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24 G. DI FAZIO

Esercizio 4.9. Calcolare il limite + +

1 cos x log(1 x) .

(4.16) lim x −

e 1

x→0

La funzione è definita quando sono soddisfatte le condizioni

, + > .

x −

e 1 0 1 x 0

,

+ = x −

Siccome lim 1 x 1 e e 1 0 per x 0, le condizioni sono certamente soddisfatte

, ,

x→0

in un intorno dell’origine e quindi l’origine è punto di accumulazione per il campo di

esistenza della funzione. Inoltre si ha: 2 + + +

x

+ + 2

− −

1 (1 o(x )) x o(x)

1 cos x log(1 x) = 2

lim

(4.17) lim + +

x − −

e 1 1 x o(x) 1

x→0 x→0 2 +

x +

x x o(x)

= = = .

2

lim lim 1

x x

x→0 x→0

Esercizio 4.10. Calcolare il limite log(sen x) .

(4.18) lim

+ log x

x→0

Il punto 0 è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Il limite

proposto si presenta nella forma . Si ha:

∞ +

log(sen x) log(x o(x)) log x

= = = .

(4.19) lim lim lim 1

+ + +

log x log x log x

x→0 x→0 x→0

Esercizio 4.11. Calcolare il limite √ sen x − 1

e .

(4.20) lim √

+ x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

√ √

√ +

+ r

sen x − −

1 sen x o( sen x) 1 sen x

1

e = = = .

lim lim 1

(4.21) lim √ √

+ +

+ x

x x

x→0 x→0

x→0

Esercizio 4.12. Calcolare il limite +

p p

− −

1 tang x 1 tang x .

(4.22) lim sen x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

(4.23)

+ + +

12 1

+ p

p − −

1 tang x o(tang x) 1 tang x o(tang x)

− −

1 tang x 1 tang x 2

=

lim lim

sen x sen x

x→0 x→0 tang x 1

= = = .

(4.24) lim lim 1

sen x cos x

x→0 x→0

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 25

Esercizio 4.13. Calcolare il limite sen 2x .

(4.25) lim tang 3x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

+

sen 2x 2x o(x) 2

= = .

(4.26) lim lim +

tang 3x 3x o(x) 3

x→0 x→0

Esercizio 4.14. Calcolare il limite √ + +

2 −

x x 1 1 .

(4.27) lim x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

√ + + +

1

+ + 2 −

1 (x x) o(x) 1

2 −

x x 1 1 = 2

(4.28) lim lim

x x

x→0 x→0 + +

2

x x 1 x o(x) 1

1 = = .

= lim

lim 2 x 2 x 2

x→0

x→0

Esercizio 4.15. Calcolare il limite 1 .

(4.29) lim x sen x

x→+∞

+∞.

La funzione è definita in un intorno di Si ha: !!

1 1

1 = + = .

(4.30) lim x sen lim x o 1

x x x

x→+∞ x→+∞

Esercizio 4.16. Calcolare il limite !

2 .

−x

x

(4.31) lim xe sen e sen x

x→+∞ +∞.

La funzione è definita in un intorno di Si ha:

! !

2 2 2 2

= = = = .

−x −x

x x

(4.32) lim xe sen e sen lim xe e sen lim x sen lim x 2

x x x x

x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞

Esercizio 4.17. Calcolare il limite 2 1/n −1)

n (2

!

1

+ .

(4.33) lim 1 sen n

n→+∞

Si tratta del limite di una successione. Si ha:

2 1/n −1)

n (2

!

1 ( )

1

2 1/n

+ = −1)

n (2 log 1+sen

(4.34) lim 1 sen lim e n

n

n→+∞ n→+∞ ( )

1

2

= n (1/n log 2) sen

lim e n

n→+∞ ( )

1

= = .

n log 2

lim e 2

n

n→+∞

26 G. DI FAZIO

Esercizio 4.18. Calcolare il limite 1

!

1 ( )

n+1

log2

+ .

n

2

(4.35) lim 1 tang n

n→+∞

Si tratta del limite di una successione e a causa della forma nella quale si presen-

ta, trasformiamo la successione usando la definizione di logaritmo e studiamo il limite

dell’esponente. Si ha: 2

+ 1 1 1

2 2  

log(1 tang tang

) tang

= = =

n n n

 

(4.36) lim lim lim 1

 

1 1

2 n+1

n→+∞ n→+∞ n→+∞

log 2 n

n

n

e quindi il limite richiesto vale e.

Esercizio 4.19. Calcolare il limite √ + −

x 4 2 .

(4.37) lim sen 5x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

√ + + +

x 12 x

x

p

+ −

2 1 2 · −

1 o(x) 1

− 1

x 4 2 = = = = .

4 4 4

lim lim 2 lim

(4.38) lim +

sen 5x 5x o(x) 5x 5x 20

x→0 x→0 x→0

x→0

Esercizio 4.20. Calcolare il limite x+3

!

4

+ .

1

(4.39) lim

+ x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

!

4

+ + = +∞ .

(4.40) lim exp (x 3) log 1

+ x

x→0

Esercizio 4.21. Calcolare il limite −

1 cos x .

(4.41) lim x

1 cos

x→0 2

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

2 + 2

x 2 x

− −

1 1 o(x )

2 = = .

2

(4.42) lim lim 4

2

+ x

x 1

x→0 x→0

2

− −

1 1 o(x ) 8

2 2

Esercizio 4.22. Calcolare il limite 2

1−2x

!

4x x+1

+ .

(4.43) lim 1 +

2

x 1

x→+∞

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 27

+∞.

La funzione è definita in un intorno in Si ha:

2

1−2x 2

! −

4x 4x

1 2x

x+1

+ +

=

(4.44) lim 1 log(1

lim exp

+ + +

2 2

x 1 x 1 x 1

x→+∞ x→+∞ 2

1 2x 4x = .

= −8

e

lim exp + +

2

x 1 x 1

x→+∞

Esercizio 4.23. Calcolare il limite 2

tang x .

(4.45) lim x sen x

x→0

La funzione è definita in un intorno bucato dell’origine. Si ha:

+ 2

2 (x o(x))

tang x = = .

lim 1

(4.46) lim +

x sen x x(x o(x))

x→0

x→0

Esercizio 4.24. Calcolare il limite α

x , α, > .

(4.47) lim 0

x

e

x→+∞

+∞.

La funzione è definita in un intorno di Proviamo che si ha:

.

x ≥ ∀x ∈

(4.48) e x R

Infatti, per induzione su n si ha:

N, +

n ≥ ∀n ∈

(4.49) e n 1 N

e quindi, + > > .

x [x]

≥ ≥ ∀x

(4.50) e e [x] 1 x 0,

Allora,

(α+1) (α+1) (α+1)

x x

α+1

= =

x (α+1)

≥ ≡

(4.51) e exp x cx

α + α + α +

1 1 1

da cui α

x 1

< .

≤ →

(4.52) 0 0

x

e cx

Esercizio 4.25. Calcolare il limite α

log t , α, > .

(4.53) lim 0

t

t→+∞ +∞. =

La funzione è definita in un intorno di Mediante la sostituzione log t x, si ottiene

α α

log t x

= = .

(4.54) lim lim 0

x

t e

t→+∞ x→+∞

Esercizio 4.26. Calcolare il limite α , α, > .

|

(4.55) lim x log x| 0

+

x→0

28 G. DI FAZIO

= 1

La funzione è definita in un intorno destro dell’origine. Mediante la sostituzione t , si

x

ottiene α

log t

α α

= = = .

| | | |

(4.56) lim x log x lim t log t lim 0

+ t

t→+∞ t→+∞

x→0

Esercizio 4.27. Calcolare il limite α t , α, > .

|t|

(4.57) lim e 0

t→−∞ =

−∞. −t,

La funzione è definita in un intorno di Mediante la sostituzione x si ottiene

α t α α

= = = .

− −

x x

|t|

(4.58) lim e lim x e lim x e 0

t→−∞ x→+∞ x→+∞

Esercizio 4.28. Provare che il limite 1

|x |

(4.59) lim x

x→0

non esiste. Proviamo che il limite non esiste facendo vedere che il limite destro è diverso

dal limite sinistro. Infatti, 1 1

= =

log x

|x |

(4.60) lim lim 0

e

x x

+ +

x→0 x→0

mentre 1

1 = = +∞ .

−x

log

|x | lim e

(4.61) lim x x

+

− x→0

x→0

Esercizio 4.29. Calcolare il limite √ .

cos x

(4.62) lim (tang x)

π −

x→ 2 π

La funzione è definita in un intorno sinistro di . Si ha:

2

√ =

cos x lim

(4.63) lim (tang x) exp cos x log tang x

π

π −

− x→

x→ 2

2 √

= .

·

lim exp( cos x log sen x) exp(− cos x log cos x)

π −

x→ 2

Siccome √ √

= =

(4.64) lim cos x log cos x lim y log y 0

π − y→0

x→ 2

allora il limite richiesto vale 1.

Esercizio 4.30. Calcolare il limite √ + 2

n 1 n .

(4.65) lim 1

n n cos

n→+∞ n

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 29

Si ha: q

√ +

1 + +

1 1

1 1

+ −

1 1 o

2

n 1 n 2

n 2 2

2n n

= =

lim lim

lim

(4.66) 1 1

+

1 1

− −

n n cos 1 cos

n→+∞ n→+∞

n→+∞ − −

1 1 o

n n 2 2

2n n

1

− 2 = .

= 2n −1

lim 1

n→+∞ 2

2n

Esercizio 4.31. Calcolare il limite 3

1 cos x .

(4.67) lim x sen x cos x

x→0

la funzione è definita in un intorno bucato dell’origine. Si ha:

3 3

2 2

+

x x

2

− − − −

1 1 1 1

o(x )

3

− 1 1

1 cos x 2 2

= =

lim lim

(4.68) lim + 2

x sen x cos x cos x x(x o(x)) cos x x

x→0 x→0

x→0

2 + 2

x 2 x

− −

1 1 3 o(x ) 3

1 1 3

2 .

= = =

2

lim lim

2 2

cos x x cos x x 2

x→0 x→0

Esercizio 4.32. Calcolare il limite −

1 sen x .

(4.69) lim π

π − x

x→ 2 2 π

La funzione è definita in un intorno bucato del punto . Si ha:

2 π

π π

+ − −

1 cos x

− −

1 sen x

1 sen x 2

= =

2 2

(4.70) lim lim

lim π π π

π π

π − − −

x x x

x→ x→

x→ 2 2 2

2 2 2

2

+

y 2

− −

1 1 o(y )

1 cos y 2

= =

− −

lim lim

y y

y→0 y→0

2

y

= = .

2

lim 0

y

y→0

Esercizio 4.33. Calcolare il limite √ x −

2 1

(4.71) lim √

+ 4

x→0 −

1 cos x

La funzione è definita in un intorno destro dell’origine. Si ha:

√ √ √

√ + + √

x − −

1 1 x log 2 o( x) 1 x

2 4

= = = .

(4.72) lim lim log 2 2 log 2

√ +

+ 4 q q

x→0 x→0

1 cos x

+

2 2

x 4 x

4 2

− −

1 1 o(x )

2 2

Esercizio 4.34. Calcolare il limite √

+ .

2 −

(4.73) lim x x 1 x

x→+∞

30 G. DI FAZIO

+∞.

La funzione è definita in un intorno di Si ha:

r

 

√ !

1 1

1

+ = + = .

= +

 

2 2

2 − − −

(4.74) lim x x 1 x lim x 1 1 1

lim x 1

 

2 2

 

x 2x 2

x→+∞ x→+∞ x→+∞

Esercizio 4.35. Calcolare il limite 1/x

+ 2 −

1 x 1 .

(4.75) lim x

x→0

La funzione è definita in un intorno bucato dell’origine. Si ha:

( )

2

log 1+x

1/x

+ +

exp 1 1

2 2 2

− −

1 x 1 exp (x o(x )) 1

x x

= =

lim

(4.76) lim lim

x x x

x→0 x→0 x→0

x −

e 1

= = .

lim 1

x

x→0

Esercizio 4.36. Calcolare il limite 2x

2 !

3x x + .

(4.77) lim cos x

+ 2

1 x

x→+∞

La funzione è definita in un intorno bucato dell’origine. Si ha:

2x 2x 2x

2 2

! !

!

− −

3x x 3x x 3 +∞ .

+ + >

≥ →

−1

(4.78) x

cos

+ +

2 2

1 x 1 x 2

Esercizio 4.37. Calcolare il limite √ −x

1 e .

(4.79) lim √

+ x

x→0

La funzione è definita in un intorno bucato dell’origine. Si ha:

√ √ √

+

−x

− − −

1 e 1 (1 x o(x)) x

= = = .

lim

(4.80) lim lim 1

√ √ √

+ + +

x x x

x→0

x→0 x→0

Esercizio 4.38. Provare che il limite 2

1 cos x

(4.81) lim + 2

1 sen x

x→−∞

non esiste. π

{−2nπ} { −

Infatti, è sufficiente considerare le due successioni e 2nπ} ed applicare il

2

teorema di passaggio tra successioni e funzioni.

Esercizio 4.39. Calcolare il limite +

(1 cos x) tang x 5x .

(4.82) lim √ √

2

x→0 3 3

2 x x

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 31

La funzione è definita in un intorno bucato dell’origine. Si ha:

2 + + +

x

+ 2

− −

(1 (1 o(x )))(x o(x)) 5x

(1 cos x) tang x 5x = 2

lim lim

(4.83) √ √

√ √ +

2 3 3

− x o( x)

x→0 x→0

3 3

2 x x 3

3 + +

x

x 5x 5x

= = .

= 2 2

lim 0

lim √ √

3 3

− −

x x

x→0

x→0

Esercizio 4.40. Calcolare il limite √

√ 3

3 −

cos x cos x .

(4.84) lim 2

+ x

x→0

La funzione è definita in un intorno destro dell’origine. Si ha:

(4.85) √

√ √

√ 3 2 2/3 +

x)

( x 3

3

− − −

− −

cos x 1 (cos x 1)

1 1

3

3 −

x cos x

cos = =

2 2

lim lim lim

2 2 2

+ + +

x x x

x→0 x→0 x→0

2/3 + +

13

x − − −

− 1 (cos x 1) o(cos x 1)

1 2

= lim 2

+ x

x→0 2/3 + +

13 12

x 2 2

− ( x o(x )) 1 = .

=

= 2 2/3−2 −∞

− x

lim

lim 2 +

+ x 2

x→0

x→0

Esercizio 4.41. Calcolare il limite √ + .

2 −

(4.86) lim sen n 1 sen n

n→+∞

Applicando le formule di prostaferesi si trova √

√ + + +

√ 2 2 −

n 1 n n 1 n .

+ =

2 − sen

(4.87) sen n 1 sen n 2 cos 2 2

√ +1−n

2

n → | ≤

0 e cos n| 1, allora si ha:

Poichè 2 √ + = .

2 −

(4.88) lim sen n 1 sen n 0

n→+∞

Esercizio 4.42. Calcolare il limite πx(2 x−3 −

tang 1) .

(4.89) lim 2

(x 3)

x→3

Il punto 3 è di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Eseguiamo il

=

cambio di variabile x 3 t. Si ha:

(4.90) πx(2 π(t +

x−3 t

− −

tang 1) tang 3)(2 1)

=

lim lim

2 2

(x 3) t

x→3 t→0 πt(t + +

tang log 2 o(t)) (πt o(t)) log 2

= = = π .

lim lim log 2

2

t t

t→0 t→0

32 G. DI FAZIO

Esercizio 4.43. Calcolare il limite π

− − )

cos x tang(x .

2

(4.91) lim π

π −

x

x→ 2 2

π è di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Eseguiamo il

Il punto 2 π =

cambio di variabile x t. Si ha:

2 π

π +

− − −

cos(

cos x tang(x ) t) tang t

=

2 2

lim

(4.92) lim π

π −

x t

t→0

x→ 2 2 + +

− − −(t −

sen t tang t o(t)) (t o(t))

= =

lim lim

t t

t→0 t→0

+

−2t o(t)

= = .

−2

lim t

t→0

Esercizio 4.44. Calcolare il limite +

x log (1 x) .

2

(4.93) lim x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

+ +

x log (1 x) log(1 x)

= = .

2 − · −

lim 1 log e 1 log e

(4.94) lim 2 2

x x

x→0

x→0

Esercizio 4.45. Calcolare il limite +

log (1 2x) .

2

(4.95) lim −

3x cos x tang x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

+

log (1 2x) 2x

=

2

(4.96) lim lim log

2

− −

3x cos x tang x 3x cos x x

x→0 x→0 2 2

= =

log e lim log e lim

2 2 +

2

3 cos x 1 x 2

x→0 x→0 −

− o(x )) 1

3(1 2

2

= = .

log e lim log e

2 2

3 2

− x

2

x→0 2

Esercizio 4.46. Calcolare il limite !

1 1 .

(4.97) lim cotg x

+ x sen x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

! −

1 1 1 cos x 1

1 1 cos x

= = = .

(4.98) lim cotg x lim lim 2

+ + +

x sen x x sen x x 2

x→0 x→0 x→0

Esercizio 4.47. Calcolare il limite 1 1 .

(4.99) lim √ √

+ 3

x x

x→0

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 33

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Si ha:

!

1 1

1 1

= = +∞ .

− −

(4.100) lim lim 1

√ √ √

+ +

3 3 6

x x x x

x→0 x→0

Esercizio 4.48. Calcolare i seguenti limiti:

√ +

+ − −

− 1 2 cos x cos 2x cos 2x cos 3x

x 2 2 , , ,

lim lim lim

2 2

x x x

x→0 x→0 x→0

− − −

1 x tang x sen x 1 cos x

, , ,

lim lim lim

√ 3 2

x x cos x

3

1 x

x→0 x→0 x→0

+

4 2 1/x

1 cos x log(1 x ) e

,

, ,

lim

lim lim 2

3

x tang x x

2 x+x

x e −

x→0 x→0 x→0

+ 3

sen x x sen x

, .

lim

lim √

+

4 sen x x

x→0 x→0 −

x 3x

Esercizio 4.49. Calcolare il seguente limite

+

3 cosh x 3 cos x 3

x x 2x .

(4.101) lim 4 3x 3x

+ −

sen(2x )((cosh x) (cos x) ) log 7x

x→0

Esercizio 4.50. Calcolare il seguente limite .

(4.102)

4.9. Limite massimo e limite minimo per una successione. Abbiamo visto che il lim-

ite, quando esiste, è unico; tuttavia, spesso il limite può non esistere. Approfondiamo

quindi il problema dell’esistenza del limite. Vedremo che, quando il limite non esiste,

esistono sempre altri due sostituti del limite. Cominciamo con la seguente definizione.

{a } ∈

Definizione 4.7. Sia una successione a termini reali. l si dice un valore lim-

n

ite della successione se esiste un’estratta della successione convergente a l oppure se il

{a }.

valore l viene assunto infinite volte dalla successione Chiameremo poi classe limite

n }).

della successione l’insieme dei valori limite in e la indicheremo con L({a

R̃ n

La seguente proprietà è di immediata dimostrazione:

{a } ∈

Proposizione 4.2. Sia una successione a termini reali. Un elemento l è valore

n

limite della successione se e solo se risulta punto di accumulazione per l’insieme dei

valori assunti dalla successione. = n

Esempio 4.30. Consideriamo la successione di termine generale a (−1) . La classe

n

−1,1.

limite di questa successione è formata da punti, Consideriamo la successione di

= 1

termine generale a . In tal caso la classe limite contiene un solo elemento che è

n n

proprio il limite della successione. Consideriamo la successione dei numeri razionali. La

classe limite è in questo caso, l’intero asse reale.

Si ha:

34 G. DI FAZIO

Teorema 4.22. La classe limite di una successione è sempre chiusa in Il minimo della

R̃.

classe limite si chiama limite minimo mentre il massimo della classe limite si chiama

limite massimo.

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 35

5. L  ’    

La compattezza è un concetto importante e profondo che permette di comprendere bene

l’essenza dell’ insieme dei numeri reali. ⊂

Teorema 5.1 (Bolzano-Weierstrass). Sia X un insieme limitato dotato di infiniti

R

punti. Allora esiste almeno un punto di accumulazione per l’ insieme X.

>

Dimostrazione. Siano a inf X, b sup X. Suddividiamo l’intervallo [a, b] a metà. Sic-

come X è infinito, almeno una delle due metà dell’ intervallo conterrà infiniti punti di X.

Scegliamo quella (o una di quelle) che ha questa proprietà e suddividiamola ancora a metà.

Continuando il procedimento sempre con lo stesso criterio, dopo n iterazioni si arriva ad

una sequenza di intervalli incapsulati in cui ciascuno è ampio la metà del precedente i cui

estremi formano due sequenze, una crescente formata dagli estremi sinistri di tali inter-

{a } {b }.

valli e l’altra decrescente formata dagli estremi destri Le due successioni sono

n n

entrambe monotone e limitate e quindi convergenti evidentemente verso lo stesso limite.

ε, + ε[

Detto c tale limite esso è un punto di accumulazione per X. Infatti, se ]c c è un

intorno di c esso contiene almeno un intervallo di quelli ottenuti durante la costruzione

precedente. Tale intervallo contiene infiniti punti di X e quindi la tesi.

{a } {k }

Definizione 5.1. Data una successione ed una successione crescente di interi,

n n

{a } {k }.

consideriamo la successione a che si dirà estratta da mediante la legge

k n n

n

{a }

Teorema 5.2. Se è regolare allora lo è ogni sua estratta ed il limite dell’estratta

n {a }.

è lo stesso di quello della successione Viceversa, se tutte le estratte di una data

n

successione sono regolari ed hanno lo stesso limite, allora anche la successione data è

regolare.

Dimostrazione. Segue subito dal teorema di passaggio tra funzioni e successioni.

{a }

Lemma 5.1 (di compattezza). Da ogni successione limitata si può estrarre una

n

successione convergente.

Dimostrazione. Se nella successione un elemento si ripete infinite volte allora la suc-

cessione estratta è costante quindi convergente. In caso contrario, la successione è un

insieme che verifica le ipotesi del teorema di Bolzano - Weierstrass. Sia l un punto di

R

accumulazione della successione. Si ha:

> ∗

∀ε ∃ ∈ ∈

0 : n : a B (l)

N ε

n ε

ε = <

1 ∗

∈ |a − →

e scegliendo si ottiene una successione a B (l) per cui l| 1/n 0.

k k

1/n

n n n

Come conseguenza delle precedenti osservazioni possiamo dimostrare un utile criterio

di convergenza per le successioni. {a }

Teorema 5.3 (di convergenza di Cauchy). Una successione è convergente, se e solo

n

se > ν > ν, < ε

∀ε ∃ ∈ ∀n, |a − |

0 : : m a

N n m

36 G. DI FAZIO

Dimostrazione. La condizione è ovviamente necessaria. Proviamo che è sufficiente. La

ε = = ν +

successione è limitata. Basta infatti scegliere 1, m 1 da cui

+ < + > ν.

|a | ≤ |a − | |a | |a |, ∀n

a 1

ν+1 ν+1 ν+1

n n {a } →

Per il lemma di compattezza possiamo estrarre una successione convergente, a l.

k k

n n

Proviamo che l è il limite dell’ intera successione.

+

|a − ≤ |a − | |a − →

l| a l| 0,

n n k k

n n

→ ∞

per n da cui la tesi.

Naturalmente il teorema di Cauchy ha una formulazione analoga nel caso delle funzioni

di variabile reale che è la seguente: ⊂ → ∈

Teorema 5.4 (di Cauchy per le funzioni). Sia f : X e sia x DX. Allora,

R R, 0

condizione necessaria e sufficiente perché la funzione sia convergente al tendere di x ad

x è che

0 > δ > , , , < δ, < δ, < ε

0 00 0 00 0 00 0 00

∀ε ∃ ∀x ∈ |x −x | |x −x | ⇒ |

0 0 : x X, x x x f (x )− f (x )|

, 0 0 0

Lemma 5.2. Sia X Un punto x appartiene a X̄ se e soltanto se esiste una

R. 0 .

{x }

successione di elementi di X convergente ad x

n 0

=

∈ ∪ ∈

Dimostrazione. Sia x X̄. Poiché X̄ X DX, può accadere che x X. In tal caso

0 0

= ∀n ∈ ∈

basta porre x x Se invece x DX, applicando la definizione di punto di

N.

n 0 0

accumulazione, si ha che 1

<

∀n ∈ ∃ ∈ |x − |

x X : x x x

,

N n n 0 n 0 n

→ ∞

da cui, passando al limite per n segue la tesi. , ∈

Viceversa, se esiste una successione di punti di X convergente ad x allora x X̄.

0 0

Infatti, se cosı̀ non fosse, dal fatto che x non appartiene alla chiusura di X si avrebbe che

0

x non appartiene a DX e quindi dalla definizione di punto di accumulazione si avrebbe,

0 ε̄ > ε̄, + ε̄[∩X =

∃ − ∅.

0 : ]x x

0 0

D’altra parte, dalla definizione di limite

> ν < ε > ν

∀ε ∃ ∈ |x − | ∀n

0 : : x

N n 0

ε = ε̄

e scegliendo si ha l’assurdo. ⊂

Lemma 5.3. Condizione necessaria e sufficiente affinché X sia chiuso è che per ogni

R

successione convergente di elementi di X, il limite appartenga ad X. {x }

Dimostrazione. Supponiamo X chiuso e consideriamo una successione convergente n

di elementi di X. Per il Lemma 5.2, il suo limite x appartiene a X̄. Essendo X chiuso,

0

= ∈

X̄ X e quindi x X.

0 =

⊂ ∅

Viceversa proviamo che DX X per mostrare che X è chiuso. Se DX la tesi è

∈ ∈ ⊂ ∈

ovvia. In caso contrario sia x DX. Proviamo che x X. Poiché DX X̄, si ha x X̄

0

0 0 ,

{x }

e, per il Lemma 5.2, esiste una successione di elementi di X, diciamo convergente

n

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 37

.

ad x A questo punto la conclusione è immediata conseguenza dell’ ipotesi e quind X è

0

chiuso esattamente come si voleva.

Adesso possiamo introdurre la nozione di compattezza. Per mantenere l’esposizione il

più elementare possibile diamo la definizione di compattezza sequenziale che, nel seguito

sarà denominata semplicemente compattezza.

Definizione 5.2. Sia X Diciamo che X è (sequenzialmente) compatto se da ogni

R.

{x } {x }

successione di elementi di X si può estrarre una sottosuccessione convergente

n k n

∗ ∈

ad un elemento x X.

In vale il seguente criterio di compattezza.

R ⊂

Teorema 5.5. Sia X Condizioni necessarie e sufficienti affinché X sia compatto sono

R.

le seguenti: 1. X è chiuso; 2. X è limitato.

Dimostrazione. Le condizioni sono necessarie. Infatti supponiamo X compatto e provi-

amo 1. e 2. Proviamo che X è chiuso. Per questo mostriamo che risulta DX X. Se

= ∅ ∈ ⊂ ∈

DX la 1. è ovvia. Sia quindi x DX. Siccome DX X̄, segue che x X̄ e quindi,

0 0 .

{x }

per il Lemma 1 esiste una successione di punti di X, diciamo convergente ad x Dalla

n 0 {x }

definizione di compattezza segue allora che è possibile estrarre una sottosuccessione k n

.

∗ {x }

convergente ad un punto dell’ insieme X, diciamo x Per il fatto che è estratta da

k

n

=

{x } si ha x x e quindi la 1.

n 0

Per provare la 2. ragioniamo per assurdo supponendo per esempio che X sia non

limitato superiormente. Allora X non ha maggioranti e quindi

>

∀n ∈ ∃ ∈

x X : x n

N n n

{x }

da cui, passando al limite si deduce che è divergente positivamente. Questo è palese-

n {x }

mente in contrasto con la definizione di insieme compatto. Infatti, dalla successione n

si dovrebbe potere estrarre una sottosuccessione convergente ma, tale sottosuccessione ha

lo stesso limite di quella data e ciò conduce all’assurdo provando cosı̀ la 2. {x }

Viceversa, supponiamo vere 1. e 2. e proviamo che X è compatto. Sia una

n

successione di elementi di X. La successione è limitata perché contenuta in un insieme

{a }

limitato. Allora è possibile estrarre una successione convergente. Detto l il suo

k n

=

limite si ha l X̄ X perché X è chiuso e quindi X è compatto che è quanto si voleva.

Esempio 5.1. Utilizzando il criterio si riconosce subito che ogni intervallo [a, b] chiuso e

limitato è compatto mentre [a, b[, ]a, b], ]a, b[ non lo sono perché non chiusi. Similmente

non è compatto perché non limitato. Tuttavia gli intervalli chiusi e limitati non sono

R

i soli compatti di Infatti ogni insieme contenente un sol punto, o un numero finito di

R.

punti, risulta compatto perchè chiuso e limitato.

Esempio 5.2. Gli insiemi compatti in possono differire notevolmente dagli intervalli

R

chiusi e limitati. Si può infatti dimostrare che esiste un sottoinsieme chiuso dell’ insieme

= \ ∩

X (R [0, 1] dotato di infiniti punti.

Q)

Osservazione 5.1. Il criterio di compattezza non è valido in Infatti, basta considerare

Q.

= + .

1 n

{(1 }

l’insieme X ) X è limitato perché è contenuto nell’ intervallo [2, 3] ed è

n

chiuso in quanto privo di punti di accumulazione (in Tuttavia non è compatto perché

Q).

38 G. DI FAZIO

qualsiasi sua sottosuccessione (l’insieme stesso è una successione) non converge a nessun

elemento di Infatti se esistesse q limite di una sottosuccessione, guardando tale

Q. Q =

sottosuccessione come sottosuccessione in dovrebbe essere q e ma e quindi X

<

R Q

non è compatto.

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 39

6. F C

6.1. Definizioni. ⊂ →

Definizione 6.1. Sia X e sia f : X Diciamo che la funzione f è continua nel

R, R.

punto x X se si verifica una delle seguenti eventualità:

0

• Il punto x è isolato per l’insieme X;

0 =

• Il limite lim f (x) esiste ed inoltre lim f (x) f (x ). Diremo infine che f è

x→x x→x 0

0 0

continua in X se risulta tale in ogni punto di X.

Il concetto di funzione continua è quindi un concetto puntuale ovvero valido punto per

punto. Non c’è nessuna ragione che possa indurci a pensare che la continuità in un punto

implichi la continuità in altri punti dell’ insieme di definizione di una funzione.

A volte, per verificare la continuità di una funzione, può risultare utile ricorrere alle

successioni. Volendo procedere in questo modo è utile il teorema di passaggio tra le

successioni e le funzioni. Precisamente si ha: ⊂

Teorema 6.1 (caratterizzazione della continuità mediante le successioni). Sia f : X

→ ∈ ∩

e sia x X DX. Allora, condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione

R R 0

f risulti continua nel punto x è che per ogni successione di elementi di X convergente ad

0

, =

x si abbia lim f (x ) f (x ).

0 n→+∞ n 0

Esempio 6.1. Continuità delle funzioni elementari. Le seguenti funzioni sono continue in

tutti i punti del loro insieme di definizione:

polinomi, potenze,logaritmi, esponenziali, sen x, cos x.

=

Esempio 6.2. La funzione f : definita mediante la legge f (x) x−[x], è continua

R R

in tutti i punti tranne quelli di ascissa intera dove è continua soltanto dalla destra.

Esempio 6.3. La funzione f : definita mediante la legge

R R

 x se x è razionale,

= 

f (x) 

−x se x non è razionale

è continua soltanto nell’origine. →

Esempio 6.4. La funzione (di Dirichlet) f : definita mediante la legge

R R

1 se x è razionale

= 

f (x) 

0 se x non è razionale

non è continua in nessun punto di R.

Dai risultati sui limiti delle funzioni segue immediatamente che:

Teorema 6.2. Ogni combinazione lineare di funzioni continue è continua; il prodotto di

funzioni continue è una funzione continua; il reciproco di una funzione continua (e non

nulla) è una funzione continua; il quoziente di due funzioni continue (con denominatore

non nullo) è una funzione continua; il massimo (e il minimo) tra due funzioni continue è

una funzione continua; la funzione composta mediante funzioni continue è continua.

40 G. DI FAZIO

Definizione 6.2. Da ora in poi l’insieme di tutte le funzioni continue in X sarà denotato

0

con il simbolo C (X) quindi dire che una data funzione f è continua in X sarà come dire

0

che f C (X).

Se una funzione non è continua in un punto del suo insieme di definizione, diremo che

è discontinua in quel punto.

Pensando alla definizione, si può verificare una sola delle seguenti eventualità:

• ∃ lim f (x) f (x ); In questo caso diremo x un punto di discontinuità elim-

,

x→x 0 0

0

inabile o fittizia;

+ +

− −

• ∃ ≡ ∃ ≡

f (x ) lim f (x), f (x ) lim f (x) entrambi finiti ma f (x ) f (x );

+ ,

x→x x→x

0 0 0 0

0 0

in questo caso il punto x si dice un punto di salto per la funzione ed il numero

0

+

= −

S (x ) f (x ) f (x ) si dice ampiezza del salto;

0 0 0

+

• ), esistono ma non sono finiti; in questo caso il punto x si dice punto

) e f (x

f (x 0

0

0

di infinito per la funzione; +

• almeno uno tra f (x ) e f (x ), non esiste; in questo caso la discontinuità si suole

0 0

chiamare di seconda specie. ϕ →

Nel caso della discontinuità fittizia, si può definire una nuova funzione : X R

mediante la legge  ∈

f (x), se x X, x x ;

,

 0

ϕ(x) = 

 =

lim f (x), se x x

 x→x 0

 0

ϕ .

ed in questo modo la funzione risulta continua nel punto x Si dice allora che la

0

ϕ

funzione è il prolungamento per continuità della funzione f (x).

Esempio 6.5. La funzione f : definita mediante la legge

R R  ,

sen x se x 0;

,

=  x

f (x)  =

0, se x 0

ha una discontinuità eliminabile nell’ origine.

U →

Esempio 6.6. La funzione (di Heaviside) : definita mediante la legge

R R

 ≥

1, x 0;

= 

U(x)  <

0, x 0

ha una discontinuità di salto nell’ origine.

Esempio 6.7. La funzione f : definita mediante la legge

R R  ,

1 ≥

x 0;

=  x

f (x)  <

0, x 0

ha un punto di infinito nell’ origine.

Esempio 6.8. La funzione f : definita mediante la legge

R R  ,

1 x 0;

sen ,

=  x

f (x)  =

0, x 0

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 41

ha una discontinuità di seconda specie nell’ origine.

Nel capitolo sui limiti abbiamo visto che le funzioni monotone ammettono sempre

limite – finito o no – ma, in generale non sono continue. Vale infatti il seguente

→ ∈

Teorema 6.3. Sia f : [a, b] una funzione monotona e sia x [a, b]. Allora, se in

R 0 =

∈]a,

x b[ la funzione non è continua, il punto x è di salto per la funzione f. Se x a,

0 0 0

=

oppure x b, il punto risulta una discontinuità eliminabile per f.

0

Dimostrazione. Infatti, consideriamo, per fissare le idee, il caso in cui la funzione f (x)

è crescente ed il punto x è interno all’intervallo ]a, b[. Dal teorema sulle funzioni

0

+ = =

monotone, si ha: f (x ) inf f (x), mentre f (x ) sup f (x). Quindi, siccome

,b]

]x [a,x [

0 0

0 0

risulta +

= = ,

− ≤

(6.1) f (x ) sup f (x) f (x ) inf f (x)

0 0 ,b]

]x

[a,x [ 0

0

la funzione risulta ovviamente continua quando vale l’uguaglianza mentre è discontinua,

con discontinuità di tipo salto, in caso contrario. Contiamo adesso le discontinuità della

funzione. Visto che la funzione può avere soltanto discontinuità di tipo salto, poniamo

= −

S f (b) f (a) e consideriamo la possibilità che f (x) abbia salti di ampiezza maggiore

o uguale ad uno. Evidentemente, se salti di questa ampmiezza esistono, essi saranno in

numero finito, anzi in quantità non superiore al numero [S ]. Similmente, se consideriamo

12

gli eventuali salti di ampiezza compresa tra e 1 essi certamente saranno in numero finito

e in quantità certo non superiore al numero 2[S ]. Continuando in questo modo otterremo

una lista nella quale, ad ogni voce corrisponde un numero finito di punti nei quali la

funzione può avere un numero finito di discontinuità e quindi l’insieme di tali punti può

essere al più numerabile.

6.2. Proprietà fondamentali delle funzioni continue. In questo paragrafo raccogliamo

alcuni risultati in cui si fa uso esplicito del concetto di continutà. I risultati che seguono

saranno usati ampiamente nel seguito anche senza riferimento esplicito.

⊂ → ∈ ∩

Teorema 6.4 (di permanenza del segno). Sia f : X e sia x X DX.

R R, 0

Supponiamo che la funzione f è continua nel punto x e consideriamo due numeri h, k

0

< < δ > < < δ, + δ[.

∃ ∀x ∈]x −

tali che h f (x ) k. Allora 0 tale che h f (x) k, x

0 0 0

Dimostrazione. Il teorema segue immediatamente dalla definizione di continuità. Anzi

è sufficiente usare il teorema di permanenza del segno già noto per funzioni, ponendo

=

l f (x ).

0 →

Teorema 6.5 (di esistenza degli zeri). Sia f : [a, b] una funzione continua in tutti

R > <

i punti dell’intervallo di definizione e supponiamo che f (a) 0, f (b) 0. Allora, esiste

=

∈]a,

almeno un punto c b[ tale che f (c) 0.

Dimostrazione. Utilizziamo la stessa tecnica già adoperata nella dimostrazione del teore-

ma di Bolzano - Weierstrass. Dividiamo l’intervallo in due metà e valutiamo la funzione

nel punto di mezzo. Se in quel punto la funzione è nulla abbiamo terminato. In caso

contrario, continuamo dividendo a metà solo quell’ intervallo dei due agli estremi del

quale la funzione assume valori di segno opposto. Procedendo in questa maniera, dopo n

42 G. DI FAZIO

ripetizioni otterremo un sequenza di intervalli incapsulati, ognuno la metà del precedente

>

{a }

caratterizzati dal fatto che, detta la sequenza degli estremi sinistri si ha f (a ) 0 men-

n n

< =

{b } ∃

tre detta la sequenza degli estremi destri si ha f (b ) 0. Naturalmente, lim a

n n n

= =

≡ ≤ ≤

lim b c. Proviamo che f (c) 0. Per continuità si ha: 0 lim f (a ) lim f (b ) 0

n n n

=

quindi f (c) 0. →

Corollario 6.1 (assunzione dei valori intermedi). Sia f : (a, b) una funzione

R

continua. Allora ] inf f, sup f [⊆ f (a, b).

γ ∈] ∈

Dimostrazione. Sia inf f, sup f [. Proviamo che esiste un punto c (a, b) tale che

= γ.

f (c) Dalla seconda proprietà dell’estremo inferiore, con una opportuna scelta di

esiste x (a, b) tale che

1 < + γ .

(6.2) f (x ) inf f

1

Applichiamo adesso la seconda proprietà dell’estremo superiore, con una opportuna scelta

di e quindi possiamo dire che esiste x (a, b) tale che

2

> γ .

− ≥

(6.3) f (x ) sup f

2

Possiamo applicare a questo punto, il teorema di esistenza degli zeri alla funzione f (x)−γ

da cui la tesi. π π

i h

, =

− →

Esempio 6.9. La funzione f : definita mediante la legge f (x) tang x

R

2 2

è continua perché quoziente tra funzioni continue. Per il corollario precedente si ha:

π

π h

i , = = ∈

− ovvero l’equazione tang x y ammette soluzione per ogni y

f R R.

2 2

6.3. Compattezza e continuità. Innumerevoli sono le applicazioni del concetto di com-

pattezza. In questo breve paragrafo mettiamo in luce alcune conseguenze del concetto di

compattezza applicato alle funzioni continue.

⊂ →

Teorema 6.6. Sia K compatto e sia f : K una funzione continua in K. Allora,

R R

f (K) è compatto. {y }

Dimostrazione. Sia una successione di punti di f (K). Dobbiamo provare che da essa

n

si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento di f (K). Per il fatto

= .

∈ ∈

che y f (K) esiste x K tale che f (x ) y Per l’ ipotesi di compattezza di K,

n n n n

{x } {x }

dalla successione si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto

n k n

∗ ∈

x K. Poiché la funzione f (x) è continua, si ha:

= ∗ ∈

lim f (x ) f (x ) f (K)

k n

n→∞

= .

{y }

da cui la tesi perché y f (x ) è un’ estratta di

k k n

n n ⊂ →

Teorema 6.7 (di Weierstrass). Sia K compatto e sia f : K una funzione

R R

continua in K. Allora, la funzione è dotata di massimo e di minimo in K, ovvero

= =

∃x ∈ ∃x ∈

K : f (x ) sup f (x), K : f (x ) inf f (x).

1 1 2 2 K

K

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 43

Dimostrazione. Per il teorema precedente, f (K) è compatto e quindi, in particolare, è

chiuso. Poichè l’estremo superiore e l’estremo inferiore di f (K) sono elementi di f (K),

si ha sup f (x), inf f (x) f (K) da cui segue la tesi.

K

K ⊂ →

Teorema 6.8 (di continuità della funzione inversa). Sia K compatto e sia f : K

R R

−1 →

una funzione continua ed iniettiva in K. Allora, la funzione inversa f : f (K) K è

continua in f (K). −1 è continua in f (K) proviamo che tale

Dimostrazione. Per provare che la funzione f

risulta in ogni punto di f (K). Sia perciò y f (K). Usando la caratterizzazione del-

0

la continuità attraverso le successioni dobbiamo provare che, comunque si assegni una

,

{y }

successione di punti di f (K) che sia anche convergente a y si abbia:

n 0

=

−1 −1

(6.4) lim f (y ) f (y ).

n 0

n→∞ = .

{y } {x }

Data la successione in f (K), esiste di punti di K tale che f (x ) y Chiamiamo

n n n n

= .

x quel punto (unico per l’iniettività di f (x)) tale che f (x ) y Provare la (6.4) equivale

0 0 0

a provare che = .

(6.5) lim x x

n 0

n→∞ {x } {x }

Ciò sarà acquisito se proveremo che qualsiasi estratta della successione è con-

k n

n

.

vergente al punto x Dal teorema sulla convergenza delle successioni estratte seguirà

0

quanto desideriamo. ∗

{x }

Se è una tale estratta, il suo limite x è certamente finito perchè K è limitato e

k n

appartiene a K perché K è chiuso. Ricordando che f (x) è continua si ha:

= ∗

lim f (x ) f (x )

k n

n→∞

ovvero = ∗

lim y f (x )

k n

n→∞

, .

{y } {y }

ma, essendo estratta da risulterà convergente allo stesso y Per unicità del

k n 0

n = = ∗

limite si ha dunque y f (x ) f (x ) e, poiché la funzione f (x) è iniettiva, segue

0 0

= .

∗ {x }

x x Abbiamo quindi provato la tesi perché ogni estratta della successione risulta

0 n

= .

convergente al punto x e pertanto lim x x

0 n→∞ n 0

Esempio 6.10. La funzione π π

,

→ −

arcsen y : [−1, 1] 2 2

è continua in virtù del teorema appena dimostrato come anche la funzione arccos y.

π π

i h

, =

− →

Esempio 6.11. La funzione f : definita ponendo f (x) tang x, risulta

R

2 2

invertibile perché strettamente monotona quindi iniettiva. Detta

π π

,

−1 ≡ → −

f (y) arctang y : R 2 2

la funzione inversa, proviamo che è continua in Naturalmente si nota subito che non

R. ∈

sono soddisfatte le ipotesi del teorema precedente. Tuttavia, sia y Proviamo che la

R.

0

π π

i h

. , = ,

funzione inversa è continua in y Detto x l’unico elemento di tale che f (x ) y

0 0 0 0

2 2

44 G. DI FAZIO

π π

i h

δ > δ, + δ] , .

− ⊂ −

[x

scegliamo 0 in modo che x A questo punto applichiamo il

0 0 2 2

teorema prendendo come compatto, l’intervallo chiuso e limitato appena costruito e come

funzione, la restrizione di f (x) a tale compatto. Dal teorema segue che la funzione inversa

è continua in y e, data l’arbitrarietà di y segue che è continua in R.

0 0

6.4. La continuità uniforme.

⊂ →

Definizione 6.3. Sia f : X Diciamo che la funzione f è uniformemente

R R.

continua in X se > δ > < , < δ .

0 00 0 00

∀ ∃ | − ∀x ∈ |x − |

(6.6) 0 0 : f (x ) f (x )| X : x

Osservazione 6.1. Naturalmente la continuità uniforme implica la continuità. Il concetto

di continuità uniforme è un concetto globale, contrariamente a quello di continuità che è

un concetto locale.

In generale una funzione continua non è uniformemente continua. = 2

Esempio 6.12. Consideriamo la funzione f : definita dalla legge f (x) x . La

R R

funzione è continua in tutti i punti del suo campo di esistenza ma non è uniformemente

=

0

continua. Infatti, supponiamo per assurdo che sia uniformemente continua e siano x

δ

= +

00

x, x x . Si ha:

2 δ δ

= = + +∞

0 00 02 002

| − |x − | →

(6.7) f (x ) f (x )| x 2x

2 2

+∞

se x contro la definizione di uniforme continuità.

Vediamo tuttavia qualche caso in cui si può affermare che la continuità puntuale implica

quella uniforme. Il primo caso è quello in cui la funzione f è continua in tutti i punti di

un insieme compatto. Per fissare le idee diamo la seguente –suddividere

Definizione 6.4. Sia f : [a, b] Diciamo che l’intervallo [a, b] si può

R.

se è possibile decomporre l’intervallo in un numero finito di sottointervalli a due a due

privi di punti interni a comune, in modo tale che l’oscillazione della funzione f (x) ristretta

.

a ciascuno di essi risulti minore di un assegnato numero positivo

Il risultato che segue risulta utile per il teorema successivo. >

Lemma 6.1. Sia f : [a, b] una funzione continua e sia 0. Allora l’intervallo

R

–suddividere.

[a, b] si può >

Dimostrazione. Sia 0 fissato e sia

= α] .

{α ∈]a, −

(6.8) A b] : [a, si suddivide}

=

Se proviamo che A [a, b] abbiamo dimostrato il teorema. Per prima cosa proviamo che

l’insieme A non è vuoto. Ricordiamo che la funzione f è continua in tutti i punti di [a, b]

ed in particolare lo è nel punto a. Ciò significa che

> δ > + δ[ < .

∀ ∃ ∀x ∈ | −

(6.9) 0 0 : [a, a f (x) f (a)| 2

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 45

, + δ[

0 00 ∈

Da ciò segue immediatamente che, se x x [a, a allora

+ <

0 00 0 00

| − ≤ | − | −

(6.10) f (x ) f (x )| f (x ) f (a)| f (x ) f (a)|

e quindi < .

0 00

| −

(6.11) sup f (x ) f (x )|

,x

0 00 ≤a+δ

a≤x

Osserviamo che A è un insieme limitato in quanto contenuto nell’intervallo [a, b] che è a

= =

sua volta limitato. Sia dunque c sup A e proviamo che c max A. Usiamo il fatto che

la funzione f è continua nel punto c e che il punto c è l’estremo superiore di A. Si ha:

> δ > < δ , < .

∀ ∃ ∀x ∈ |x − | −

(6.12) 0 0 : [a, b], : c| f (x) f (c)|

β < β.

Per la seconda proprietà dell’estremo superiore esiste A tale che c−δ L’intervallo

β] –suddivide β –suddivide β

∈ ∈]c −

[a, si perchè A mentre l’intervallo [β, c] si perchè

δ, –suddividere.

c[ e quindi anche l’intervallo [a, c] si può Ciò prova che c è un elemento

=

di A e quindi il massimo. Per concludere la dimostrazione proviamo che c b. Se fosse

< δ β̄]

c b, dato il della continuità nel punto c avremmo che l’intervallo [a, si potrebbe

–suddividere β̄ + δ[. –suddivide

∈]c, ∈

per ogni c Infatti, l’intervallo [a, c] si perchè c A

β̄] –suddivide

e l’intervallo [c, si perchè la funzione è continua in c. Naturalmente, ciò

=

va in contrasto con il fatto che c è il massimo di A e quindi c b da cui la tesi.

Come conseguenza di questo risultato abbiamo l’importantissimo

Teorema 6.9 (Cantor). Ogni funzione continua in un insieme compatto è ivi uniforme-

mente continua.

Dimostrazione. Supponiamo, per semplicità, che la funzione sia continua su un intervallo

del tipo [a, b]. in virtù del teorema precedente sappiamo che, comunque si assegni un

, –suddividere.

numero positivo l’intervallo si può Proviamo che la funzione è uni-

δ

formemente continua in [a, b]. Chiamiamo la massima delle ampiezze degli intervalli

, < δ.

0 00 0 00

|x − |

in cui [a, b] si suddivide. Siano x x due punti dell’intervallo [a, b] tali che x

δ

Se entrambi appartengono allo stesso intervallo di ampiezza non superiore a si ha:

< <

0 00

| −

f (x ) f (x )| per il teorema precedente. Se invece i punti appartengono a

2

due intervalli adiacenti del tipo precedente (non ci sono altre possibilità) allora, detto x̄ il

punto comune ai due intervalli, risulta + < .

0 00 0 00

| − ≤ | − | −

(6.13) f (x ) f (x )| f (x ) f ( x̄)| f (x ) f ( x̄)|

Un altro caso in cui la continuità implica la continuità uniforme è il seguente:

+∞[→

Teorema 6.10. Sia f : [a, una funzione continua. Supponiamo che f ammette

R +∞

asintoto obliquo o orizzontale per x . Allora f è uniformemente continua in

+∞[.

[a,

Dimostrazione. Proviamo la tesi nel caso che l’asintoto sia obliquo ovvero a 0. Il caso

,

=

a 0 è ancora più semplice. Per definizione di asintoto obliquo, possiamo scrivere,

= + + , +∞ .

(6.14) f (x) ax b o(1) x

46 G. DI FAZIO

ϕ(x) = −

La funzione f (x) ax è convergente all’infinito e quindi possiamo applicare il

criterio di Cauchy sulla convergenza.

> % > ϕ(x < , , > % .

0 00 0 00

∀ ∃ |ϕ(x − ∀x

(6.15) 0 0 : ) )| x

>

Proviamo la definizione di uniforme continuità. Fissato 0,distinguiamo tre casi:

, %].

0 00

1. Supponiamo x x appartenenti all’intervallo [a, In tal caso la tesi è acquisita

per il teorema di Cantor.

, > %.

0 00

2. Supponiamo x x In tal caso, dalla (6.15) si ha:

ϕ(x + < + <

0 00 0 00 0 00

| − ≤ |ϕ(x − |a||x − | |a|δ

f (x ) f (x )| ) )| x 2

δ <

pur di scegliere .

2|a|

< % > %.

0 00

3. x mentre x Questo caso si prova facendo uso dei due precedenti.

Un altro caso semplice ma interessante in cui la continuità puntuale implica quella

uniforme è il seguente: +

→ →

Teorema 6.11. Sia f :]a, b] ivi continua. Se f è convergente se x a allora f è

R

uniformemente continua in ]a, b].

Dimostrazione. Visto che la funzione è convergente possiamo prolungarla per continuità

a tutto [a, b] e quindi applicare il teorema di Cantor.

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 47

7. C D     

Sono molteplici le circostanze nelle quali, piuttosto che misurare valori di una grandez-

za, interessa valutare la rapidità con la quale tale grandezza varia nel tempo. Per questo

occorre valutare la variazione della grandezza in esame rispetto alla variazione di tempo.

Ciò è matematicamente espresso attraverso il concetto di derivata. Vediamo rigorosa-

mente di precisare tutto ciò.

7.1. Definizione di Derivata e prime proprietà. δ > + <

∈]a, ∈]a, ∀0

Definizione 7.1. Sia f :]a, b[→ x b[. Allora esiste 0 : x h b[,

R, 0 0

< δ.

|h| Se esiste finito il + −

f (x h) f (x )

0 0 0

lim f (x )

0

h

h→0

diciamo che la funzione f è derivabile nel punto x ed il valore del limite si chiama

0

.

derivata della funzione f nel punto x 0

Da semplici considerazioni geometriche si ottiene subito il fatto che la derivata di una

funzione f in un punto x è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della

0 ,

funzione f nel punto di coordinate (x f (x )). L’equazione della retta tangente è quindi

0 0

= + 0 −

y f (x ) f (x )(x x ).

0 0 0

Dire che la funzione è derivabile nel punto x equivale a dire che

0

+ = + +

0 →

f (x h) f (x ) h f (x ) o(h), h 0.

0 0 0

ovvero, = + + .

0

− − →

f (x) f (x ) (x x ) f (x ) o(x x ), x x

0 0 0 0 0

Nel caso in cui il rapporto incrementale ha un salto nel punto x diciamo che la funzione

0

.

presenta un punto angoloso in x Se invece i limiti destro e sinistro del rapporto incre-

0

mentale sono infiniti al tendere di x ad x allora diciamo che f ha una cuspide nel punto

0

.

x

0 =

→ ∀x ∈

Esempio 7.1. f : definita mediante la legge f (x) k, è derivabile in

R R, R

=

0 ∀x ∈

tutti i punti di e risulta f (x) 0

R R. = ,

n

→ ∀x ∈ ∈

Esempio 7.2. f : definita mediante la legge f (x) x con n è

R R, R N

=

0 n−1 ∀x ∈

derivabile in tutti i punti di e risulta f (x) nx

R R.

Infatti, n n

! !

n n

X X

=

+ = k

n−k k n−k

− h x x h

f (x h) f (x ) x

0 0 0

0 0

k k

k=1

k=0

e quindi n

+ !

f (x h) f (x ) n

X

0 0 = = .

k n−1

n−k

lim lim x h nx

0 0

h k

h→0 h→0 k=1 α

+∞[→ = , ∀x ∈

Esempio 7.3. La funzione f :]0, definita mediante la legge f (x) x

R, R

α−1

α > +∞[ = αx +∞[.

0 ∀x ∈]0,

con 0 è derivabile in tutti i punti di ]0, e risulta f (x)

48 G. DI FAZIO

Infatti, α

+

α α h

+

+ −

1 1

(x h) x

f (x h) f (x ) 0 α x

0 0 = =

0 0

(7.1) x 0

h h h

α

+ h −

1 1

α−1 α−1

x

= αx .

0 →

x 0 0

h

x 0 = ,

x

→ ∀x ∈

Esempio 7.4. La funzione f : definita mediante la legge f (x) a

R R, R

> =

0 x ∀x ∈

con a 0, a 1 è derivabile in tutti i punti di e risulta f (x) a log a

, R R.

Infatti, +h

+ x x h

− − −

f (x h) f (x ) a a a 1

0 0

0 0 = = .

x x

(7.2) a a log a

0 0

h h h

> +∞[→

Esempio 7.5. Sia a 0, a 1. La funzione f :]0, definita mediante la legge

, R,

= +∞[ +∞[ =

0

∀x ∈]0,

f (x) log x, è derivabile in tutti i punti di ]0, e risulta f (x)

a +∞[.

1 ∀x ∈]0,

x log a

Infatti, +

+ −

log (x h) log x

f (x h) f (x ) 0 0

0 0 = a a

(7.3) h h + h

+ log(1 )

1 log(x h) log x 1 1

x

0 0

= = .

0 →

log a h log a h x log a

0

=

→ ∀x ∈

Esempio 7.6. La funzione f : definita mediante la legge f (x) sen x,

R R, R

=

0 ∀x ∈

è derivabile in tutti i punti di e risulta f (x) cos x

R R.

Infatti, + + +

− − −

f (x h) f (x ) sen(x h) sen x sen x cos h cos x sen h sen x

0 0 0 0 0 0 0

= =

(7.4) h h h

1 cos h sen h

+ .

= →

− cos x cos x

sen x 0 0

0 h h =

→ ∀x ∈

Esempio 7.7. La funzione f : definita mediante la legge f (x) cos x,

R R, R

=

0 − ∀x ∈

è derivabile in tutti i punti di e risulta f (x) sen x

R R.

Infatti, + +

− − − −

f (x h) f (x ) cos(x h) cos x cos x cos h sen x sen h cos x

0 0 0 0 0 0 0

= =

(7.5) h h h

1 cos h sen h

= .

− − → −

cos x sen x sen x

0 0 0

h h .

∈]a,

Teorema 7.1. Sia f :]a, b[→ sia x b[ e sia f derivabile nel punto x Allora f è

R, 0 0

.

continua in x 0

Dimostrazione. Infatti, −

f (x) f (x )

0

= =

0

− − → ·

(7.6) f (x) f (x ) (x x ) f (x ) 0 0.

0 0 0

x x

0

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 49

Osservazione 7.1. Il teorema non è invertibile. Infatti basta considerare la funzione

= |x |,

f (x) nell’origine. ∈]a,

Definizione 7.2. Sia f :]a, b[→ una funzione derivabile in un punto x b[. Dalla

R 0

definizione di derivata si ha immediatamente che esiste A :

R

+ = + + →

f (x h) f (x ) Ah o(h), h 0.

0 0

ϕ ϕ(h) =

→ ·

La funzione lineare : definita mediante la legge A h, si dice differenziale

R R

di f nel punto x e si indica on il simbolo d f.

0 = 0

Osserviamo che, dalla definizione di derivata si ha: A f (x ) e che viceversa, se vale

0

. =

la formula la funzione è derivabile in x A volte, per comodità, si usa scrivere h dx e

0

quindi + = + +

0

f (x dx) f (x ) f (x )dx o(dx).

0 0 0

Mettiamo in relazione il concetto di derivabilità e quello di differenziabilità. ∈]a,

Proposizione 7.1. Sia f :]a, b[→ una funzione differenziabile in un punto x b[.

R 0

= 0 −

Allora f è derivabile in x e risulta L(x) f (x )(x x ). Viceversa, se la funzione è

0 0 0

derivabile in x allora essa è anche differenziabile.

0

Dimostrazione. Supponiamo la funzione differenziabile in x . Si ha:

0

+ + 0

− − −

f (x h) f (x ) f (x h) f (x ) f (x )h

0 0 0 0 0

= + .

0 0

(7.7) f (x ) f (x )

0 0

h h

Il viceversa è ovvio.

7.2. Algebra delle derivate. Note le derivate di alcune funzioni elementari e noto il

legame tra l’operazione di derivazione e le altre operazioni aritmetiche, è possibile calco-

lare le derivate di qualsiasi altra funzione. Questo è lo scopo del presente paragrafo. ∈

Teorema 7.2. Siano f, g :]a, b[→ e supponiamole entrambe derivabili nel punto x

R, 0

]a, b[. Allora: +

1. la funzione f g è derivabile nel punto x e risulta

0

+ = +

0 0 0

( f g) (x ) f (x ) g (x ),

0 0 0

·

2. la funzione f g è derivabile nel punto x e risulta

0

= +

0 0 0

·

( f g) (x ) f (x )g(x ) f (x )g (x ),

0 0 0 0 0

3. se la funzione f è diversa da zero in x e derivabile nel punto x allora la funzione

0 0

1 è derivabile e risulta

f 0 0

!

1 f (x )

0

= .

(x )

0 2

f f (x )

0

Dimostrazione. Immediata dalla definizione di derivata.

50 G. DI FAZIO

=

⊂ → ∈ ⊂ →

]a, ]c,

Teorema 7.3. Sia f : b[ x X e g : d[ y f (x ).

R R, R R,

0 0 0

Supponiamo che la funzione f (x) sia derivabile in x e che la funzione g(y) sia derivabile

0

.

(]a, ⊆ →

]c, ]a,

in y . Supponiamo inoltre che f b[) d[ Allora la funzione u : b[ R,

0 = ∀x ∈ ]a,

definita ponendo u(x) g( f (x)), b[ risulta derivabile nel punto x e si ha:

0

=

0 0 0

·

u (x ) g ( f (x )) f (x ).

0 0 0

Dimostrazione. Dimostriamo il teorema ricorrendo alla definizione di derivata. Calco-

.

liamo cioé il limite del rapporto incrementale relativo alla funzione u(x) nel punto x

0

Poniamo  g(y)−g(y )

0 y y ;

,

 0

γ(y) =  y−y

 0 =

0

 g (y ) y y .

 0 0

γ

La funzione risulta continua perché la funzione g è derivabile ed inoltre si ha:

− −

u(x) u(x ) f (x) f (x )

0 0

= γ( = γ( =

0 0 0

lim lim f (x)) f (x )) f (x ) g ( f (x )) f (x )

0 0 0 0

− −

x x x x

x→x x→x

0 0

0 0

che è quanto si voleva.

Esercizio 7.1. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:

, , ,

x cos x log x |x|.

x (sen x) (log x) log

 2 |x|,

sen x log x 0;

,

= 

f (x)  =

0, x 0.

 ,

1

3

− x 1;

(x 1) exp sen ,

=  x−1

f (x)  =

0, x 1.

  ,

1 x 0;

sen x sen ,

=  x

f (x)  =

0, x 0.

Teorema 7.4. Sia f :]a, b[→ una funzione continua ed iniettiva che risulti anche deriv-

R 0 −1

∈]a,

abile in un punto x b[. Supponiamo inoltre che f (x ) 0. Allora la funzione f

,

0 0

=

risulta derivabile in y f (x ) e risulta

0 0 !

d 1

=

−1

f (y )

0 0

dy f (x )

0

Esempio 7.8. Derivata di arcsen x, arccos x, arctang x.

7.3. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale.

⊂ → ∈

Definizione 7.3. Sia f : X x X. Diciamo che la funzione presenta un

R R, 0

δ >

massimo relativo nel punto x se esiste 0 tale che

0 ≤ ∀x ∈ ∩

f (x) f (x ), X B (x ).

δ

0 0 δ >

Diciamo che la funzione presenta un minimo relativo nel punto x se esiste 0 tale che

0

≤ ∀x ∈ ∩

f (x ) f (x), X B (x ).

δ

0 0

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 51

→ ∈]a,

Teorema 7.5 (Fermat). Sia f : (a, b) una funzione derivabile in un punto x b[

R 0

=

0

nel quale f presenta un massimo o un minimo relativo. Allora f (x ) 0.

0

Dimostrazione. Per fissare le idee supponiamo che il punto x sia di minimo. Il rapporto

0

incrementale della funzione f nel punto x risulta quindi positivo in un intorno destro di

0

x e negativo in un intorno sinistro da cui la tesi per definizione di derivata.

0 →

Teorema 7.6 (Rolle). Sia f : [a, b] una funzione continua in [a, b], derivabile in

R

= =

0

∈]a,

]a, b[ e tale che f (a) f (b). Allora esiste c b[ tale che f (c) 0.

Dimostrazione. Se il massimo ed il minimo della funzione sono assunti sulla frontiera

dell’ intervallo allora la funzione è costante e la conclusione è ovvia. In caso contrario

almeno uno dei due punti è interno all’intervallo di definizione e quindi la tesi è immediata

dal teorema di Fermat. →

Teorema 7.7 (Cauchy). Siano f, g : [a, b] due funzioni continue in [a, b] e derivabili

R

∈]a,

in ]a, b[. Allora esiste c b[ tale che =

0 0

− −

( f (b) f (a))g (c) (g(b) g(a)) f (c).

ω →

Dimostrazione. La funzione : [a, b] definita mediante la legge

R

ω(x) = − − −

( f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a)) f (x)

verifica le ipotesi del teorema di Rolle. →

Teorema 7.8 (Lagrange). Sia f : [a, b] una funzione continua in [a, b] e derivabile

R

∈]a,

in ]a, b[. Allora esiste c b[ tale che = 0

− −

f (b) f (a) (b a) f (c).

=

Dimostrazione. Basta prendere g(x) x nel teorema precedente.

=

Osservazione 7.2. Se f (a) f (b) si ottiene il teorema di Rolle.

7.4. Alcune conseguenze del teorema di Lagrange. →

Teorema 7.9 (funzioni a derivata nulla). Sia f : (a, b) una funzione continua in

R

0 ≡

(a, b) e derivabile in ]a, b[. Supponiamo che f (x) 0. Allora la funzione è costante in

(a, b). , =

∈]a,

Dimostrazione. Siano x x b[. Proviamo che f (x ) f (x ). Basta applicare il

1 2 1 2

,

teorema di Lagrange alla restrizione di f all’intervallo [x x ]. Si ottiene,

1 2

, = = .

0

∃ ∈]x − −

(7.8) c x [ : f (x ) f (x ) f (c)(x x ) 0

1 2 1 2 1 2

Teorema 7.10 (caratterizzazione della stretta monotonia). Sia f : (a, b) una funzione

R

continua in (a, b) e derivabile in ]a, b[. Condizioni necessarie e sufficienti affinché la

funzione f risulti strettamente crescente in (a, b) sono le seguenti:

0 ≥ ∀x ∈]a,

1. f (x) 0 b[; 0

2. l’insieme degli zeri di f (x) non ha punti interni.

52 G. DI FAZIO

Dimostrazione. Le condizioni sono necessarie. Per definizione di funzione crescente si

ha: −

f (x) f (x )

0 > , ∀x

(7.9) 0 x

, 0

x x

0

0 ≥

da cui passando al limite si trova, f (x ) 0 quindi la 1.

0 0 ≡

Proviamo la 2. Ragionando per assurdo, si troverebbe un intervallo in cui f 0 quindi

f sarebbe costante in tale intervallo contro l’ipotesi.

, < .

Le condizioni sono sufficienti. Siano x x (a, b), x x Per il teorema di La-

1 2 1 2

, = 0

∃c ∈]x − − ≤

grange, x [ tale che f (x ) f (x ) f (c)(x x ) 0. Per concludere dobbiamo

1 2 1 2 1 2

< = ≤ ≤

provare che f (x ) f (x ). Se fosse f (x ) f (x ) allora, dal fatto che f (x ) f (x)

1 2 1 2 1

, ,

∀x ∈]x

f (x ), x [ avremmo la funzione costante in [x x ] contro la 2.

2 1 2 1 2

Osservazione 7.3. Naturalmente un teorema simile è valido per le funzioni strettamente

decrescenti.

Esempio 7.9 (Monotonia delle funzioni elementari). Mediante il teorema precedente si

possono studiare le funzioni elementari e determinare gli intervalli in cui esse risultano

monotone.

Teorema 7.11 (Darboux sulle derivate). Sia f :]a, b[→ una funzione derivabile. Siano

R

λ = λ = λ

0 0

f (x ), f (x ). Allora, comunque si assegni compreso nell’ intervallo di

1 1 2 2

λ , λ , = λ.

0

∈]x

estremi esiste c x [ tale che f (c)

1 2 1 2 < < λ < λ

Dimostrazione. Per fissare le idee supponiamo x x , f (x ) f (x ) e . Con-

1 2 1 2 1 2

= λx. <

0

sideriamo la funzione g(x) f (x) Siccome g (x ) 0 la funzione g(x) risulta

1

decrescente in un intorno di x . D’altra parte la funzione g(x) è crescente in un intorno

1

> ,

0 ∈ ]x [

di x perché g (x ) 0. Sia x x un punto in cui la funzione g(x) assume valore

2 2 3 1 2 ,

∈]x

inferiore a g(x ). Per il teorema dei valori intermedi, esiste allora un punto x x [

1 4 3 2

nel quale la funzione assume nuovamente il valore g(x ). A questo punto la tesi segue

1

immediatamente dal teorema di Rolle.

0

Osservazione 7.4. Se la funzione f è continua la tesi del teorema è già nota. Il fatto

0

importante è che il teorema è valido anche se la funzione f non è continua.

In altri termini:

Corollario 7.1. Una derivata non può avere punti di salto.

Comunque una derivata può essere discontinua ma, evidentemente le sue discontinuità

possono essere soltanto di seconda specie come mostra il seguente

Esempio 7.10. La funzione  ,

1

2

x sen x 0;

,

=  x

f (x)  =

0, x 0,

è derivabile in tutti i punti ma la derivata è discontinua nell’ origine.

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 53

Infatti, se x 0 la funzione è derivabile perché prodotto e composizione di funzioni

, =

derivabili. Studiamo la derivabilità nel punto x 0. Si ha:

0

f (x) f (0) 1

= →

(7.10) x sen 0

x x

al tendere di x a zero. Tuttavia, 1 1

=

0 −

(7.11) lim f (x) lim 2x sen cos

x x

x→0 x→0

e quest’ultimo limite non esiste.

Definizione 7.4. Sia f :]a, b[→ Una funzione F :]a, b[→ si dice una primitiva di f

R. R

=

0 ∀x ∈]a,

se F è derivabile in ]a, b[ e risulta F (x) f (x), b[.

Teorema 7.12. Due primitive di una medesima funzione in un medesimo intervallo dif-

feriscono per una costante.

Dimostrazione. Si tratta di una ovvia conseguenza del teorema di Lagrange. Infatti la

funzione differenza delle due primitive ha derivata identicamente nulla.

Comunque non è detto che una funzione qualsiasi abbia primitive.

U

Esempio 7.11. La funzione non ha primitive.

Dimostrazione. Infatti, se ne avesse andremmo contro il teorema di Darboux sulle derivate.

7.5. I teoremi di de L’Hôpital. In questo paragrafo presentiamo due teoremi che pos-

sono essere utili nello studio di alcune forme indeterminate. Precisamente si tratta delle

0

forme indeterminate del tipo e del tipo . Si tratta dei ben noti teoremi di de L’Hôpital

0

i quali permettono di determinare, in alcuni casi particolari, il comportamento di cer-

ti rapporti a partire da informazioni sulle derivate delle funzioni che costituiscono il

rapporto. →

Teorema 7.13 (I di de L’Hôpital). Siano f, g :]a, b) ivi derivabili, tali che

R

= = .

(7.12) lim f (x) lim g(x) 0

+ +

x→a x→a

0 ∀x ∈]a,

Supponiamo che g (x) 0, b), e che esiste

, 0

f (x) .

(7.13) lim R̃

0

+ g (x)

x→a

Allora esiste f (x)

(7.14) lim

+ g(x)

x→a

ed inoltre 0

f (x) f (x)

= .

(7.15) lim lim 0

+ +

g(x) g (x)

x→a x→a

54 G. DI FAZIO

Dimostrazione. Supponiamo, per fissare le idee, che il limite in (7.13) sia finito, diciamolo

> δ >

l. Fissato 0, esiste 0 tale che

0

f (t)

< < + , + δ[ .

− ∀t ∈]a,

(7.16) l l a

0

g (t)

+ δ[,

Fissati adesso x, y nell’intervallo ]a, a applichiamo il teorema di Cauchy alla coppia

ξ ∈]x,

di funzioni f, g ottenendo che esiste y [ tale che

0

f (x) f (y) f (ξ)

= .

(7.17) 0

g(x) g(y) g (ξ)

ξ

Siccome il punto appartiene all’intervallo di estremi x, y, si ottiene

f (x) f (y) < + , + δ[ .

< ∀x, ∈]a,

− l y a

(7.18) l −

g(x) g(y)

+

Passiamo adesso al limite per y a e quindi,

f (x)

< < + , + δ[ .

− ∀x ∈]a,

(7.19) l l a

g(x)

da cui la tesi. Nei casi in cui il limite non è finito la dimostrazione è analoga.

Teorema 7.14 (II di de L’Hôpital). Siano f, g :]a, b) ivi derivabili, tali che

R

= = +∞ .

| |g(x)|

(7.20) lim f (x)| lim

+ +

x→a x→a 0

f (x)

0 ∀x ∈]a, ∈

Supponiamo che g (x) 0, b), e che esiste lim Allora esiste

+

, R̃.

x→a 0

g (x)

f (x)

lim

+ g(x)

x→a

ed è uguale al precedente.

Dimostrazione. Incominciamo la dimostrazione ragionando come nel teorema precedente.

Supponiamo quindi, per fissare le idee, che il limite del rapporto tra le derivate sia finito,

> δ >

diciamolo l. Fissato 0, esiste 0 tale che

0

f (t)

< < + , + δ[ .

− ∀t ∈]a,

(7.21) l l a

0

g (t)

+ δ[,

Fissati adesso x, y nell’intervallo ]a, a applichiamo il teorema di Cauchy alla coppia

ξ ∈]x,

di funzioni f, g ottenendo che esiste y [ tale che

0

f (x) f (y) f (ξ)

= .

(7.22) 0

g(x) g(y) g (ξ)

ξ

Siccome il punto appartiene all’intervallo di estremi x, y, si ottiene

f (x) f (y)

< < + , + δ[ .

− ∀x, ∈]a,

(7.23) l l y a

g(x) g(y)

Da questa otteniamo,

" # " #

g(y) f (y) f (x) g(y) f (y)

) + < < + ) + , + δ[ .

(l (l

− − − ∀x ∈]a,

(7.24) 1 1 a

g(x) g(x) g(x) g(x) g(x)

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 55

+

Passiamo adesso al limite per x a . Allora,

f (x) f (x)

+ ,

− ≤ ≤ ≤

(7.25) l lim inf lim sup l

+ g(x) g(x)

x→a +

x→a

,

e, vista l’arbitrarietà di si ottiene la tesi.

La dimostrazione è analoga nel caso in cui il limite non è finito. 0

f (x) f (x)

Osservazione 7.5. I teoremi di de l’Hôpital non dicono che i due rapporti e

0

g (x) g(x)

2x+sen x converge ad 1 al

hanno lo stesso comportamento. Infatti, ad esempio, il rapporto 2x−sen x

tendere di x all’ infinito ma il rapporto delle derivate non è regolare.

Osservazione 7.6. A volte è impossibile verificare le ipotesi del teorema. Tentando infatti

di applicare il teorema dell’ Hopital al calcolo di

√ +

2

x 1

(7.26) lim x

x→+∞

si trova che il rapporto delle derivate è x ,

(7.27) √ +

2

x 1

e quindi non possiamo sapere se le ipotesi del teorema sono verificate.

Tuttavia a volte possiamo ricavare qualche utile informazione dal teorema di de l’Hôpital.

Esempio 7.12. arcsen x = 1

(7.28) lim x

x→0

ovvero, = + .

(7.29) arcsen x x o(x), x 0

arctang x =

(7.30) lim 1

x

x→0

ovvero, = + →

(7.31) arctang x x o(x), x 0.

7.6. La formula di Taylor. Ricordiamo che, se f :]a, b[→ è derivabile nel punto

R

∈]a,

x b[ allora si ha:

0 = + + , ,

0 − − →

(7.32) f (x) f (x ) f (x )(x x ) o(x x ) x x

0 0 0 0 0

ovvero = + ,

− →

(7.33) f (x) T (x) o(x x ) x x

1 0 0

dove T è un polinomio di primo grado. Anzi, T è polinomio di primo grado per

l’unico

1 1

cui risulti = , = .

0 0

(7.34) T (x ) f (x ) T (x ) f (x )

1 0 0 0 0

1

In tal caso diremo che la funzione f (x) ed il polinomio hanno un contatto di ordine uno

.

nel punto x 0

56 G. DI FAZIO

Definizione 7.5. Siano f, g :]a, b[→ due funzioni derivabili n volte in ]a, b[. Diciamo

R,

che funzioni hanno un contatto di ordine n nel punto x se accade che

0

= , = . . . , .

( j) ( j) ∀

(7.35) f (x ) g (x ) j 0, n

0 0

Visto che è possibile approssimare una funzione mediante la sua derivata, ci poni-

amo adesso il seguente problema: determinare un polinomio avente contatto di ordine

assegnato con la funzione f in un punto x interno al suo campo di definizione. Poniamo

0

n

X ,

= j

a (x x )

(7.36) T (x) j 0

n j=0

, . . . , ∈

con a a da determinarsi. Siccome

R

0 n n

X + ,

= j−k

(k) − · · · − −

j( j 1) ( j k 1)a (x x )

(7.37) T (x) j 0

n j=k

si ha: = , = . . . , ,

(k)

(7.38) T (x ) k!a k 1, n

0 k

n

e quindi n ( j)

f (x )

X 0

= ,

j

(7.39) T (x) (x x )

n 0

j!

j=0

è l’unico polinomio di grado n che ha un contatto di ordine n nel punto x con la funzione

0

f.

Teorema 7.15 (Proprietà del polinomio di Taylor). Siano f, g :]a, b[→ derivabili n

R

∈]a,

volte in ]a, b[, sia x b[ e siano T [ f ], T [g] i rispettivi polinomi di Taylor. Allora:

0 n n

+ βg] = αT + βT

1. T [α f [ f ] [g];

n n n

=

0 0

2. T [ f ] T [ f ].

n−1

n

Dimostrazione. Evidente dalla definizione di polinomio di Taylor e dalla linearità della

derivazione. ∈]a,

Teorema 7.16 (Formula di Taylor). Sia f :]a, b[→ derivabile n volte in x b[.

R 0

= −

Allora, posto E (x) f (x) T [ f ](x), si ha:

n n

= ,

n

− →

1. E (x) o(x x ) x x ;

n 0 0 + ∈]a,

2. Nel caso in cui la funzione f è derivabile n 1 volte, esiste c b[ tale che

(n+1)

= .

f (c) n+1

E (x) (x x )

n 0

(n+1)!

Dimostrazione. Incominciamo dimostrando la 1. Procederemo per induzione su n. Il caso

=

n 1 la tesi coincide con la definizione di derivata. Supponiamo quindi che la tesi risulti

verificata per un certo intero n−1 e proviamo che è verificata per n. Applicando il teorema

di de l’Hôpital si ha: 0

0 0 0

f (x) T [ f ](x)

− −

f (x) T [ f ](x) f (x) T [ f ](x)

n n−1

= = =

n

(7.40) lim lim lim 0

n n−1 n−1

− − −

(x x ) n(x x ) n(x x )

x→x x→x x→x

0 0 0

0 0 0

da cui la 1.

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 57

> = =

Proviamo adesso la 2. Fissiamo x x . Le funzioni g(x) f (x) T [ f ](x) e w(x)

0 n

,

n+1

(x x ) verificano le ipotesi del teorema di Cauchy nell’intervallo [x x]; esiste quindi

0 0

c interno a tale intervallo tale che

1 0

g(x) g (c )

1

= .

(7.41) 0

w(x) w (c )

1 0 0

Applichiamo adesso il teorema di Cauchy alla coppia di funzioni g e w nell’intervallo

,

[x c ]; esiste allora c interno a tale intervallo tale che

0 1 2 00 0

g (c ) g (c )

2 1

= .

(7.42) 00 0

w (c ) w (c )

2 1 < < . . . < <

Continuando in questo modo si ottiene una sequenza finita di punti x c c

0 n+1 2

c tale che

1 00 0

n+1 g (c ) g (c ) g(x)

g (c ) 2 1

n+1 = . . . = = = ,

(7.43) 00 0

n+1

w (c ) w (c ) w (c ) w(x)

n+1 2 1

da cui, sostituendo, n+1

f (x) T (x) f (c )

n n+1

=

(7.44) +

n+1

(x x ) (n 1)!

0

=

che è la tesi con c c .

n+1

7.7. Applicazioni della formula di Taylor al calcolo dei limiti.

Esercizio 7.2. Calcolare il seguente limite sen x

sen x

x−sen x .

(7.45) lim x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione e quindi

sen x

sen x sen x sen x

x−sen x =

lim

(7.46) lim exp log

x x sen x x

x→0 x→0 

 sen x sen x

+

=  

− 1

log 1

lim exp  +

3

 

x

x 3

x→0 − − o(x ))

x (x

 3!

 

sen x sen x sen x

= +

 

lim exp o 1 

 

3 

x x

x

x→0 3! sen x

x

= −

lim exp (6 1

3

x x

x→0 !!

sen x 1

= −

lim exp 6 3 2

x x

x→0 3 +

x

 

3

x o(x ) 1 1

= = .

 

6 −

lim exp  

3 2

 

x x e

x→0  

58 G. DI FAZIO

Esercizio 7.3. Calcolare il seguente limite

1

+ .

1/x

(1 −

(7.47) lim sen x) e

x

x→0

L’origine è punto di accumulazione per il campo di esistenza della funzione e quindi

+ !

(1

1 log sen x)

1

+ =

1/x

(1 −

(7.48) lim exp e

sen x) e lim

x x x

x→0 x→0 + ! !

(1

e log sen x)

= − −

lim exp 1 1

x x

x→0 + ! !

(1 −

e log sen x) x

= −

lim exp 1

x x

x→0 −

e sen x x

= −

lim exp 1

x x

x→0 /6

3 ! !

−x

e

= −

lim exp 1

x x

x→0 /6

2

−x −

e 1 x

= = .

lim e 0

/6

2

−x 6

x→0

7.8. Funzioni convesse in un intervallo. ,

2

Definizione 7.6. Un sottoinsieme X di si dice convesso se, per ogni coppia P P di

R 0 1

,

suoi punti il segmento che congiunge P P è contenuto X.

0 1

Definizione 7.7. Sia f : (a, b) Diciamo che f è convessa in (a, b) se l’insieme

R.

= 2

{(x, ∈ ∈ ≥

(7.49) EPI( f ) y) : x (a, b), y f (x)}

R

è convesso. Diciamo che f è concava se f è convessa.

Dalla definizione è evidente che: →

Teorema 7.17. La funzione f : (a, b) è convessa in (a, b) se e solo se comunque

R = =

si scelgono x, y (a, b) i punti del segmento di estremi P (x, f (x)), Q (y( f (y))

appartengono all’insieme EPI( f ).

Osservazione 7.7. La definizione ed il teorema precedente si possono tradurre in termini

analitici. La funzione f (x) si dice quindi convessa nell’intervallo (a, b) se,

+ + , , .

(tx − ≤ − ∀t ∈ ∀x, ∈

(7.50) f (1 t)y) t f (x) (1 t) f (y) [0, 1] y (a, b)

Lemma 7.1 (di convessità). Sia f : (a, b) Poniamo

R.

f (x) f (y) ,

Φ(x, = ∈

x, y (a, b), x y.

(7.51) y) ,

x y

Allora f è convessa se e solo se

Φ(x, Φ(x, Φ(z, , < < .

≤ ≤ ∀x, ∈

(7.52) z) y) y), y, z (a, b) x z y

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 59

Dimostrazione. la disuguaglianza Φ(x, Φ(x,

(7.53) z) y)

è equivalente alla disuguaglianza − −

y z x z

+ ,

(7.54) f (z) f (x) f (y)

− −

y x y x

la quale è la definizione di convessità. La disuguaglianza (7.53) esprime il fatto che il

Φ(x, Φ(z,

rapporto incrementale è monotono. Da questo segue quindi che y) y).

Teorema 7.18. Sia f :]a, b[→ convessa in ]a, b[. Allora:

R

1. f è derivabile dalla destra e dalla sinistra in tutti i punti di ]a, b[;

2. f è continua in tutti i punti di ]a, b[.

Dimostrazione. Il teorema è una conseguenza immediata del lemma di convessità. Infatti,

il lemma afferma che i rapporti incrementali sono crescenti e limitati superiormente da

cui la 1. Per provare la 2. basta osservare che la derivabilità dalla destra o dalla sinistra

implicano - rispettivamente - la continuità. ∈]a,

Teorema 7.19. Sia f :]a, b[→ una funzione convessa in ]a, b[ e derivabile in x b[.

R 0

Allora, + , .

0

≥ − ∀x ∈]a,

(7.55) f (x) f (x ) f (x )(x x ) b[

0 0 0

< < .

Dimostrazione. Supponiamo x z x Dal lemma di convessità

0

Φ(x, Φ(x, Φ(z, ,

≤ ≤ ∀z ∈]x,

(7.56) z) x ) x ) x [

0 0 0

+ ,

da cui, passando al limite per z x

0

Φ(x, 0

(7.57) x ) f (x )

0 0

ovvero + .

0

≥ − ∀x ∈]a,

(7.58) f (x) f (x ) f (x )(x x ), x [

0 0 0 0

>

Procedendo in modo simile per x x otteniamo

0

+ , .

0

≥ − ∀x ∈]x

(7.59) f (x) f (x ) f (x )(x x ), b[

0 0 0 0

Corollario 7.2. Sia f :]a, b[→ una funzione convessa in ]a, b[ e derivabile in almeno

R

=

0

un punto x ed inoltre f (x ) 0. Allora il punto x è punto di minimo assoluto per f in

0 0 0

]a, b[.

Dimostrazione. È una conseguenza immediata della disuguaglianza (7.55).

Osservazione 7.8. Ispirandoci alla tecnica dicotomica già utilizzata più volte in prece-

denza, si può attuare una procedura che permette la determinazione del punto di minimo.

60 G. DI FAZIO

0 0

Dimostrazione. Supponiamo che f (a) ed f (b) abbiano segno opposto;infatti, se hanno

lo stesso segno, il minimo della funzione si trova in uno degli estremi dell’intervallo

,

[a, b]. Dividiamo l’intervallo [a, b] a metà e chiamiamo [a b ], la parte tale che agli

1 1

0

estremi la funzione f assume valori di segno opposto. Procedendo in questo modo, come

nel teorema di esistenza degli zeri, troviamo due successioni numeriche, una crescente,

{a } {b },

e l’altra decrescente entrambe limitate e quindi convergenti. Siccome le due

n n

successioni sono estremi di intervalli la cui ampiezza tende a zero, hanno lo stesso limite.

=

0

Detto c tale limite, proviamo che f (c) 0. Ricordiamo che una funzione convessa è

derivabile dalla destra e dalla sinistra in ogni punto interno all’intervallo di definizione.

<

0 0

≤ ≤

Siccome, f (a ) 0 e a c, passando al limite si ha: f (c) 0. Similmente, da

n n −

>

0 0

≥ ≥

f (b ) 0 , tenuto conto che b c, si trova f (c) 0 da cui la tesi.

+

n n

Osservazione 7.9. Notiamo esplicitamente che, nella dimostrazione precedente, non è

=

0

stato usato il fatto che f (c) 0. Infatti, ciò non è affatto necessario per l’esistenza del

|x|).

minimo, (vedi la funzione 0

Teorema 7.20. Sia f :]a, b[→ derivabile in ]a, b[. Allora f è convessa se e solo se f è

R

crescente in ]a, b[. ,

0 ∈

Dimostrazione. Sia f convessa. Proviamo che f è crescente. Siano quindi x x

1 2

< .

]a, b[, x x Per il lemma di convessità,

1 2 Φ(x , Φ(x , Φ(x, < < .

≤ ≤ ∀x

(7.60) x) x ) x ), x x

1 1 2 2 1 2

+

Passando al limite per x x nella diseguaglianza di sinistra si trova

1 Φ(x ,

0 ≤

(7.61) f (x ) x )

1 1 2

mentre passando al limite per x x nella diseguaglianza di destra si trova

2

Φ(x , 0

(7.62) x ) f (x )

1 2 2

quindi .

0 0

(7.63) f (x ) f (x )

1 2

< <

Viceversa, siano x z y tre punti dell’ intervallo ]a, b[. Applicando il teorema

= Φ(x,

0

∃c ∈]x,

di Lagrange nell’ intervallo ]x, z[ abbiamo che z[ : f (c) z) e, simil-

∃c ∈]z,

mente, applicando il teorema di Lagrange nell’ intervallo ]z, y[ abbiamo che y[ :

= Φ(z, Φ(x, Φ(z,

0 0 ≤

f (d) y) e utilizzando la monotonia di f si trova z) y) ovvero i rapporti

incrementali sono crescenti in una variabile - fissata l’altra. Allora,

Φ(x, = Φ(z, Φ(y, = Φ(x, Φ(z,

≤ ≤

(7.64) z) x) x) y) y)

quindi f è convessa.

Teorema 7.21. Sia f :]a, b[→ derivabile due volte in ]a, b[. Allora f è convessa se e

R

00 ≥

solo se f (x) 0 in ]a, b[. 0

Dimostrazione. Infatti, f è convessa se e solo se f è crescente e quindi la tesi.

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 61

∈]a,

Definizione 7.8. Sia f :]a, b[→ e sia x b[. Supponiamo che f sia derivabile in x

R 0 0

. δ >

oppure il grafico di f presenta tangente verticale nel punto x Se esiste 0 tale che f

0

δ, , + δ[

è convessa in ]x x [ e concava in ]x x o viceversa, allora si dice che il punto

0 0 0 0

x è un punto di flesso per la funzione.

0 ∈]a,

Teorema 7.22. Sia f :]a, b[→ derivabile due volte in x b[. Supponiamo che il

R 0

=

00

punto x sia di flesso per f. Allora f (x ) 0.

0 0

, + δ[ 0

Dimostrazione. Se in ]x x la funzione è concava allora f (x) è decrescente ovvero

0 0

0 0

f (x) f (x )

0 , + δ[ .

≤ ∀x ∈]x

(7.65) 0, x

0 0

x x

0

δ,

D’altra parte in ]x x [ la funzione è convessa quindi

0 0 0 0

f (x) f (x )

0 δ,

≥ ∀x ∈]x −

(7.66) 0, x [

0 0

x x

0

da cui la tesi passando al limite per x x .

0

= =

00

3

Esempio 7.13. La funzione f (x) x ha un flesso nell’ origine e f (0) 0. = 4

Osservazione 7.10. Il teorema non è invertibile. Infatti, la funzione f (x) x non ha

=

00

flesso nell’ origine ma f (0) 0. = 2

−x

Esercizio 7.4. Studiare la concavità e la convessità della funzione f (x) xe in La

R.

funzione è derivabile due volte in tutti i punti del suo campo di esistenza. Le derivate

della funzione sono: 2 2

= , = .

0 −x 00 −x

2 2

− −

(7.67) f (x) e (1 2x ) f (x) 2xe (2x 3)

Studiando il segno della derivata seconda si deduce che la funzione è concava negli in-

q

q q

q , , +∞

32 32 32 32

−∞, − 0

, 0, mentre risulta convessa negli intervalli ,

tervalli ∈]a, ≥

Teorema 7.23. Sia f :]a, b[→ una funzione derivabile n volte in x b[, con n 2,

R, 0

= = . . . ,

(k) (n)

e supponiamo che f (x ) 0, k 1, n 1 e f (x ) 0. Allora:

,

0 0

1. Se n è dispari, il punto x non è di estremo relativo per f ;

0

>

(n)

2. Se n è pari e f (x ) 0 allora x è punto di minimo relativo per f ;

0 0

<

(n)

3. Se n è pari e f (x ) 0 allora x è punto di massimo relativo per f .

0 0

Dimostrazione. Applicando la formula di Taylor arrestata all’ ordine n con il resto nella

forma di Peano otteniamo: n

(n) #

" −

f (x ) o(x x )

0

0 +

= n

− −

(7.68) f (x) f (x ) (x x )

0 0 −

n! (x x )

0

e passando al limite per x x si trova che l’espressione entro parentesi quadre ha lo

0

(n)

stesso segno di f (x ) da cui la tesi.

0 = −

Esercizio 7.5. Dire se l’origine è estremo relativo per la funzione f (x) x sen x cos 2x.

= +

Esercizio 7.6. Dire se l’origine è estremo relativo per la funzione f (x) x log(1 x)

2

x −

e 1.

62 G. DI FAZIO

= +

| |

Esercizio 7.7. Studiare il grafico della funzione f (x) x arctang( log x log x).

= .

|x |

3 x

Esercizio 7.8. Studiare il grafico della funzione f (x) x e

= .

7 x

Esercizio 7.9. Dire quante soluzioni ha l’equazione x 7

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 63

8. S N

8.1. Serie Numeriche nel campo reale. = nj=1

P

{a } ⊂

Definizione 8.1. Data una successione poniamo s a . La coppia or-

R

n n j

}, {s }) {a }

dinata ({a si dice serie numerica di termine generale Se la successione - che

n n n

{s }

chiameremo successione delle somme parziali - è regolare indicheremo con il simbolo

n

P a il suo limite che si chiamerà somma della serie.

n

n=1 ∞ 1

P

Esempio 8.1 (Serie di Mèngoli). Studiamo la serie . Per calcolare s notiamo

n

n=1 n(n+1)

che 1 1 1

= ,

− ∀p ∈ −1

(8.1) p 0, p

, ,

R,

+ +

p(p 1) p p 1

e quindi n ! ! ! !

1 1 1 1 1

1 1

1

X .

= + + + =

= − − − →

− ··· − 1

1 1

(8.2) s n + + +

j j 1 2 2 3 n n 1 n 1

j=1

La serie è regolare ed ha per somma 1. ∞ 1

P

Esempio 8.2 (Serie armonica). Studiamo la serie . Proviamo che la serie è diver-

n=1 n

+∞. > ,

gente a Notiamo che, essendo a 0, la successione s quindi la serie, è regolare.

n n

Sarà allora sufficiente provare che una estratta di s è divergente. Si ha:

n

(8.3) ! ! ! !

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= + + + + + + + + + + + + + +

··· · · · ···

s 1

n

2 +

n−1 n

2 3 4 5 6 7 8 9 16 2 1 2

(8.4) 1 1 1 n

1 + + + + = + +∞.

+ n−1

· · · →

≥ 2 4 2 1

1 n

2 4 8 2 2

∞ n

P ∈

Esempio 8.3 (La serie geometrica). q con q R.

n=0

= = +∞.

Se q 1 si ha s n Sia perciò q 1. Ricordando la formula per la somma dei

,

n n

= 1−q

termini di una progressione geometrica abbiamo, s da cui si deduce facilmente

n 1−q

il comportamento della serie. Precisamente si trova che la serie converge se e solo se

.

< 1

|q| 1 ed in tal caso la sua somma è 1−q

Esempio 8.4. Studiamo la serie ∞ 1

X + .

(8.5) log(1 )

n

n=1

La serie diverge positivamente. Infatti,

n n

1

X X

= + = + = + +∞.

− →

(8.6) s log(1 ) log( j 1) log j log(n 1)

n j

j=1 j=1

64 G. DI FAZIO

Notiamo che per determinare il carattere della serie abbiamo proceduto per via diretta.

Cioè abbiamo espresso in forma chiusa il termine generale della successione delle somme

parziali. In generale, un tale procedimento è da sconsigliare per le difficoltà di carattere

algebrico. Cerchiamo quindi delle condizioni dalle quali dedurre il carattere della serie

.

senza essere costretti a manipolare la successione s n ∞

P ∈

Definizione 8.2 (Serie resto). Data una serie numerica a e un numero k N,

n

n=1

diciamo serie resto di ordine k la serie ottenuta da quella data cancellando i primi k

.

P

termini ovvero la serie a n

n=k+1

Teorema 8.1. Una serie ed un suo qualsiasi resto hanno lo stesso carattere.

Dimostrazione. Si ha: n

n X

X = +

= + + +

· · · a

a s

(8.7) s a a j

j k

n 1 k j=k+1

j=k+1

Teorema 8.2. La successione dei resti di una serie convergente è infinitesima.

Dimostrazione. Usando le notazioni del teorema precedente abbiamo:

∞ n

X X

= = =

≡ − −

(8.8) R a lim a lim s s s s

k j j n k k

n→∞ n

j=k+1 j=k+1

da cui = =

(8.9) lim R lim s s 0.

k k

k k

Teorema 8.3. Si ha: ∞ ∞

X X

λa = λ ∀λ

(8.10) a 0;

,

n n

n=1 n=1

∞ ∞ ∞

X X X

+ = + ,

(8.11) (a b ) a b

n n n n

n=1 n=1 n=1

+∞ − ∞.

tranne il caso in cui si presenti la forma indeterminata

Dimostrazione. Basta passare al limite nelle eguaglianze

n n n n n

X X X X X

λa = λ , + = +

(8.12) a (a b ) a b

j j j j j j

j=1 j=1 j=1 j=1 j=1

P

Teorema 8.4. Condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie a sia convergente

n

n=1

è che n+p

X

> ν > ν < ε .

∀ε ∃ ∈ ∀n ∀p ∈

(8.13) 0 : a

N N j

j=n+1

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 65

Dimostrazione. Basta applicare il criterio di convergenza per le successioni alla succes-

sione s .

n ∞

P

Corollario 8.1. Condizione necessaria affinchè la serie a risulti convergente è che

n

n=1

a 0.

n =

Dimostrazione. Basta applicare il criterio precedente con p 1.

Osservazione 8.1. La condizione non è sufficiente per la convergenza. Basti pensare alla

serie armonica.

Una classe particolare di serie è costituita dalle serie a termini di segno costante. La

caratteristica di queste serie è di avere la successione delle somme parziali monotona

cosicchè tali serie risultano sempre regolari.

, ∞

P P ≤ ≤ ∀n ∈

Teorema 8.5 (di confronto). Siano a b due serie tali che: 0 a b

n n n n

n=1 n=1

Allora:

N. =⇒

∞ ∞ ∞ ∞

P P P P

∈ ∈ ≤

1. b a ed in tal caso a b ;

R R

n n n n

n=1 n=1 n=1 n=1

= +∞ =⇒ = +∞.

∞ ∞

P P

2. a b

n n

n=1 n=1

Dimostrazione. Dall’ ipotesi si ha: ∞

n n

X X X

≤ ≤

(8.14) a b b

j j n

j=1 j=1 n=1

e ricordando che le somme parziali di ciascuna delle due serie sono monotone segue la 1.

Similmente si prova la 2.

P {k }

Teorema 8.6. Sia a una serie numerica convergente a termini positivi. Sia una

n n

n=1 = . ∞ ∞

P P ≤

successione crescente di interi e sia b a Allora b converge e si ha: b

n k n n

n=1 n=1

n

.

P a

n

n=1

Dimostrazione. Si ha: k ∞

n n n

X X X X

= ≤ ≤ ∀n ∈

(8.15) b a a a N

j k j j

j

j=1 j=1 j=1 j=1

da cui la tesi per monotonia. ,

∞ ∞

P P

Corollario 8.2. Siano a b due serie a termini positivi che contengano gli

n n

n=1 n=1

stessi termini. Allora si ha: ∞ ∞

X X

= .

(8.16) a b

n n

n=1 n=1

Dimostrazione. Basta applicare due volte il teorema precedente.

Studiamo adesso alcune condizioni sufficienti per la convergenza delle serie a termini

positivi.

66 G. DI FAZIO

P

Teorema 8.7 (del rapporto). Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che

n

n=1

ν

∈ ∈

esistono h [0, 1[ e tali che

N a n+1 > ν .

≤ ∀n

(8.17) h

a n

Allora la serie converge.

Dimostrazione. Dall’ ipotesi si ha: 2 k

≤ ≤ ≤ · · · ≤

(8.18) a ha h a h a

ν+k+1 ν+k ν+k−1 ν+1

e quindi la tesi dal teorema di confronto. ν

P ∈

Teorema 8.8. Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste tale

N

n

n=1

che a

n+1 > ν ,

≥ ∀n

(8.19) 1

a n

Allora la serie diverge.

Dimostrazione. La successione a è monotona crescente e quindi non può tendere a zero.

n

Viene violata la condizione necessaria di convergenza.

P

Corollario 8.3 (criterio del rapporto). Sia a una serie a termini positivi. Supponi-

n

n=1

=

a n+1 ∈

l Allora:

amo che esiste lim R̃.

n a n

>

1. Se l 1 la serie diverge;

<

2. Se l 1 la serie converge;

=

3. Se l 1 nulla può dirsi.

Dimostrazione. La dimostrazione è una ovvia conseguenza del teorema precedente e del

teorema della permanenza del segno.

Osservazione 8.2. Con riferimento al caso 3. osserviamo che la serie armonica e la serie

di Mengoli rientrano entrambe nel caso 3. ma hanno carattere diverso.

P

Teorema 8.9 (della radice). Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che

n

n=1

ν

∈ ∈

esistono h [0, 1[ e tali che

N √ > ν ,

n ≤ ∀n

(8.20) a h

n

Allora la serie converge. n

Dimostrazione. Si ha: a h e la tesi è immediata per confronto.

n ∞

P

Teorema 8.10 (della radice). Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che

n

n=1

ν ∈

esiste tale che

N √ > ν .

n ≥ ∀n

(8.21) a 1

n

Allora la serie diverge. ≥

Dimostrazione. Si ha: a 1 e la tesi segue dalla condizione necessaria di convergenza.

n

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 67

P

Corollario 8.4 (criterio della radice). Sia a una serie a termini positivi. Supponi-

n

n=1

amo che esiste √ = .

n ∈

(8.22) lim a l R̃

n

n

Allora: >

1. Se l 1 la serie diverge;

<

2. Se l 1 la serie converge;

=

3. Se l 1 nulla può dirsi.

P

Teorema 8.11 (Raabe). Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste

n

n=1 !

a n = .

− ∈

(8.23) lim n 1 l R̃

a

n n+1

Allora: >

1. Se l 1 la serie converge;

<

2. Se l 1 la serie diverge;

=

3. Se l 1 nulla può dirsi.

Attraverso i criteri del rapporto e della radice si possono studiare le serie il cui termine

generale presenta un tasso di decadimento più che polinomiale. Falliscono entrambi, ad

α >

∞ 1

P

esempio, per la serie (armonica generalizzata) 0. Talvolta risulta utile il

α

n=1 n

criterio di Raabe. Comunque proviamo il seguente risultato dovuto a Cauchy.

P ≤

Teorema 8.12 (di condensazione). Sia a una serie a termini positivi tale che 0

n

n=1

∞ ∞ n

P P

≤ ∀n ∈

a a Allora le serie a e 2 a hanno lo stesso carattere.

N. n

n+1 n n 2

n=1 n=0

Dimostrazione. Si ha:

(8.24) n

X

σ + + + + + + + + + +

k

≡ ≤ · · · · · · · · ·

2 a a 2 (a a ) (a a ) (a a )}

{a +1 n

n−1

k

n 1 2 3 4 5 8 2

2

2

k=0

(8.25) + = +

≤ − −a

a 2(s a ) 2s

n n

1 2 1 1 2

ovvero σ +

≤ −a ∀n ∈

2s N.

n

n 1 2

D’altra parte n −1

2

X

= = + + + + + + + + + +

≤ · · · · · · · · ·

s s a a (a a ) (a a a ) (a a )

n n

n−1

−1 −1

n 2 k 1 2 3 4 5 7 2

2

k=1

+ + + + = σ

2 n−1

≤ · · ·

a 2a 2 a 2 a

2 n−1

1 2 n−1

2 2

(8.26)

e la tesi segue applicando due volte il teorema di confronto.


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luca d.

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2006-2007

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luca d. di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Modena e Reggio Emilia - Unimore o del prof Di Fazio Marco.

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