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APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA
Definizione 8.9. Poniamo e = cos t + sen t per ogni t appartenente a R. Ovvero, e = cos t + sen t per ogni t appartenente a R.
Teorema 8.28. Per ogni t si ha:
R ∞ ∞ 2n 2n+1 t X = Σ (-1)n cos t sen t + (2n + 1)! (2n)! n=0 n=0
Dim. Infatti, dalla definizione segue
∞ ∞ + + + (-1)n t n e (it) (-it) 1 (-1)X = Σ = n n cos t (8.74) t2 n! 2n! n=0 n=0
∞ n (-1)X = .2n ∀t ∈ R (2n)!n=0
Similmente, ∞ ∞
(-1)n t n t - - (it) (-it) 1 1 (-1)e X = Σ = n n sen t 2i 2i n! 2i n! n=0 n=0
∞ n (-1)X = .2n+1 ∀t ∈ R+(2n + 1)!n=0
Osservazione 8.5. Se t [0, 1[ la serie del seno soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz e quindi si ottiene, sen t ≤ |t| per ogni t ∈ R. Come
- Ulteriore applicazione del teorema di Leibniz, si trae infine, 3t − ≤ ≤ ∀t ∈(8.77) t sen t t [0, 1[3! Procedendo similmente con la serie del coseno si trova 2t− ≤ ≤ ∀t ∈(8.78) 1 cos t 1 [0, 1[2 da cui, −1 cos t 1≤ ∀t ∈ [0, 1[(8.79) 2t 2
- Osservazione 8.6. Notiamo che si ha: n nj j(−1) (−1)X X= + , = + . 2 j+1 2n+1 2 j 2n →(8.80) sen t t o(t ) cos t t o(t ), t 0+(2 j 1)! (2 j)!j=0 j=0
- 82 G. DI FAZIO<∈ |t| Infatti, per n e 1, si ha: N, (8.81) +∞n jj (−1)(−1) XX = 2 j+1 2 j+1 −sen t t t+ +(2 j 1)! (2 j 1)!j=n+1j=0 +∞ +∞ 1 1X X= = 2 j+1 2n+3 2( j−n) 2n+1≤ t t t o(t )+ +(2 j 1)! (2 j 1)!j=n+1 j=n+1 Similmente si dimostra la formula per il coseno.
- APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 839.
- 9. R
- 9.1.
Successioni ricorsive. → ∈Definizione 9.1. Sia f : (a, b) → (a, b), x ∈ (a, b). La successione definita ponendo 0 ∈ ∀n ∈ (9.1) x ∈ (a, b), x = f(x) N0 n+1 n si dice successione ricorsiva di funzione generatrice f. Lo scopo di questo paragrafo è di dare una procedura che permetta la determinazione dell'eventuale limite della successione. =∈Definizione 9.2. Se x̄ ∈ (a, b) è tale che f(x̄) = x̄ allora si dice un punto fisso per la funzione f. → ∈Teorema 9.1. Sia f : (a, b) → (a, b), x ∈ (a, b), e supponiamo f continua in (a, b). Se la successione (9.1) è convergente allora il suo limite è un punto fisso di f. Dimostrazione. È sufficiente passare al limite nella legge ricorsiva che definisce la successione. <→ ≤Teorema 9.2. Sia f : [a, b] → [a, b] e supponiamo che esiste 0 < k < 1 tale che, |f(x) - f(y)| ≤ k|x - y|, ∀x, y ∈ [a, b]. Allora la successione (9.1) è convergente. Dimostrazione. Usando
la legge di definizione si ha: n|x - | | - | ≤ - | ≤ · · · ≤ |x - | → (9.2) x f (x ) f (x )| k|x x k x 0n+1 n n n-1 n n-1 1 0e quindi + + +|x - | ≤ |x - | |x - | · · · |x - |x x x xn+p n n+p n+p-1 n+p-1 n+p-2 n+1 n+∞X+ + +
<pre>
<math>
<mi>n</mi>
<mo>= 12x</mo>,
</math>
</pre>
In questo caso si ha:
<pre>
<math>
<mi>n</mi>
<mo>= n + 1/2</mo>
</math>
</pre>
per ogni n appartenente a N.
La successione è monotona crescente perché la funzione
<pre>
<math>
<mi>f(t)</mi>
<mo>=</mo> 1 + t^2
</math>
</pre>
è positiva per ogni t appartenente a R.
Supponiamo che la successione sia convergente. Siccome la funzione f è continua, il limite della successione dovrebbe essere uno dei punti fissi di f. Poiché la funzione f non ha punti fissi, la successione non può essere convergente.
Esempio 9.2. Studiamo la successione ricorsiva definita ponendo
<pre>
<math>
<mi>n</mi>
<mo>= 1/2</mo>,
</math>
</pre>
per ogni n appartenente a N.
La successione è monotona crescente perché la funzione
<pre>
<math>
<mi>f(t)</mi>
<mo>=</mo> t
</math>
</pre>
è positiva nell'intervallo ]0, 1[ e negativa altrimenti. La successione è quindi monotona crescente a patto che i suoi termini si trovino tutti in tale intervallo. Per provare che tutti i termini della successione sono in tale intervallo, bisogna dimostrare che il termine n+1 è minore o uguale a 1 per ogni n appartenente a N.successione stanno nell'intervallo procediamo per induzione su n. x [0, 1].1=∈ ∈Supponiamo che x [0, 1] e proviamo che x [0, 1]. Poiché x f (x ) proviamon n+1 n+1 n⊂che f ([0, 1]) [0, 1]. Ciò è evidente dal fatto che la funzione f è crescente in [0, 1]. Aquesto punto la successione è convergente perché monotona e limitata. Il suo limite è unodei punti fissi di f e quindi può essere soltanto 0 oppure 1. Dalla monotonia segue che→x 1.n In modo simile si possono studiare le successioni seguenti:1. = 1x , 0 2 = +2 − ∀n ∈x x x 1 N n+1 n n2. = 3 ,x 0 2 = 2 ∀n ∈x N n+1 3−x n3. = 3 ,x 0 4 +122x= n ∀n ∈x Nn+1 4xn4. = α ∈x R, 0 = 2 ∀n ∈x x Nn+1 n5 Algoritmo di Erone =x 2, 0 += x 1n ∀n ∈x N n+1 2 x n6. =x 1, 0 √ = + ∀n ∈x 2 x N
n+1 n≤9.2. Risoluzione numerica delle equazioni. 2→Teorema 9.3 (metodo di Newton). Sia f : [a, b] di classe C ([a, b]), convessa, taleR> < =che f (a) 0, e f (b) 0. Sia x̄ l’unica soluzione dell’ equazione f (x) 0. Allora, lasuccessione definita in maniera ricorsiva dalla legge
x0 = a,
0
xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn) ∀n ∈ N
f(xn)
APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 85è convergente ad x̄.
Dimostrazione. I punti fissi di g sono gli zeri di f e quindi l’unica radice che per ipotesiϕ(t) = = ϕf (t)∈]a, − −abbiamo, x̄ b[. Inoltre g(t) t e quindi f e hanno lo stesso segno.0f (t)=∈Proviamo che x [a, x̄]. x a che ovviamente appartiene all’ intervallo [a, x̄]. Sup-n 0∈ ∈ →poniamo, che x [a, b] e proviamo che x [a, b]. Si ha: g : [a, x̄] [a, x̄]. Infatti,n n+100 > = == f f0 ∀x ∈0 [a, x̄] e quindi la funzione g è crescente. g([a, x̄]) [g(a), g( x̄)]g (t)
02f = >f (a)⊂ −[g(a), x̄] [a, x̄]. Infatti, g(a) a a. La successione risulta quindi limitata e0f (a) crescente quindi convergente all’ unico punto fisso che è x̄.→Teorema 9.4 (metodo delle corde). Sia f : [a, b] una funzione continua e convessa,R< > =f (a) 0, f (b) 0. Supponiamo che l’equazione f (x) 0 abbia una sola soluzione x̄ in[a, b]. Allora la successione definita in modo ricorsivo mediante la legge =x a, 0 = f (x )(b−x )n n ∀n ∈−x x N n+1 n f (b)− f (x )nè convergente ad x̄.Dimostrazione. Per comodità (tale restrizione si può rimuovere) supponiamo che la fun-, ϕ(t) == b−t −− e F(t) t, si ha:zione f sia derivabile. Posto F(t) t f (t) f (b)− f (t)−b tϕ(t) = − f (t) −f (b) f (t)ϕquindi la funzione ha segno opposto a quello di f. Inoltref (b)= >0 0− − −F (t) ( f (b) f (t) f (t)(b t)) 02−( f (b) f (t))e quindi,
siccome F è crescente, possiamo scrivere: <F([a, x̄]) [F(a), F(x̄)] [F(a), x̄] [a, x̄].> L'ultima inclusione è valida perché F(a) ≤ F(x̄). Quindi tutti i termini della successione appartengono all'intervallo [a, x̄] per cui x ≤ x̄. Definizione 9.3. Data la successione ricorsiva xₙ₊₁ = f(xₙ), convergente ad x̄, diciamo α = |f'(x̄)|, se esiste M > 0 per cui si ha: | xₙ₊₁ - x̄ | ≤ M | xₙ - x̄ |^α, ∀n ∈ E, M > 0. Teorema 9.5. Data la successione ricorsiva xₙ₊₁ = f(xₙ), convergente ad x̄, supponiamo che f(x̄) ≠ 0. Allora la convergenza è del primo ordine. Dimostrazione. |f(xₙ) - f(x̄)| = |f'(x̄)| |xₙ - x̄|, dove M = sup |f'(xₙ)|. Teorema 9.6. Data la successione ricorsiva
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