Analisi Matematica I Teoria ed esercitazioni corso completo

Insiemi: A, B

elementi: a, b

x ∈ A appartenenza

x ∉ A non appartenenza

Insiemi numerici: naturali IN +, -

interi Z +, -, ·, :

razionali Q +, -, ·, :

reali IR +, -, ·, :

complessi C

Sia x ≠ ∅ insieme vuoto

A ⊆ X contenuto, A sottoinsieme di X

A ⊂ X sottoinsieme proprio

diagramma di Venn

elementi che sono in X ma non in A

Rappresentazione:

A = {x₁, x₂, ...}

A = {x | x ∈ X, p(x)} p(x) predicato logico

tale che

es: A = {0, 1, 2, 3, 4}

o A = {x ∈ IN | x ≤ 4}

p(x) = x ≤ 4

Prodotto cartesiano

X, Y insiemi ≠ ∅ non vuoti

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y} _{coppie ordinate}

X = Y = X ⋃ Y = X²

X : Y = R, R² _{un modello matematico del piano}

fissa punti del piano

[ x P : (x, y) ]

Sia X ≠ ∅

(X) = insieme delle parti di X (matrice)

= l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X

∅ è un sottoinsieme con X ⊂ X, X ⊆ X, ∅ ⊆ X ∅(X)

es. X={1,2,3}

N.B.

cardinalità di A → n elementi di A

card(A) ≠ # A

Im. generale

v ≠ m => #P(x) = 2^m

m=3

intersezione A, B ⊂ X

A ∩ B = ∅

Se A ∩ B = ∅ A e B si dicono disgiunti

Proprietà

∪ ∩

• commutativa
• associativa
• distributiva

Insiemi numerici

• N: {0, 1, 2, …} ⊂ N+ = N - {0} = {1, 2, 3, …}

Rappresent. geometrica: punti su una retta

• verso positivo: da O a P
• unità di misura: OP
• naturali sono i multipli di OP nel verso positivo

• Z: {...-2, -1, 0, +1, +2, ...} interi

Rappresentazione geometrica: tutti i multipli di OP nel verso positivo e negativo

• Q = {ⁿ/_z e ^z/_z} = {^q/_n, z ∈ Z, n ∈ N+}
• razionali

Rappresentazione geometrica:

———|——|——|—--→ divide segmento in n parti e ne prendo z

Ad ogni numero razionale corrisponde un unico punto sulla retta

Non vale viceversa. Buchi sulla retta scoperti dai numeri razionali

la diagonale non è mai multiplo razionale del suo lato

Teorema di Pitagora: x² + y² = z², x² = 2

Proposizione: ∄ x ∈ Q t. c. x² = 2 allora x non è razionale

(le soluzioni sono indicate in ±√2)

Dimostrazione:

Iesi. ∃ ^z/_n ∈ Q

Per assurdo p(x) = x² = 2

Supponiamo ∃ ^q, cioè x = ^m/_n con m,n ∈ N+ senza fattori in comune

1. x² = ^m2/_n² = 2
2. m² = 2n²
3. m pari → m² pari → …
4. Assurdo abbiamo ipotizzato m e n senza fattori in comune

IR = Q ∪ {numeri irrazionali} ⟷ punto sulla retta

R ⊂|c

IR = completo ad ogni punto P sulla retta posso associare un unico punto reale x viceversa. La complettezza di R garantisce la risolubilità in R di equazioni del tipo

x² = a. Più in generale x³ = a

(ES) f : _IR → _IR

x → f(x) = x²

dom f : _IR

im f = [0, ∞]

∀ y ∈ dom f : _IR ∃ ! y tale che y = f(x)

(ES) Dato A ⊆ ^IR2 come posso decidere se ha il grafico di una funzione y = f(x)

(ES) A = { (x,y) ∈ ^ER2 : x = y² }

A non è il grafico (Γ) di una funzione y = f(x)

x non è variabile indipendente

Definizione: f: S → Y

Abbiamo detto che dato x ∈ dom (f) un'immagine di x tramite f è l'elemento y=f(x)

im f = { b ∈ B | ∃ y ∈ F(x) }

F(A)

Definizione:

Data y ∈ Y è detto controimmagine di y tramite f l'insieme

f^-1 = { x ∈ dom f | f(x) = y }

Sia B ⊆ Y, controimmagine di B tramite f è:

f^-1 (B) = { f^-1 (y) | y ∈ B }

Funzione inversa

Sia _f domf: X → Y iniettiva

L'inversa di f, se f^-1, è una f, tale che: _dom f^-1 = imf

_immf^-1 = domf

f^-1 assegna ad ogni y ∈ imf l'unico x ∈ domf, tale che f(x) = y

f^-1(y) = x ⇔ y = f(x) _y ∈ domf _x ∈ imf

invertibilità ⟺ iniettività

Proprietà

Se f è invertibile, allora f^-1(f(x)) = x ∀x_oscdomf

f^-1 = id_domf

NB id_A : A → A identica su Afunzione identica di A

(f^-1(y) = y ∀y _imf → f(f^-1(x)) = x ∀x_osc imf

f^-1 = id_imf

f^-1 = invertibile e (f^-1)^-1 = f

Se f, g sono invertibili, e g∘f è ben definita (dom g∘f ≠12)

(g∘f)^-1 = f^-1 o g^-1

PROP: f strettamente monotona → iniettiva ⇒ f é invertibile ⇒ f^-1 e f hanno stessa monotonia

Se f é iniettiva ≠ monotona

f(x) = { x² x ∈ Q -x x ∉ Q}

f iniettiva ma non monotona

ES: f(x) = 2^x - 3. 2^-x - 4

dom f : R im f : (-4, +∞)

F(x) = f₁ + f₂ + f₃ = 2^x f strett. cresc. a > 1

Segno f: f(x) ≥ 0 ⇔ 2^x - 3. 2^-x - 4 ≥ 0 z = 2^x z² - 3z - 4 ≥ 0

f ≥ 0 ⇔ z x∉ 2^x - 1 log₂(x) ⁺ log₂ 2 f > 0 se x > 0

COROLLARIO Tutte le funzioni elementari (polinomi, p(x), s(x)), esponenziali e le loro inverse sono funzioni continue nel loro dominio

dom f (-∞, 1) ∪ (2, 3) ∪ [3, +∞) non definita in un solo intervallo E continua in x=0,2 (S1)

• F^-1: E(f(x₁)) = f^-1(E, ℓ, e, 2) = {2}
• dom f ∀x∈dom f₁, x=x₀ ⇔ |f(x) - f(x₀)|