Analisi Matematica I Teoria ed esercitazioni corso completo

Insiemi: A, B

elementi: a, b

x ∈ A appartenenza

x ∉ A non appartenenza

Insiemi numerici: naturali ℕ +, - interi ℤ +, -, ⋅, ÷ razionali ℚ +, -, ⋅, ÷, [^l/m, m ≠ 0] reali ℝ +, -, ⋅, ÷, √, [^l/m, m ≠ 0] complessi ℂ

es. soluzioni x² = 2 es. soluzioni x³ = 1

Su x ≠ Ø insieme vuoto

A ⊆ X contenuto, A sottoinsieme di X

A ⊂ X sottoinsieme proprioelementi che sono in X manon in A → diagramma di Venn

Rappresentazione:

A = {x₁, x₂, ..., x_n} A = {x ∈ X /_i p(x)}tali che

es. A: {0,1,2,3,4} o A: {x ∈ ℕ / x < 4} p(x) = x ≤ 4

Prodotto cartesiano

X, Y insiemi ≠ Ø non vuoti

x × y = {(x, y), coppie ordinatex in X, y in Y}

X = Y → X × Y = X²

X : Y = ℝ → ℝ × ℝ = ℝ²

Σ un modello matematico del piano [fissa punti nel piano]P : (x, y)

Sia X ≠ Ø

Ø(X) = insieme delle parti di X (matrice)è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X

Ø è un sottoinsieme con ØØ ⊂ X, X ⊆ Ø(X)

Insiemi : A, B

elementi: a, b

• x ∈ A appartenenza
• x ∉ A non appartenenza

Insiemi numerici:

• naturali IN +, -
• interi Z +, -, ·, :
• razionali Q +, -, ·, : [l/m ≠ 0]
• reali IR +, -, ·, : [l/m ≠ 0]
• complessi C

• es. soluzioni x² = 2
• es. soluzioni x³ = 1

Sia x ≠ ∅ insieme vuoto

• A ⊆ X contenuto, A sottoinsieme di X
• A ⊂ X sottoinsieme proprio

elementi che sono in X ma non in A

diagramma di Venn

Rappresentazione:

A = {x₁, x₂, ..., xₙ}

A = {x ∈ X | p(x)}

tale che p(x) predicato logico

es. A = {0, 1, 2, 3, 4} o A = {x ∈ IN | x ≤ 4} p(x) = x ≤ 4

[ diff. elementi e sottoinsiemi ]

Prodotto cartesiano

X, Y insiemi ≠ ∅ non vuoti

X × Y = {(x, y)} coppie ordinate x in X, y in Y

• X = Y ➔ X × Y = X²
• X : Y : IR ➔ IR × IR = IR²

è un modello matematico del piano [fissa punti nel piano]

p -1(x, y)

Sia X ≠ ∅

• P(X) = insieme delle parti di X (maiuscola)
• è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X

∅ è un sottoinsieme con X

∅ ⊂ X, X ⊂ X, ∅ ⊆ X ∈ P(X)

A = {x | x {1, 2, 3}}

#(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

N.B.

cardinalità di A = ∮ elementi di A

card(A) = ∮A∮

#(∅(X)) = 8 = 2³

In generale #X = m => #(∅(X)) = 2^m

m = 3

terno binario posti occupazione di 1

• 0 . 0 . 0 : {∅}
• 1 . 0 . 0 : {1}
• 0 . 1 . 0 : {2}
• 0 . 0 . 1 : {3}
• 1 . 1 . 0 : {1, 2}
• 1 . 0 . 1 : {1, 3}
• 0 . 1 . 1 : {2, 3}
• 1 . 1 . 1 : {1, 2, 3} = X

#∅(X) = #({x₁, x₂, x₃}) = x_i ∈ ℕ{0, 1}

Esempio Ergo

Difinizioni insiemi EX:

A:{a}

#∅(∅{a})

Operazioni insiemi

X

- complementazione:

A ⊆ X => A¹ = {X ∈ X - x ∉ A}

X ∈ ℕ, A : pari ~ comp. m dispari

- intersezione A, B ⊆ X

A ∩ B

Se A ∩ B = ∅ A e B si dicono disgiunti

"

unione A ∪ B

Proprietà U ∩ n

commutativa

associativa

distributiva

Leggi di De Morgan

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

^c = complementare

A \ B insieme differenza

A \ B = A ∩ B^c

A ma non in B

A Δ B differenza simmetrica

(A,B) ∪ (B,A)

=(A ∪ B)∖(A ∩ B)

Alcune grandezze utili

m ∈ IN : m ! = m ( m-1) (m-2) … 1

fattoriale

4 ! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Coeff. Trinomiale

( m ) con k ≤ m naturali

( k )

= m !

k ! (m-k) !

( 5 ) = 5 !

( 2 ) = 2 ! 3 !

( m ) ( m ) - 1 = 1, ( m ) / (m - 1) = m

( k ) ( k - 1 ) k

( m ) = ( m - 1 ) + ( m - 1 )

( k ) ( k - 1 )

Triangolo di tartaglia

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 → coeff. di (a + b)⁴

( a + b )^m = Σ ( m ) a^k b^m-k

k = 0

k

formula binomio di Newton

( m ) m sottoinsiemi con k elementi che posso formare avendo un insieme di m elementi

( k )

ex: fare class

X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

m : 6

K : 3

cardinalità

( 6 ) = 20

( 3 )