Analisi matematica I - prima parte: dagli insiemi agli integrali di Riemann

I

1. f è definita su e 0

(x ) x →x

0 0

́

I

2. g è definita su e per essa vale una delle due seguenti proprietà: o g è definita e

y

( )

0 ∧∃ ∈

f x ≠ y lim g(x) R

( )

y

continua su oppure 0

0 y → y 0 ∘

lim g f lim g f x lim g(x

( )

( )= ( ) = )

Allora esiste il limite della loro funzione composta .

x → x x→ x y→y

0 0 0

Nel controesempio fatto prima valeva l'ipotesi, esistevano i limiti singoli e le funzioni erano definite

ℝ;

su tutto saltavano però entrambe le condizioni dell'ipotesi due, perchè la seconda funzione, la g,

non era continua sul valore a cui si calcolava il limite, e nemmeno si aveva che la prima funzione, la

f, fosse sempre diversa da tale valore (zero; anzi, lo ammetteva infinite volte).

La maggior parte delle funzioni elementari sono continue, quindi questo problema non si pone;

bisogna però fare attenzione che se esistono punti di discontinuità nella funzione che opera che

seconda, la più esterna, il limite può non esistere: in particolare, la funzione più esterna deve essere

continua nel valore a cui si calcola il limite oppure la funzione più interna (quella che opera per

prima) deve essere sempre diversa da tale valore.

ALGEBRA DEI LIMITI

Operazioni sui limiti

Analogamente a quanto visto per le successioni, valgono le seguenti proprietà:

∣ ∣ ∣ ∣

⟺

lim f x lim f l

( )=l (x) =

x → x x → x

0 0 ∀ ∃ ⟹

∣ ∣

∣ ∣

ε>0 δ :0< x−x δ f x ε

( )−l

Infatti per la definizione di limite si ha , e sostituendo

< <

0 ∣ ∣

∣ ∣

∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣

∀ ∃ ⟹

f x l ε>0 δ :0< x−x δ f x) l

∣ ∣

f

con e l con si ottinene ; per una

( ) < ( − <ε

(x) 0

∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣

f l f x ε

( )−l

variante della disuguaglianza trinagolare si ha che .

(x) − < <

Il tutto è minore di ε per la prima definizione di limite, e questo dimostra la tesi.

lim f x ± g(x ±m

( ) )=l

x → x 0

dove l e m sono i limiti di f(x) e g(x), e questa scrittura non è valida per la forma indeterminata

∓∞

± ∞ . ∀ ∃ ⟹

∣ ∣

∣ ∣

ε>0 δ :0< x−x δ f x g x

( )+ ( )−l−m

Si verifica considerando la definizione , mentre

< <ε

0

⟹ ⟹

∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣

0< x−x d f x ε 0< x−x d g x

( )−l ( )−m

per i limiti singoli si ha e .

< < < <ε

0 1 0 2

δ e δ

Se si sceglie come δ il minimo tra , le due definizioni valgono di sicuro

1 2

contemporaneamente, per cui per la disuguaglianza triangolare si ha

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

f x g x f x g x perchè pognuno dei due limiti singoli è minore di ε.

( ) ( )−l−m ( )−l ( )−m

+ < + <2ε

Ma dire che questa quantità è minore di 2ε quando ε è piccolo a piacere significa in pratica dire che

è minore di ε stesso, quindi la definizione è verificata.

Analogamente si può dimostrare che

lim f x g ∙ m

( ) (x)=l

x → x 0 0 ∙ ∞

tranne nel caso della forma indeterminata e che

f x) l

(

lim =

g m

(x)

x → x 0 0 ∞

e

tranne nel caso in cui g(x) o m valgono 0, e le due forme indeterminate .

0 ∞

Tutte queste regole valgono per funzioni continue; se due funzioni sono continue in un punto, allora

anche la loro somma sarà continua nello stesso punto.

Limiti notevoli sin (x)

lim

1. =1

x

x→ 0 x

1

( )

lim 1+

2. =e

x

x→∞

log(1+ x)

lim

3. =1

x

x→∞ x

e −1

4. lim =1

x

x→ 0

1−cos x 1

lim =

5. 2

2

x

x→ 0 α

x

(1+ ) −1

6. lim =α

α

x→ 0 log x

(1+ )

L'1) e il 2) sono già stati dimostrati; per il 3) basta considerare che la scrittura si può

x

1 1

1 → y

scrivere come e sostituendo si ritrova il 2).

x

log 1+ x x

( )=log (1+ ) x

x x

Per dimostrare il 4) si opera la sostituzione , perciò se x tende a 0,

y=e x=log y)

−1→ (1+

y

lim =1

anche y tende a 0: .

log y)

(1+

y →0

Una variante di questo limite è quella in cui al posto di e compare un altro parametro qualsiasi (

x x log a

): in tal caso basta considerare che si può scrivere , per cui si ha di nuovo

a a=e

x log a

e log a

−1

lim ∙ a

=log

x log a

x→ 0

Criterio di non esistenza del limite

Se si ha una funzione g(x) definita e continua, e in essa si riescono a individuare due successioni

a →l

=b

che tendono allo stesso limite ( ) ma che facciano tendere la funzione g(x) a due limiti

n n

diversi quando diventano argomento, allora il limite della g(x) non esiste.

1

g x

( ) =cos

Ad esempio si consideri la funzione , di cui si vuole calcolare il limite per x che

x 1 1

→ x=

=nπ

tende a zero; questa funzione vale 1 tutte le volte che , e vale 0 tutte le volte che

x nπ

1 π 1 1

→ x= b

1

= +nπ =

n

a

x 2 π π

=

; le due successioni definite come e tendono

n

nπ nπ

+ +nπ

2 2

∞ 0.

entrambe a se la n tende a lim cos nπ

( )=1

Se però queste successioni diventano argomento della funzione si ha che , mentre

n→ 0

π

( )

lim +nπ =0 .

2

n→ 0

Se due sottosuccessioni tendono a due limiti diversi, il limite generale non esiste.

I limiti sono un comportamento che si dice locale, cioè limitato ad un solo punto; il comportamento

di una funzione si un intero intervallo si dice comportamento globale, e gli si possono attribuire

alcune altre proprietà; uno dei problemi maggiori nello studio di una funzione definita su un

intervallo è quello di determinare suoi eventuali zeri, cioè intersezioni con l'asse x; molto spesso è

più importante sapere che tali zeri esistono piuttosto che sapere esattamente quali sono.

Teorema di esistenza degli zeri

f :[a; b]→ R

Se è data una funzione che sia continua sull'intervallo di definizione e tale che

∈ [ ]

f a ∙ f b 0 c a ; b f c

, allora esiste almeno un punto tale che .

( ) ( )< ( )=0

La dimostrazione utilizza il metodo dicotomico: si consideri il punto medio dell'intervallo di

b−a

c =

definizione, ; in questo punto la funzione sarà maggiore o minore di zero (se viene zero

1 2 c

esatto, la ricerca degli zeri è già terminata): se la funzione è maggiore di zero, il punto diventa

1

c

il nuovo massimo dell'intervallo considerato, se la funzione è minore di zero, il punto diventa

1

il nuovo minimo dell'intervallo considerato (se la funzione è crescente; se è decrescente, viceversa).

Con questo procedimento l'ampiezza dell'intervallo considerato si è dimezzata; ripetendolo a

piacere, l'ampiezza si riduce sempre di più fino ad approssimare il punto in cui la funzione interseca

b−a

b −a =

l'asse x; in particolare, dopo n volte l'ampiezza sarà diventata .

n n n

2

a b

Si sono così create due successioni, { } e { }; la prima è crescente (non strettamente; se

n n

f(c) > 0, il valore a rimane uguale), e analogamente la seconda è decrescente in senso largo.

a b b

E' inoltre facile a verificare che { } è superiormente limitata da { } e { } è

n n n

a

inferiormente limitata da { }; entrambe queste successioni quindi ammettono limite finito.

n

In particolare, il limite a cui tende la loro distanza quando il procedimento dicotomico è ripetuto

b b lim a

( )

−a =lim −¿ =l −l

n n n n 1 2

n →∞ n→ ∞

all'infinito è .

lim ¿

n→∞ b−a b−a

b lim

−a = =0

Tuttavia sappiamo anche che , e quindi ; quindi, per l'unicità del

n n n n

2 2

n →∞

⟹

l l

−l =0 =l =l

limite, .

1 2 1 2

Ma andando a calcolare il limite del prodotto delle funzioni di queste successioni si trova che

2

lim f a ∙ f b lim f a ∙ lim f b l ∙ f l

( ) ( )=f

( ) ( ) ( ) ( )

= =f (l) ; per il teorema della permanenza di segno

n n n n

n →∞ n→ ∞ n →∞

rovesciata, che introduce il segno di minore o uguale, se una funzione ammette limite per x tendente

a infinito e in un intorno di infinito è negativa allora anche questo limite è minore o uguale a zero:

2 quindi l è lo zero cercato.

⟹

f l ≤ 0 f l

( ) ( )=0

Teorema di Weierstrass

f :[a; b]→ R

Se una funzione è continua sull'intervallo di definizione allora tale funzione

ammette massimo e minimo sull'intervallo di definizione (non è detto che siano necessariamente gli

estremi). f , g :[a ; b]→ R

Inoltre se sono date due funzioni continue dull'intervallo di definizione e se per

f a g f b g f c

ipotesi e allora esiste un punto c tale che .

( )< ( )> ( )=g

(a) (b) (c)

h x x h a a a

Infatti introducendo la nuova funzione si ritrova che , e

( )=f ( )−g(x ( ) ( ) ( )

) =f −g <0

h b b b ; queste ipotesi soddisfano il teorema di esistenza degli zeri, per cui esiste

( ) ( ) ( )

=f −g >0 f x x

h x

almeno un ptuno in cui , che è come dire .

( )=g(

( )=0 )

Teorema dei valori intermedi

f : ,b R

Se una funzione è continua su [a, b], e quindi per il teorema di Weierstrass vi

[a ]→

ammette un massimo e un minimo, allora essa assume almeno una volta tutti i valori tra il massimo

'

e il minimo: .

∀ ∃ ∈ [ ]

λ m< λ< M x a , b :f x '

( )=λ

x e x

g x x

Infatti sia , e detti rispettivamente il minimo e il massimo dei valori

( ) ( )−λ

=f 1 2 g :[ x x R

]→

assunti sull'intervallo di definizione si ha che è sempre continua in quanto

1, 2 x x

differenza di fu