Analisi Matematica I - nozioni generali

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA G. DI FAZIO

1. I N R



1.1. Definizioni. +

≡ · ≤)

Definizione 1.1. Denotiamo con (R, un insieme, i cui elementi saranno

R

chiamati numeri reali, i quali soddisfano le seguenti proprietà:

+)

1- (R, è un gruppo abeliano; +, ,

\ {0} ·)

2- Indicando con 0 l’elemento neutro dell’operazione (R è un gruppo

abeliano;

+ = + ∀a, ∈

3- a(b c) ab ac b, c R;

≤)

4- (R, è totalmente ordinato;

+ +

≤ ⇒ ≤ ∀z ∈

5- x y x z y z, ;

R

>

≤ ⇒ ≤

6- x y, z 0 xz yz;

<

≤ ⇒ ≥

7- x y, z 0 xz yz; ⊆ ≤

8- Assioma di Dedekind o della completezza ordinale. A, B A B allora esiste

R,

ξ ξ

∈ ≤ ≤

: A B;

R

Come è ben noto le proprietà precedenti - esclusa quella della completezza ordinale -

sono vere anche nel campo razionale. La differenza tra e sarà quindi nella proprietà

Q R

di completezza e nelle sue conseguenze. È noto che

=

2

Teorema 1.1. L’equazione x 2 non ha soluzione in Q.

Dimostrazione. Il precedente teorema è equivalente al fatto che non verifica la proprietà

Q

di completezza ordinale. Infatti, consideriamo le due classi (separate),

= > < = > >

2 2

{q ∈ ≤ ∪ {q ∈ {q ∈

A : q 0} : q 0, q 2}, B : q 0, q 2}.

Q Q Q

=

∅, ≤ ∪

È immediato riconoscere che A, B A B, A B Tuttavia, la coppia A, B

, Q.

ξ ∈

non ammette elemento separatore in Infatti, supponiamo elemento separatore e

Q. Q

ξ ξ ξ >

∪ ∈

proviamo che A B. Se A deve aversi 0. Allora,

< 2 +

!

1 2ξ 1 2ξ 1

= ξ + + ξ + .

ξ + 2 2

≤

2

n n n n 2

ξ + <

1

∈

Usando il postulato di Archimede è possibile scegliere n in modo che 2;

N n

> ξ

2ξ+1

infatti basta prendere n . quindi non può appartenere all’ insieme A. In maniera

ξ

simile si prova che B da cui l’assurdo.

< 1

2 G. DI FAZIO

⊆

1.2. Estremi di un insieme numerico. Sia X un insieme non vuoto. Un numero k

R

≤ ∀x ∈

si dice un maggiorante per X se x k X. Un numero h si dice un minorante per X se

≥ ∀x ∈

x h X. Un maggiorante che appartiene all’insieme X si dice massimo mentre un

minorante che appartiene all’ insieme X si dice minimo.

⊆ ∅.

Teorema 1.2. Sia X X Se X ammette massimo (minimo) questo è unico.

,

R,

Dimostrazione. Segue immediatamente dalla definizione.

⊂

Un insieme X si dice limitato superiormente se ammette maggioranti mentre si

R ∗

dice limitato inferiormente se ammette minoranti. Indichiamo con X , X rispettivamente

∗

l’insieme dei maggioranti e dei minoranti di X. Se X è limitato sia superiormente che

= ∗

inferiormente si dirà limitato. Poniamo sup X min X se il minimo esiste e poniamo

=

inf X max X se il massimo esiste.

∗

In generale in un insieme limitato può anche non avere estremi. In invece ogni

Q R

insieme limitato ammette estremi. Ciò è equivalente all’ assioma di Dedekind. Infatti,

Teorema 1.3. le seguenti affermazioni sono equivalenti in R:

1- Assioma di Dedekind;

2- Ogni insieme non vuoto limitato superiormente ammette estremo superiore in R;

3- Ogni insieme non vuoto limitato inferiormente ammette estremo inferiore in R.

∗ ∗

≤

Dimostrazione. Proviamo che 1. implica 2. Data la coppia (X, X ) si ha che X X e

ξ ξ ξ ∗

∈ ≤ ∈

quindi esiste elemento separatore. Dal fatto che X si ha che X mentre

R

ξ ξ = .

∗ ∗

≤ ⊆

X dice che min X Viceversa, siano A, B due classi separate e non vuote.

R = .

∗ ∗ ∗

≤ ≤ ∅. ∃

Il fatto che A B implica che B A e quindi A Allora sup A min A Poiché

,

ξ , ξ ξ ξ ξB

∗

∈ ≥ ≤ ≤

A segue A e siccome è il più piccolo dei maggioranti, B da cui A

come si voleva. In modo simile si prova che 1. equivale a 3.

Nel seguito adotteremo la seguente convenzione: Se X è un insieme non vuoto non

= +∞

limitato superiormente porremo sup X mentre se X è un insieme non vuoto non

= −∞.

limitato inferiormente porremo inf X

∗

⊂ ∅.

Teorema 1.4. Sia X X, X Allora un numero reale L è l’estremo superiore

,

R,

dell’insieme X se e solo se:

≥ ∀x ∈

(1) L x X;

> ε <

∀ε ∃ ∈ −

(2) 0, x X : L x .

ε ε ∗

Dimostrazione. Se L è estremo superiore di X allora è elemento di X in quanto maggio-

ε

−

rante e quindi la 1. Inoltre, siccome L è il minimo dei maggioranti, L non può essere

maggiorante e quindi la 2. ∗

∈

Viceversa, se valgono 1. e 2. abbiamo che la 1. implica che L X mentre la 2. dice

ε = .

∗ ∗

−

che L X e quindi L min X

<

In modo simile si dimostra il seguente

⊂ ∅.

Teorema 1.5. Sia X X, X Allora un numero l è estremo inferiore di X se e solo

,

R, ∗

se: ≤ ∀x ∈

(1) L x X;

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 3

> + ε >

∀ε ∃ ∈

(2) 0, x X : l x .

ε ε

Definizione 1.2. Date due classi numeriche A, B separate e non vuote diciamo che sono

contigue se l’elemento separatore è unico. ≤

Osservazione 1.1. Siano A, B due classi separate, A B. Esse sono contigue se e solo

=

se si ha: sup A inf B. ≤

Teorema 1.6. Due classi separate A, B, A B, sono contigue se e solo se

> < ε.

∀ε ∃a ∈ ∈ −

(1.1) 0, A, b B : b a

ε ε ε ε

Dimostrazione. Usando l’osservazione precedente e le caratterizzazioni date dai teoremi

precedenti, possiamo dire che

ξ < , ξ + > ,

∃a ∈ ∈ −

(1.2) A, b B : a b

ε ε ε ε

2 2

da cui < ε.

−

(1.3) b a

ε ε

Viceversa, < ε, >

≤ − ≤ − ∀ε

(1.4) 0 inf B sup A b a 0

ε ε

=

e quindi sup A inf B. > ∈ ≥

Teorema 1.7 (Radice aritmetica). Dati x 0, n n 2 esiste un unico numero

N,

ξ > ξ =

n

0 : x.

ξ

Il numero la cui esistenza è assicurata dal teorema si chiama radice n -esima aritmetica

√

n

di x e si indica con il simbolo x. =

n

Esempio 1.1. Come applicazione del teorema precedente studiamo l’equazione x a.

Nel caso in cui n è dispari, x ed a hanno lo stesso segno. Allora x è positivo e l’unica

soluzione è quella data dal teorema. Se n è pari, l’equazione ammette anche una soluzione

√ >

n

− a e quindi se a 0 e n pari, l’equazione ammette due soluzioni di segno

negativa √ <

n

±

opposto a. Supponiamo adesso a 0. In tal caso - affinché l’equazione ammetta

< = =

n n −a

soluzioni - n deve essere dispari ed inoltre x 0. Abbiamo: x a ovvero (−x) da

√ √

= =

n n

−x −a − −a.

cui e quindi x Se anche in questo caso conveniamo di indicare con

√

√ √ = n

n n − −a.

a l’unica soluzione dell’ equazione allora a

Teorema 1.8. L’assioma di Dedekind implica la proprietà di Archimede.

∈ {q ∈ ≤

Teorema 1.9. Sia x L’insieme : q x} ammette massimo e, tale numero si

R. Z

denota con [x].

Da ciò si ha: < +

≤ ∀x ∈

(1.5) [x] x [x] 1, R.

= , >

mn

Definizione 1.3 (Potenza ad esponente razionale). Sia q a 0. Poniamo

√ √ m

m

= .

n

q n

m

≡ ≡

(1.6) a a a a

n

4 G. DI FAZIO

Teorema 1.10. Si ha:

= ,

q s q+s

· ∀q, ∈

(1) a a a s Q;

= ,

q s qs ∀q, ∈

(2) (a ) a s Q;

= , >

q q q ∀a, ∈

(3) a b (ab) b 0q Q.

> ∈

Teorema 1.11. Sia a 1, x Allora le classi

R.

= < = >

p p

{a ∈ {a ∈

(1.7) A : p p x}, B : p p x}

Q, Q,

sono separate e contigue. > ∈

Definizione 1.4 (Potenza ad esponente reale). Dato a 1, x poniamo

R

< = > .

x p p

≡ ∈ ∈

(1.8) a sup{a : p p x} inf{a : p p x}

Q, Q,

< < ,

1

x ≡ ∀x ∈

Nel caso in cui 0 a 1 poniamo a R.

x

( )

1

a

Si ha: = ,

x y x+y

· ∀x, ∈

Teorema 1.12. (1) a a a y R;

= ,

x y xy ∀x, ∈

(2) (a ) a y R;

= , >

x x x ∀a, ∈

(3) a b (ab) b 0 x R.

Dalla definizione di potenza segue immediatamente

> > >

p

Teorema 1.13. Se a 1, p 0 allora risulta a 1.

Corollario 1.1. Si ha: 0 00

> < <

0 00 x x

⇒

a 1, x x a a

mentre 0 00

< < < >

0 00 x x

⇒

0 a 1, x x a a

> > =

x

Teorema 1.14. Dati a 0, a 1, b 0 l’equazione a b ammette una ed una sola

,

∈

soluzione x R. =

x

Definizione 1.5. La soluzione dell’ equazione a b si dice logaritmo di b in base a e si

denota con log b.

a

Il successivo teorema raccoglie le proprietà principali del logaritmo.

= > >

log b ∀a

Teorema 1.15. (1) a b; 0, a 1, b 0

a ,

= + > >

∀a

(2) log (xy) log x log y; 0, a 1, x, y 0

,

a a a

= > >

p ∀a ∈

(3) log x p log x; 0, a 1, x 0, p

, R;

a a

log x

= , α > α >

α ∀a,

(4) log x 0, a, 1, x 0.

,

a log a

α ⊆ ⊆

Definizione 1.6. Sia I un intervallo e sia S I L’insieme S si dice denso in I se

R < < < .

∀a, ∈ ⇒ ∃s ∈

b I, a b S : a s b

\

Vogliamo provare che ed sono densi in

Q R Q R.

< < δ <

∈ − ∈

Lemma 1.1. Siano x, y x y e sia 0 y x. Allora esiste n tale che

R, Z

< <

x nδ y.

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 5

< + = + <

∈ ≤

Dimostrazione. Sia m tale che mδ x (m 1)δ. Posto n m 1 si ha: x nδ.

Z

Inoltre = + = + δ + δ < + = .

≤ −

nδ (m 1)δ mδ x x y x y

Teorema 1.16. L’insieme è denso in

Q R.

<

∈ ∈

Dimostrazione. Siano a, b con a b Per il principio di Archimede esiste n tale

R N

< < <

< 1

1 − ∈ ·

b a. Applicando il Lemma esiste m tale che a m b e quindi

che 0 Z

n n

< <

mn

a b. \

Teorema 1.17. L’insieme è denso in

R Q R. θ <

θ θ > −

∈ \ b a. Per il Lemma

Dimostrazione. Sia Supponiamo 0 e sia n tale che

R Q. n

< θ < θ

mn mn

∈ ∈ \

esiste m tale che a b e quindi la tesi con per m 0. Infatti, se

,

Z R Q

θ θ = θ

mn mn n

∈ · ∈

fosse allora si avrebbe

Q Q.

m

1.3. Cenni di calcolo combinatorio. Nel seguito sarà utile adottare le seguenti conven-

zioni: = = − ∀k ∈

Definizione 1.7 (Coefficienti binomiali). Posto 0! 1 e k! (k 1)! k, definiamo

N

!

n ≡ ∈

1, n N 0

0

!

n n! ,

≡ ≤ ≤

1 k n

−

k k! (n k)!

n

I numeri si dicono coefficienti binomiali. È utile osservare che

k

Teorema 1.18. ! ! ! !

! − −

n n 1 n 1 n

n = , + = .

− −

n k k 1 k k

k

Dimostrazione. Immediata dalla definizione.

Inoltre si ha:

Teorema 1.19 (Formula del binomio di Newton).

n !

n

X

+ = , .

n k n−k ∀a, ∈ ∀n ∈

(a b) a b b R N

0

k

k=0

Osservazione 1.2. I coefficienti binomiali presenti nella formula del binomio si possono

= .

n

calcolare anche secondo lo schema seguente. Diciamo a Allora si ha:

n,k k

=

a 1

1,1 = + , ≤ ≤

a a a 1 k n

n+1,k n,k n,k−1

6 G. DI FAZIO

2. I N C

 2 ≡ × ≡ {(a, ∈

2.1. La natura algebrica dei numeri complessi. Posto b) : a, b

R R R R}

2

diamo ad una struttura algebrica introducendo opportune operazioni.

R , +

2 ·)

Teorema 2.1. L’insieme (R è un campo con le seguenti operazioni:

= + + = +

· · −

(2.1) (a, b) (c, d) (a c, b d), (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc)

Dimostrazione. Basta verificare la definizione di campo.

Definizione 2.1. Il campo di cui al teorema precedente si chiamerà il campo complesso

e sarà denotato con C.

Teorema 2.2. L’insieme è isomorfo a

C R.

0 ϕ →

Dimostrazione. Si verifica facilmente che l’applicazione : è un isomorfismo.

C R

0

= = =

Definizione 2.2. Dato un numero complesso z (a, b) poniamo (0, 1) i, (1, 0) 1 e

= +

otteniamo z a ib, dove a si chiama parte reale e b si chiama parte immaginaria. Il

= −

numero z̄ a ib si dice coniugato di z.

∈

Teorema 2.3. Per ogni z si ha:

C !

1 1

+ = + , = , = =

+ = = ¯

· ·

− z z z̄ z̄ z z z̄ z̄ z̄ z,

z z̄ 2a, z z̄ 2ib 1 2 1 2 1 2 1 2 z z̄

√

= · |z|

∈ |z| z z̄. Il numero si dice modulo del numero

Definizione 2.3. Dato z poniamo

C

complesso z.

Teorema 2.4. Si ha: = =

|z| ≥ ∀z ∈ |z|

1- 0, e 0 se e solo se z 0;

C +

|Rez|, |Imz| ≤ |z| ≤ |Rez| |Imz|, ∀z ∈

2- C;

=

|z̄| |z| ∀z ∈

3- C;

=

|z · | |z | · |z |, ∀z ∈

4- z C;

1 2 1 2

= ,

1 1 ∀z ∈

5- C;

|z|

z + + ,

|z | ≤ |z | |z |, ∀z ∈

6- z z C;

1 2 1 2 1 2

,

| − |z || ≤ |z ± |, ∀z ∈

7- z z

||z C;

1 2 1 2 1 2

−x ∈ ≤ |x|;

8- x, allora x

R

|x| ≤ −a ≤ ≤ ∀a, ∈

9- a, x a, x R.

2.2. la forma trigonometrica dei numeri complessi. I numeri complessi possono es-

sere scritti utilizzando le cosiddette e Precisa-

forma trigonometrica forma esponenziale.

θ

mente indichiamo con l’angolo (con segno) formato dalla congiungente il numero z con

0 e la semiretta asse reale positivo. Si ha:

= θ + θi = θ + θ) .

iθ

(cos

|z| |z| |z| ≡ |z|e

z cos sen i sen +θ

= , = =

iθ iθ i(θ )

|z |e |z |e · |z · |e

Osservazione 2.1. Siano dati z z . Allora z z z .

1 2 1 2

1 1 2 1 1 2 1 2

Dall’ osservazione precedente segue subito la Formula di De Moivre

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 7

= =

iθ n n inθ

|z|e |z|

Teorema 2.5 (formula di De Moivre). Se z allora z e .

Affrontiamo adesso il problema della estrazione di radice n-esima nel campo comp-

ω = %e = ω.

iϕ iθ n

≡

lesso. Sia dato re . Dobbiamo cercare - eventuali numeri z tali che z

Ciò é come dire che deve accadere:

% = = ϕ +

n ∀k ∈

r, nθ 2kπ, Z

e quindi √ iϕ+2kπ

p

ω = .

n

n |ω|e n

Notiamo esplicitamente che, visto che lo sfasamento angolare tra due radici consecutive

è ϕ + + ϕ +

2(k 1)π 2kπ 2π

= = .

− −

A A

k+1 k n n n

√ = =

n |1|

Esempio 2.1. Calcolare le radici 1. Tenuto presente che 1 e che arg(1) 0, basta

applicare la formula da cui si ottiene

√ 2kπi

n = , = . . . , −

1 e k 0, 1, n 1.

n + 20

Esempio 2.2. Calcolare il numero (1 i) . Trasformiamo il numero in forma trigono-

√ π

+ = i . Si ha:

metrica, 1 i 2e 4 √ π

+ = = = .

20 i 20 10 5iπ 10

−2

(1 i) ( 2e ) 2 e

4

Esercizio 2.1. Risolvere l’equazione =

2

(z|z|) iz̄. = = =

4

|z| |z| |z|

Prendendo i moduli di ambo i membri si ha: da cui 1 oppure z 0.

= , θ = =

iθ 3iθ

∈

Quindi z e Sostituendo nell’equazione data si ottiene e i da cui cos 3θ

R.

=

0, sen 3θ 1 e quindi π + 2kπ , =

= )

i( k 0, 1, 2.

z e 6 3

Esercizio 2.2. Risolvere l’equazione = .

4 4

|z|

z

= = =

4 iθ

≥ |z|e

Dopo avere osservato che z 0 è soluzione si ha: z 0 da cui z con 4θ

∈

2kπ, k ovvero le soluzioni sono i numeri reali ed i numeri immaginari.

Z.

Esercizio 2.3. Risolvere l’equazione

+ = .

− −

(2.2) zz̄ 3(z z̄) 4 3i

Esempio 2.3. Dalla formula del binomio di Newton si possono ricavare le formule di

n-plicazione della trigonometria.

Infatti, n !

n

X

= θ + θ) = θi θ

inθ n n−k k k

e (cos i sen cos sen

k

k=0

8 G. DI FAZIO

da cui segue n

 

!

n

X

=Re θi θ

 

n−k k k

cos nθ cos sen

(2.3) 

 k

k=0

n

 

!