasi. Quindi abbiamo tutto il piano eccetto l'origine:

o ----------•----------- x

Tutti i punti eccetto l'origine definiscono quella funzione. Andiamo ora a studiare la questione della continuità, Ricordate e è ricordate, che il quoziente di 2 polinomi sappiamo dalla teoria, generale che è continua in tutti punti del suo dominio: R² | ( 0,0), Dove la funzione è definita è quasi sicuramente continua, il problema è vedere se posso estenderle f in modo continuo anche al punto escluso, che anche l'origine. Nonostante questo a un punto all 'esterno del dominio la domanda e: posso ralleminare f: o posso definire una nuova funzione f che calchóla con le resture in tutto il piano meno l'origine e che nell'origine abbie il valore del lim.

lo direzione quindi il limite in realtà non è.

Cambiamo ora leggermente argomento e passiamo ad un altro esercitato: rappresentare graficamente la funzione f: R→R³ nel sugeno termolo tale funzione manda la variabile t→ nello forma (cos(t,a(t)),sin(t,t)). Rappresentare graficamente significa semplicenente un disegno anche impreciso, ma che renda un po' l'idea di come è fatto il grafico di questa funzione.

Dalla teca, i generale che questa funzione è una funzione di una variabile e valori in Rⁿ in questo caso In=3 è chiama curva. Poiché la sua immagine è in R³ quella è una curva nello spazio:

y

x

Noi dobbiamo capire come è fatta quella curva. Per convenzione speSo le curve vengono indicate con il simbolo r' anziché f', quindi per noi:

r(t)=(x(t);y(t);z(t))

³funzione della variabile t: sono funzioni reali di una

funzione reale

Nello specifico la prima coordinata del grafico cioè x(t) sarà:

x(t)=cos(t)

La seconda e terza coordinate saranno:

y(t)=sin(t)

z(t)=t

Questa è un altra modo di definire la stessa funzione, cioè quando visualizzare le sue componenti. Dalla idefinizione si obliche che la variabile t: t ϵ R

cioè t muove su qualunque numero reale e quindi il dominio di questa funzione è dato dall'intra retta reale; perché le veolo e visualizzare le 3 componenti queste funzione sono definite per qualsiasi num

mero reale t-

Inoltre sempre dalla definizione verso che questa funzione è alt difer entiabile (30 volte in realtà) con continuità che significa che:

f è una funzione di classe 30 su suo dominio R-. In prattio posso derivarle una volta con continuità e quindi posso definire.

(5)

Taylor al primo ordine. Si ha ció perché geometricamente il piano tg é l'approssimazione al primo ordine del grafico della funzione. Calcoliamoci esplicitamente il gradiente:

grad (f) = ∇f = (e^x cos y, - e^x sin y)

A me interessa localizzare tutto in un punto quindi auto: ∇f (P) = ∇f (0,0) = (1 ; 0)

L'ultima cosa che mi rimane da calcolare per scrivere Taylor è:

f (P) = f (0,0) = 1

Scriviamo Taylor intorno al punto P(0,0):

f(x,y) = f(P) + ∇f(P) · ( x -P) + o (|| x ||) = 1 + (1,0) · ( x, y ) + o(|| x ||) = 1 + x + o(|| x ||)

che non mi interessa perché guardo il 1° ordine dello sviluppo di Taylor.

x: é dato dalla differenza tra il punto (x,y) meno (0,0). A questo punto il piano tg al grafico, ricordiamo che il grafico é dato dai punti:

{z = f(x,y)} = Grafico di f (Γ(f)).

Il piano tg al Γ(f) in P é:

z = 1 + x

Mettiamo soltanto la parte al 1° ordine dello sviluppo di Taylor. Vediamo il grafico, supponiamo che la & curva nello spazio passi per l'origine:

Il piano tg mi dá la prima approssimazione del grafico di questa funzione nelle vicinanze del punto P, lontano da quel punto la funzione puó essere molto lontana da quello che il piano tg dice.

Possiamo ora a dare una risposta alla seconda elementare.