Analisi matematica I - prima parte: dagli insiemi agli integrali di Riemann

Roberto Sorba

appunti del corso di

ANALISI MATEMATICA I

(prima parte: dagli insiemi agli integrali di Riemann)

Teoria degli insiemi funzione

introduzione agli identità...................................1

insiemi.......................3 9

relazioni ................................... monotonia.................................

................3 ..............20

operazioni sugli insieme simmetrico, funzioni

insiemi.........................5 pari –

dispari......................................

Logica ...............20

introduzione alla funzioni

logica.........................7 periodiche...............................2

proprietà delle operazioni 1

logiche.......7 Successioni

Strumenti operativi per introduzione alle

l'analisi successioni..............22

Insiemi convergenza..............................

numerici .................................. .............22

...9 divergenza................................

intervalli .................................. ..............22

..............11 monotonia delle

principio di successioni................23

induzione..........................13 teorema di

diseguaglianza di regolarità...........................23

Bernoulli................13 successione di

valore Nepero...........................24

assoluto.................................... equivalenza di

..13 successioni..................25

teorema di unicità del limite di

Funzioni successione...............................

introduzione alle ..............26

funzioni...................14 teorema di

suriettività................................ limitatezza.........................26

..............16 teorema del

iniettività.................................. confronto..........................27

..............16 teorema del doppio

composizione di confronto............27

funzioni.....................18

Roberto Sorba - appunti del corso di ANALISI MATEMATICA I Pagina 1

altre teorema dei valori

osservazioni.............................. intermedi..............37

....27 altri teoremi

algebra dei limiti di utili..................................37

successione........27

successione Confronto locale: simboli di

geometrica........................28 Landau

successione a termini confronto locale di

positivi.............28 funzioni................37

teorema del simbolo

rapporto ..........................28 o-piccolo..................................

38

Limiti di funzioni principio di eliminazione dei

defi nizione di termini trascurabili (nella

limite.............................30 somma).................38

continuità................................. principio di sostituzione con

..............30 funzioni

limite equivalenti................................

fi nito......................................... ..............39

...30 simbolo

casi di Ο-grande..................................

discontinuità............................. 39

31 confronto di infi niti e

teorema di infi nitesimi.....39

unicità.................................32 parte

teorema della permanenza di principale..................................

segno..32 ...40

teorema della permanenza funzioni

rovesciata................................. asintotiche..............................4

..............32 1

teorema del calcolo di m e

confronto..........................32 q......................................42

teorema del doppio

confronto............33 Derivate

teorema di limitatezza operazione di

locale.............33 derivazione...................43

teorema dei limiti di funzioni relazioni tra derivabilità e

composte.................................. continuità.................................

...............33 ..............43

derivate di funzioni

Algebra dei limiti elementari.........44

operazioni sui algebra delle

limiti.............................34 derivate..........................45

limiti derivabilità di funzioni

notevoli.................................... composte......46

....35 massimi e minimi relativi

criterio di non esistenza del e

limite....36 assoluti.....................................

teorema di esistenza degli ............46

zeri...........36 primo teorema di

teorema di Fermat....................47

Weierstrass........................37

Roberto Sorba - appunti del corso di ANALISI MATEMATICA I Pagina 2

Teorema di integrale di

Rolle...................................47 Riemann............................61

Teorema di proprietà utili dell'integrale di

Lagrange...........................48 Riemann...................................

test di ...............62

monotonia................................. integrale del modulo di una

.48

convessità di una funzione....................................

funzione..................49 .............63

test di teorema della media

convessità................................. integrale...........63

..49 funzione

teorema di de integrale.................................6

l’Hopital........................50 3

teorema fondamentale del

Approssimazione di una calcolo

funzione: serie di Taylor integrale...................................

sviluppo in serie di una ..............64

funzione.......50 integrazione di funzioni

tabella di sviluppi non

notevoli.................51 continue....................................

algebra degli .....65

sviluppi...........................52 cenni sugli integrali

teoremi sugli impropri............65

sviluppi...........................52 APPENDICE A: Geometria

teorema di classifi cazione di analitica e rappresentazione

punto di funzioni

stazionario................................

.............53 n

Variazioni di y=x , n∈ Z

Calcolo integrale ....................66

ricerca di 1

−n

y=x =

Variazioni di

primitive...............................53 n

x

integrali notevoli (forme ...................67

irrazionali 1 ∈

Variazioni di , n N

n

√

n

y=x x

=

quadratiche)......................54 ........68

decomposizione in fratti Trasformazioni elementari

semplici......57 di

integrali funzioni.....................................

polinomiali............................58 .........69

sostituzione notevole per Parte positiva e parte

integrali negativa..........71

irrazionali.................................. Proprietà delle funzioni

............60 α

potenza f x : y=x

( )

x

integrali di funzioni in ,

e ..............................72

oppure sinh(x) o Funzione

cosh(x)...................................6 segno......................................7

0 3

integrali

trigonometrici.......................61

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APPENDICE B: Funzioni Arcocotangente.........................

trigonometriche e loro .............77

inverse Tabella riassuntiva funzioni

Arcoseno................................... goniometriche

...............74 inverse..........................78

Arcocoseno............................... Funzioni

...............75 iperboliche ............................7

Arcotangente............................ 8

..............76

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TEORIA DEGLI INSIEMI

introduzione agli insiemi

Il matematico tedesco Georg Cantor intuì che dallo sviluppo completo della teoria degli insiemi si

potevano derivare le basi per l'intera matematica.

Egli sviluppò l'ipotesi del continuo, secondo la quale non esiste un insieme con cardinalità

compresa tra quella dei numeri relativi e quella dei numeri interi; questa ipotesi fu poi contraddetta

da Paul Cohen con l'ipotesi dell'indicibilità.

Secondo Cantor, l’insieme è un'ipotesi primitiva, cioè un concetto basilare che non può essere

ricondotto ad altri concetti più semplici ma che è innato; è una collezione di elementi, con il

∈

simbolo di appartenenza introdotto da Peano.

Gli insiemi possono essere rappresentati in maniera (cioè per tabulazione, elencando gli

ESTENSIVA

elementi tra parentesi graffe), (mediante proprietà) o , con i diagrammi di

INTENSIVA GRAFICA

Eulero-Venn.

La notazione per proprietà è la più indicata nel caso di insiemi infiniti, che possono essere indicati

per tabulazione solo se è evidente la regola che li genera, ad esempio

x= 1,3,5,7 … dispari.

{ } =numeri

Gli elementi si nominano sempre una sola volta anche se sono ripetuti, e l’ordine non conta.

L’insieme che rappresenta la totalità degli elementi si dice (E oppure U).

INSIEME UNIVERSO

Un sottoinsieme si dice quando è incluso in senso stretto, cioè quando c'è almeno un

PROPRIO

elemento dell’insieme in cui è incluso che non gli appartiene.

Un insieme finito di sottoinsiemi di un insieme A si dice che è un di A se

RICOPRIMENTO FINITO

ogni elemento di A appartiene ad almeno uno di questi sottoinsiemi (in pratica si creano tanti

sottoinsiemi non vuoti in modo da non saltare nessun elemento).

Se non ci sono elementi comuni a più sottoinsiemi si dice che è una PARTIZIONE IN CLASSI

(=sottoinsiemi) di A; in questo caso, nessuna classe è vuota, sono tutte disgiunte e la loro unione

ridà l’insieme A di partenza.

Si definisce (o insieme potenza) di A quell’insieme P(A) che ha per elementi

INSIEME DELLE PARTI

tutti i possibili sottoinsiemi di A (senza contare l’ordine in cui sono presi, come in tutti gli insiemi),

compreso l’insieme vuoto e l’insieme A stesso: se A è finito e possiede n elementi, P(A) ne possiede

n

2 .

Questi elementi corrispondono alla riga del triangolo di Tartaglia con la potenza corrispondente al

numero degli elementi: ad esempio se l’insieme ha quattro elementi la riga è 1 4 6 4 1, cioè un

insieme con zero elementi (l’insieme vuoto), 4 insiemi con un elemento, 6 insiemi con due

elementi… la somma deve fare 16.

Altrimenti, se A è infinito, anche l'insieme delle parti lo è, ma è un infinito di ordine (o cardinalità)

superiore.

Relazioni

Esiste una relazione R tra gli insiemi A e B se esiste una proprietà che associ a qualsiasi elemento di

∈ ∈

a A

, b B

A un elemento di B; se si può verificare quali coppie ordinate (a;b) verifichino la

relazione aRb. ×

A B

Si può quindi anche definire una relazione come questo sottoinsieme del prodotto cartesiano

formato dai punti delle coppie che soddisfano la relazione.

In genere si considerano le relazioni agenti sugli elementi di uno stesso insieme (relazioni binarie su

2

un insieme), ad esempio R .

Proprietà elementari: ∈ ⇒

× a A aRa

A A

Relazione : R su è riflessiva se per ogni ; nella definizione di

 RIFLESSIVA

sottoinsieme del prodotto cartesiano, contiene la diagonale principale (a;a).

⇔

× aRb bRa

A A

Relazione : R su è simmetrica se , ovvero nella definizione di

 SIMMETRICA

sottoinsieme del prodotto cartesiano contiene punti simmetrici rispetto alla diagonale

principale.

Relazione : se si verifica che aRb e bRa se e solo se a = b (non basta dire

 ANTISIMMETRICA

che non è simmetrica, ad esempio la relazione "è figlio di…" non è simmetrica ma neanche

antisimmetrica; lo è la relazione "è maggiore o uguale di").

⇒

aRb , bRc aRc

Relazione : se

 TRANSITIVA

Proprietà composte: ×

A A

R ’ : R su è una relazione d’equivalenza se è riflessiva,

 ELAZIONE D EQUIVALENZA

simmetrica e transitiva.

In questo caso si dice che la relazione d’equivalenza individua l’ di A,

INSIEME QUOZIENTE

ovvero divide A in classi che ne fanno una partizione; queste classi sono gli elementi del

nuovo insieme quoziente. In pratica, si cerca una caratteristica comune, ad esempio “abita

nella stessa città di”, “ha la stessa cardinalità di”, e questa relazione divide l’insieme di

partenza in classi di elementi accomunati dalla stessa caratteristica (città, numeri).

Inoltre, per individuare un insieme elemento dell’insieme quoziente (classe, città, numeri…)

basta considerarne un singolo componente, che può rappresentare tutti gli altri.

×

A A

R ’ : R su è una relazione d’ordine se è riflessiva, antisimmetrica e

 ELAZIONE D ORDINE

transitiva; questa relazione permette di ordinare gli elementi di un insieme (in pratica è la

relazione “è maggiore o uguale a”).

La relazione d’ordine può essere di:

-ordine : se non è riflessiva (in pratica, solo “maggiore o minore” e non uguale).

STRETTO

-ordine : se tutti gli elementi di A appartengono alla relazione, cioè se presi due elementi

TOTALE

a caso dell'insieme, il primo sta in relazione con il secondo o viceversa (ad esempio “è maggiore

di” è totale, “è multiplo di" non lo è).

-ordine : se è d’ordine stretto e totale.

LINEARE

Relazioni notevoli:

Le relazioni tra insiemi presuppongono un confronto tra due insiemi, ma non ne creano di nuovi; la

⊆B ⇔ ∀ ∈

A a A , a∈ B

relazione basilare è quella di :

INCLUSIONE

⇔

Il simbolo significa "se e solo se", e serve per indicare una definizione, una convenzione.

Questa definizione di inclusione può anche ammettere che A sia uguale a B.

L'inclusione in senso largo è una relazione d'ordine in quanto è:

• ∀ ⊆

A , A A

riflessiva:

• ∀ ⊆ ⊆ ⇒

A , B , A B B A A=B

antisimmetrica: (due insiemi si includono a vicenda solo se

sono uguali)

• ∀ ⊆ ⟹ ⊆C

A , B , C , A B B⊆ C A

transitiva:

La relazione di è praticamente presa da quella di proprietà antisimmetrica:

UGUAGLIANZA

⟺ ⊆ ∧ ⊆

A=B A B B A (due insiemi sono uguali se e solo se si includono a vicenda).

L'insieme vuoto, indicato con {}, possiede l'ulteriore proprietà della , cioè è incluso

CONSERVAZIONE

∀ ⊆

A , A

∅

in qualsiasi insieme: .

I NCLUSIONE STRETTA

⊂B ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∉

A a A , a∈ B ; b B/b A

Esiste un elemento dell'insieme maggiore che non è incluso in quello minore, cioè i due insiemi non

possono essere uguali. ⊂B ⇒ ⊆

A A B ≤

Si può dire comunque (come si può dire che se 2 < 3 allora 2 3, ma non il

contrario.

Operazioni sugli insiemi:

Non si limitano a un confronto ma creano un nuovo insieme.

{ }

= ∈ ∨ ∈ ∅ =

A B x / x A x B ∅ A A

 

Unione: ; è l’elemento neutro:

{ }

= ∈ ∧ ∈ ∅ = ∅

A B x / x A x B ∅ A

 

Intersezione: ; è l’elemento assorbente: ; due insiemi si

dicono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto.

L’ di due insiemi può avere come numero massimo di elementi la somma delle due

 UNIONE

cardinalità, e come minimo la cardinalità del maggiore; l’intersezione di due insiemi può

avere come numero massimo di elementi la cardinalità del più piccolo, e come limite

minimo l’insieme vuoto.

Da questa definizione si può capire che l'inclusione in realtà è un concetto non primitivo: infatti si

⋂ ⇒ ⊆ ⋃ ⟹ ⊆

A B=A A B A B=B A B

poteva definire semplicemente così: , oppure .

Nel definire l'inclusione come una relazione a sé stante con un proprio simbolo, si è seguito il

processo storico, che l'ha resa una proprietà particolarmente famosa.

{ }

− = ∈ ∧ ∉

A B x / x A x B

Differenza insiemistica: ; comprende gli elementi che appartengono al

primo insieme ma non al secondo; se B è sottoinsieme di A si dice “differenza complementare”.

△ ∈ ∈(

{ }

A B= x : x A−B x B− A)

Differenza simmetrica: oppure

( )

△ ∈ ∪ ⋀ ∉(

{ }

A B= x : x A B x A ∩ B)

( )

cioè, passando all'algebra degli insiemi:

△ ∪

A B=( A−B A)

) (B−

△ ∪

A B=( A B ∩B)

)−(A

C : questo concetto presuppone l'esistenza di un universo in cui l'insieme sia

OMPLEMENTARE

incluso, e in pratica serve per rappresentare tutti gli elementi che non appartengono all'insieme:

∈ ∧ ∉

C A x : x U x A

{ }

( )= = U – A.

U

(la notazione dell'insieme universo si scrive solo se non è scontato)

• C C A A

( )

( ) =

• ∪

C A A=U

( )

• C A ∩ A=∅

( )

⊆ ⇒

A B C A)⊇C

Inoltre, (Il complementare di B è incluso in quello di A)

( (B)

All'operazione di insieme complemento si possono anche applicare le leggi di De Morgan:

⋂

C A U B A C B

( )=C ( ) ( )

C A ∩ B A U C B

( )=C ( ) ( )

Queste leggi possono essere facilmente verificate per via grafica con i diagrammi di Venn.

In particolare, se si sceglie come insieme universo l'insieme formato dai due soli elementi U ={0;1}

si ottiene l' e gli operatori diventano i simboli logici dell'informatica.

ALGEBRA BOOLEANA

Proprietà delle operazioni:

=

A A A

 =

A A A



Idempotenza: =

A B B A

 

=

A B B A<