Analisi matematica I - prima parte: dagli insiemi agli integrali di Riemann

Roberto Sorba - appunti del corso di analisi matematica I

(Prima parte: dagli insiemi agli integrali di Riemann)

Teoria degli insiemi funzione introduzione agli identità...................................1 insiemi.......................3 9 relazioni ................................... monotonia.................................................3 ..............20 operazioni sugli insieme simmetrico, funzioni insiemi.........................5 pari –dispari......................................Logica ...............20 introduzione alla funzione logica.........................7 periodiche...............................2 proprietà delle operazioni 1 logiche.......7 Successioni Strumenti operativi per introduzione alle l'analisi successioni..............22 Insiemi convergenza.............................. numerici .................................. .............22...9 divergenza................................ intervalli .................................. ..............22..............11 monotonia delle principio di successioni................23 induzione..........................13 teorema di diseguaglianza di regolarità...........................23 Bernoulli................13 successione di valore Nepero...........................24 assoluto.................................... equivalenza di..13 successioni..................25 teorema di unicità del limite di Funzioni successione............................... introduzione alle ..............26 funzioni...................14 teorema di suriettività................................ limitatezza.........................26 ..............16 teorema dell'iniettività.................................. confronto..........................27 ..............16 teorema del doppio composizione di confronto............27 funzioni.....................18

Roberto Sorba - appunti del corso di ANALISI MATEMATICA I Pagina 1 altre teorema dei valori osservazioni.............................. intermedi..............37....27 altri teoremi algebra dei limiti di utili..................................37 successione........27 successione Confronto locale: simboli di geometrica........................28 Landau successione a termini confronto locale di positivi.............28 funzioni................37 teorema del simbolo rapporto ..........................28 o-piccolo..................................38 Limiti di funzioni principio di eliminazione dei definizione di termini trascurabili (nella limite.............................30 somma).................38 continuità................................. principio di sostituzione con ..............30 funzioni limite equivalenti................................ finito......................................... ..............39...30 simbolo casi di Ο-grande.................................. discontinuità............................. 39 31 confronto di infiniti e teorema di infinitesimi.....39 unicità.................................32 parte teorema della permanenza di principale.................................. segno..32 ...40 teorema della permanenza funzioni rovesciata................................. asintotiche..............................4 ..............32 1 teorema del calcolo di m e confronto..........................32 q......................................42 teorema del doppio confronto............33 Derivate teorema di limitatezza operazione di locale.............33 derivazione...................43 teorema dei limiti di funzioni relazioni tra derivabilità e composte.................................. continuità................................................33 ..............43 derivate di funzioni Algebra dei limiti elementari.........44 operazioni sui algebra delle limiti.............................34 derivate..........................45 limiti derivabilità di funzioni notevoli.................................... composte......46....35 massimi e minimi relativi criterio di non esistenza del e limite....36 assoluti..................................... teorema di esistenza degli ............46 zeri...........36 primo teorema di teorema di Fermat....................47 Weierstrass........................37

Roberto Sorba - appunti del corso di ANALISI MATEMATICA I Pagina 2 Teorema di integrale di Rolle...................................47 Riemann............................61 Teorema di proprietà utili dell'integrale di Lagrange...........................48 Riemann...................................test di ...............62 monotonia................................. integrale del modulo di una.48 convessità di una funzione.................................... funzione..................49 .............63 test di teorema della media convessità................................. integrale...........63..49 funzione teorema di de integrale.................................6 l’Hopital........................50 3 teorema fondamentale del Approssimazione di una calcolo funzione: serie di Taylor integrale................................... sviluppo in serie di una ..............64 funzione.......50 integrazione di funzioni tabella di sviluppi non notevoli.................51 continue.................................... algebra degli .....65 sviluppi...........................52 cenni sugli integrali teoremi sugli impropri............65 sviluppi...........................52 APPENDICE A: Geometria teorema di classificazione di analitica e rappresentazione punto di funzioni stazionario.............................................53 n Variazioni di y=x , n∈ Z Calcolo integrale ....................66 ricerca di 1−ny=x =Variazioni di primitive...............................53 nx integrali notevoli (forme ...................67 irrazionali 1 ∈Variazioni di , n Nn√ny=x x= quadratiche)......................54 ........68 decomposizione in fratti Trasformazioni elementari semplici......57 di integrali funzioni..................................... polinomiali............................58 .........69 sostituzione notevole per Parte positiva e parte integrali negativa..........71 irrazionali.................................. Proprietà delle funzioni....60 α potenza f x : y=x( )x integrali di funzioni in ,e ..............................72 oppure sinh(x) o Funzione cosh(x)...................................6 segno......................................70 3 integrali trigonometrici.......................61

Roberto Sorba - appunti del corso di ANALISI MATEMATICA I Pagina 3 APPENDICE B: Funzioni Arcocotangente......................... trigonometriche e loro .............77 inverse Tabella riassuntiva funzioni Arcoseno................................... goniometriche...............74 inverse..........................78 Arcocoseno............................... Funzioni ...............75 iperboliche ............................7 Arcotangente............................ 8..............76

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Teoria degli insiemi

Introduzione agli insiemi

Il matematico tedesco Georg Cantor intuì che dallo sviluppo completo della teoria degli insiemi si potevano derivare le basi per l'intera matematica.

Egli sviluppò l'ipotesi del continuo, secondo la quale non esiste un insieme con cardinalità compresa tra quella dei numeri relativi e quella dei numeri interi; questa ipotesi fu poi contraddetta da Paul Cohen con l'ipotesi dell'indicibilità.

Secondo Cantor, l’insieme è un'ipotesi primitiva, cioè un concetto basilare che non può essere ricondotto ad altri concetti più semplici ma che è innato; è una collezione di elementi, con il simbolo di appartenenza ∈ introdotto da Peano.

Gli insiemi possono essere rappresentati in maniera estensiva (cioè per tabulazione, elencando gli elementi tra parentesi graffe), intensiva (mediante proprietà) o grafica, con i diagrammi di Eulero-Venn.

La notazione per proprietà è la più indicata nel caso di insiemi infiniti, che possono essere indicati per tabulazione solo se è evidente la regola che li genera, ad esempio x = {1,3,5,7 …} = numeri dispari.

Gli elementi si nominano sempre una sola volta anche se sono ripetuti, e l’ordine non conta.

L’insieme che rappresenta la totalità degli elementi si dice insieme universo (E oppure U).

Un sottoinsieme si dice proprio quando è incluso in senso stretto, cioè quando c'è almeno un elemento dell’insieme in cui è incluso che non gli appartiene.

Un insieme finito di sottoinsiemi di un insieme A si dice che è un ricoprimento finito di A se ogni elemento di A appartiene ad almeno uno di questi sottoinsiemi (in pratica si creano tanti sottoinsiemi non vuoti in modo da non saltare nessun elemento).

Se non ci sono elementi comuni a più sottoinsiemi si dice che è una partizione in classi (= sottoinsiemi) di A; in questo caso, nessuna classe è vuota, sono tutte disgiunte e la loro unione ridà l’insieme A di partenza.

Si definisce insieme delle parti (o insieme potenza) di A quell’insieme P(A) che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di A (senza contare l’ordine in cui sono presi, come in tutti gli insiemi), compreso l’insieme vuoto e l’insieme A stesso: se A è finito e possiede n elementi, P(A) ne possiede n².

Questi elementi corrispondono alla riga del triangolo di Tartaglia con la potenza corrispondente al numero degli elementi: ad esempio se l’insieme ha quattro elementi la riga è 1 4 6 4 1, cioè un insieme con zero elementi (l’insieme vuoto), 4 insiemi con un elemento, 6 insiemi con due elementi… la somma deve fare 16.

Altrimenti, se A è infinito, anche l'insieme delle parti lo è, ma è un infinito di ordine (o cardinalità) superiore.

Relazioni

Esiste una relazione R tra gli insiemi A e B se esiste una proprietà che associ a qualsiasi elemento di a ∈ A, b ∈ B A un elemento di B; se si può verificare quali coppie ordinate (a;b) verifichino la relazione aRb. A × B

Si può quindi anche definire una relazione come questo sottoinsieme del prodotto cartesiano formato dai punti delle coppie che soddisfano la relazione.

In genere si considerano le relazioni agenti sugli elementi di uno stesso insieme (relazioni binarie su un insieme), ad esempio R².

Proprietà elementari:

• Relazione riflessiva: R su A è riflessiva se per ogni a ∈ A ⇒ aRa A × A; nella definizione di sottoinsieme del prodotto cartesiano, contiene la diagonale principale (a;a).
• Relazione simmetrica: R su A è simmetrica se aRb ⇔ bRa A × A, ovvero nella definizione di sottoinsieme del prodotto cartesiano contiene punti simmetrici rispetto alla diagonale principale.
• Relazione antisimmetrica: se si verifica che aRb e bRa se e solo se a = b (non basta dire che non è simmetrica, ad esempio la relazione "è figlio di…" non è simmetrica ma neanche antisimmetrica; lo è la relazione "è maggiore o uguale di").
• Relazione transitiva: se aRb, bRc ⇒ aRc.

Proprietà composte:

• Relazione d’equivalenza: R su A × A è una relazione d’equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.

In questo caso si dice che la relazione d’equivalenza individua l’insieme quoziente di A, ovvero divide A in classi che ne fanno una partizione; queste classi sono gli elementi del nuovo insieme quoziente. In pratica, si cerca una caratteristica comune, ad esempio “abita nella stessa città di”, “ha la stessa cardinalità di”, e questa relazione divide l’insieme di partenza in classi di elementi accomunati dalla stessa caratteristica (città, numeri).

Inoltre, per individuare un insieme elemento dell’insieme quoziente (classe, città, numeri…) basta considerarne un singolo componente, che può rappresentare tutti gli altri.

• Relazione d’ordine: R su A × A è una relazione d’ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva; questa relazione permette di ordinare gli elementi di un insieme (in pratica è la relazione “è maggiore o uguale a”).

La relazione d’ordine può essere di:

• Ordine stretto: se non è riflessiva (in pratica, solo “maggiore o minore” e non uguale).
• Ordine totale: se tutti gli elementi di A appartengono alla relazione, cioè se presi due elementi a caso dell'insieme, il primo sta in relazione con il secondo o viceversa (ad esempio “è maggiore di” è totale, “è multiplo di" non lo è).
• Ordine lineare: se è d’ordine stretto e totale.

Relazioni notevoli

Le relazioni tra insiemi presuppongono un confronto tra due insiemi, ma non ne creano di nuovi; la relazione basilare è quella di inclusione: A ⊆ B ⇔ ∀ a ∈ A, a ∈ B.

Il simbolo ⇔ significa "se e solo se", e serve per indicare una definizione, una convenzione.

Questa definizione di inclusione può anche ammettere che A sia uguale a B.

L'inclusione in senso largo è una relazione d'ordine in quanto è:

• Riflessiva: ∀ A, A ⊆ A.
• Antisimmetrica: ∀ A, B, A ⊆ B, B ⊆ A ⇒ A=B (due insiemi si includono a vicenda solo se sono uguali).
• Transitiva: ∀ A, B, C, A ⊆ B, B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.

La relazione di uguaglianza è praticamente presa da quella di proprietà antisimmetrica: A=B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A (due insiemi sono uguali se e solo se si includono a vicenda).

L'insieme vuoto, indicato con {}, possiede l'ulteriore proprietà della conservazione, cioè è incluso in qualsiasi insieme: ∀ A, ∅ ⊆ A.

Inclusione stretta: A ⊂ B ⇔ ∀ a ∈ A, a ∈ B; ∃ b ∈ B / b ∉ A.

Esiste un elemento dell'insieme maggiore che non è incluso in quello minore, cioè i due insiemi non possono essere uguali. A ⊂ B ⇒ A ⊆ B ≤

Si può dire comunque (come si può dire che se 2 < 3 allora 2 ≤ 3, ma non il contrario).

Operazioni sugli insiemi

Non si limitano a un confronto ma creano un nuovo insieme.

Unione: A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}; ∅ ∪ A = A; ∅ è l’elemento neutro.

Intersezione: A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}; ∅ ∩ A = ∅; ∅ è l’elemento assorbente; due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto.

• Unione di due insiemi può avere come numero massimo di elementi la somma delle due cardinalità, e come minimo la cardinalità del maggiore; l’intersezione di due insiemi può avere come numero massimo di elementi la cardinalità del più piccolo, e come limite minimo l’insieme vuoto.

Da questa definizione si può capire che l'inclusione in realtà è un concetto non primitivo: infatti si poteva definire semplicemente così: A ∩ B=A ⇒ A ⊆ B, oppure A ∪ B=B ⇔ A ⊆ B.

Nel definire l'inclusione come una relazione a sé stante con un proprio simbolo, si è seguito il processo storico, che l'ha resa una proprietà particolarmente famosa.

Differenza insiemistica: A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}; comprende gli elementi che appartengono al primo insieme ma non al secondo; se B è sottoinsieme di A si dice “differenza complementare”.

Differenza simmetrica: A △ B = {x : x ∈ A−B ∨ x ∈ B−A} oppure A △ B = {x : x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B}, cioè, passando all'algebra degli insiemi: A △ B=(A−B) ∪ (B−A); A △ B=(A ∪ B)−(A ∩ B).

Complementare: questo concetto presuppone l'esistenza di un universo in cui l'insieme sia incluso, e in pratica serve per rappresentare tutti gli elementi che non appartengono all'insieme: C_U(A) = {x : x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A. (La notazione dell'insieme universo si scrive solo se non è scontato.)

• C(C(A)) = A.
• C(A) ∪ A=U.
• C(A) ∩ A=∅.
• A ⊆ B ⇒ C(A) ⊇ C(B). Il complementare di B è incluso in quello di A.

All'operazione di insieme complemento si possono anche applicare le leggi di De Morgan:

C(A ∪ B)=C(A) ∩ C(B).

C(A ∩ B)=C(A) ∪ C(B).

Queste leggi possono essere facilmente verificate per via grafica con i diagrammi di Venn.

In particolare, se si sceglie come insieme universo l'insieme formato dai due soli elementi U ={0;1} si ottiene l'algebra booleana e gli operatori diventano i simboli logici dell'informatica.

Proprietà delle operazioni

Idempotenza: A ∪ A=A; A ∩ A=A.

A ∪ B=B ∪ A