Analisi matematica II - lezione 5

POLITECNICO di TORINO

APPUNTI ANALISI MATEMATICA II

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora MagnottaMarco Codegone

POLITECNICO di TORINO

APPUNTI ANALISI MATEMATICA II

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Marco Codegone

"CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2"

15 | 05 | 2014Lecture 03 Funzioni in piu variabili. Differenziabilita (parte 1).

"PROPRIETA' FUNZIONI IN PIU VARIABILI"

Qui esempi che noi vedremo faranno in 2, 3 variabili, perché comunque sono gli esempi che hanno un significato fisico. Anche se quello che avremo potrà essere esteso a ben 'n' variabili reali.Consideriamo il primo problema: Oltre se la funzione f(x,y) è continua, cioè la funzione f(x,y) è definita in questo modo:

x3 + y2x2 + y2

La prima cosa da fare quando abbiamo una funzione è definire dove questa funzione è definita, quindi calcolare esplicitamente il dominio.

dom(f) = _{(x,y) ∈ ℝ²} tale che il denominatore non sia mai nullo in termini matematici: _{x² + y² ≠ 0}Quello che ho appena scritto significa che sto prendendo tutti i punti del piano ℝ² eccetto (1) i punti per cui x² + y² = 0. E tali punti altri che riconcilio con il solo vettore (0,0) perché x abbia una somma di quadrati.Quindi abbiamo tutto il piano eccetto l'origine:

(diagram)

Tutti i punti eccetto l'origine definiscono quella funzione.Andiamo ora a studiare la questione della continuità, ricordo che se il quoziente di 2 polinomi sappiamo dalla teoria, se vediamo che è continua in tutti i punti del suo dominio = ℝ² \ {0}.Dove la funzione è definita è quasi sicuramente continua, il problema è vedere se posso estendere f in modo continuo anche al punto escluso, cioè anche l'origine. Nonostante questo se un punto all'esterno del dominio lo accomoda: posso ridefinire f o posso definire una nuova funzione f che calcolando con le vecchie in tutto il piano meno l'origine e che nell'origine abbia il valore del lim. (1).

Se di f quando le variabili vanno verso l’origine. Mi sto chiedendo quale sia il lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y). Devo calcolare questo limite, vediamo se esiste o cos'è.

Sappiamo che nel piano i limiti a 2 variabili sono più sottili, perché lo voglio convergere verso l’origine nel piano ho tante direzioni su cui muovermi, per esempio posso muovermi lungo una retta ma anche cose più complicate, tipo una spirale.

Il fatto che ho 2 dimensioni significa che posso convergere in modi completamente diversi, un punto è che il risultato finale di questo limite deve essere sempre lo stesso. Facciamo degli es.: lungo l’asse x di eq. y=0. Com'è la funzione? Lungo l’asse x la funzione è sostanzialmente data da:

f(x,0), cioè vuol dire vedere i valori della funzione lungo l’asse x, sostituisco semplicemente al posto di y lo zero, e trovo che la funzione è data da:

f(x,y)=f(x,0)=^x3⁄_x²=x

Proclamiamo che x≠0 perché io non sono nell’origine mi ci sto avvicinando, ma non sono nell’origine.

Quindi

lim_x→0 f(x,0)=0

Cosa succede se mi muovo lungo l’asse y? Tale asse è dato dall’equazione x=0, la funzione lungo l’asse y è f(0,y) che andando a sostituire vale pari a:

f(0,y)=^y2⁄_y²+1

Io questa volta sto pensando che: x=0 (costante) e y≠0 (perché io mi avvicino all’origine, ma non sono nell’origine).

2. Calcoliamo il limite:

Quello che si chiama il gradiente della funzione. Tale probleme è o, una funzione ed ha valori in R³ ed è definita dalle che vale:

∇τ(t) = (d_x/dt; d_y/dt; d_z/dt) ⟹ ẋ(t)ı̂ + ẏ(tȷ̂),+ż(t)k̂ sono funzioni di una variante t.

Altro metodo di scrittura, usato soprattutto in fisica.

Representiamo a base canonica di R³. Cioè i seguenti vettori, scritti convenzionalmente in verticale:

î = ⁽¹⁰⁾₍₀₀₎, ȷ̂ = ⁽⁰¹⁾₍₀₀₎, k̂ = ⁽⁰⁰⁾₍₀₁₎

E una base perché questi vettori. Sono 3 e sono ortogonali in R³, quindi in particolare sono linearmente indipendenti. Vediamo esplicitamente che cose il gradiente della mia funzione nel caso specifico:

∇τ(t) = (-sin t; cos t; 1) ≠ 0 derivante delle3 componenti.

Altra osservazione rilevante: siccome questa funzione gradiente non é nullo il vettore nullo, perché la 3^a componente non è mai 0, per le solante o^al, questo significa che la mia curva per definizione è una curva regolare, quindi e differenziabile e se Io considero un punto material che attivamente si muove lungo la traiettoria del graficato, la velocita di questo punto non è mai zero. Il che significa appunto che il gradiente non si annulla mai. Un'altra definizione importante per capire come e fatta questo funzione: se Io guardo alle singole componenti di questo curva noto immediatamente che è obbligata a forzare l'equazione:

(ẋ(t))² + (ẏ(t))² = 1 ∀ t∈R

perche 1 = sin² + cos² = 1 (sempre). Il che significa che questa curva in base all'equazione giace interamente su una superficie che è il cilindro di equazione x² + y² - 1 nello spazio.

Shrale dovuta al movimento dekelamento material, movimento in cui le non fisso l'asse τ. z

Dove sono definite queste coordinate ricordiamo che:

ρ ≥ 0θ ∈ [0;π]

Escludiamo il 2π perchè nel caso specifico che stiamo considerando abba- mo il fatto che è una funzione periodica di periodo 2π, quindi è sufficiente quell'intervallo lì. Ora trasformo la funzione f(x,y) in funzione che dipende dalle nuove variabili ρ e θ.

f(x,y) = f(ρ cosθ, ρ₁ sinθ) = = ρ^k cosθ^k * sin (ρ_t sinθ) = ρ²

(1)

...

Ricordiamo che a noi interessa il limite di x → 0:

lim f(x,y) = lim f(ρ,θ)x→0 ρ→0

Il calcolo di quel limite dipende da come io scelgo α.Se lo considero finito entro una certa variabile t:

|sin t| ≤ |t| t ∀t

Quindi questo significa nel mio caso specifico se guardo la mia es-pressione dove ho sin (ρ