Analisi matematica I - la compattezza nei numeri reali

Appunti di Analisi Matematica I

Qualche Applicazione della compattezza. Innumerevoli sono le applicazioni del concetto di compattezza. Presentiamo in queste pagine alcune conseguenze del concetto di compattezza applicato alle funzioni continue.

Teorema 0.2 Sia K ⊆ R compatto e sia f : K → R una funzione continua in K. Allora, f (K) è compatto.

Dim. Sia {y }, n = 1, 2, . . . , una successione di punti di f (K). Dobbiamo provare che da essa si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento di f (K). Per il fatto che y ∈ f (K) esiste x ∈ K tale che f (x ) = y . Per l’ ipotesi di compattezza di K, dalla successione {x } si può estrarre una sottosuccessione {x }, n = 1, 2, . . . , convergente ad un punto x ∈ K. Poiché la funzione f (x) è continua, si ha: lim f (x ) = f (x ) ∈ f (K) n→∞ da cui la tesi perché y = f (x ) è un’ estratta di {y }, n = 1, 2, . . . , .

Teorema 0.3 (di ...)

Weierstrass) Sia K ⊆ R compatto e sia f : K → R una funzione continua in K. Allora, la funzione è dotata di massimo e di minimo in K, ovvero ∃x ∈ K : f (x) = sup f (x), ∃x ∈ K : f (x) = inf f (x).

Dim. Per il teorema precedente, f (K) è compatto e quindi, in particolare, è chiuso. Poiché l'estremo superiore e l'estremo inferiore di f (K) sono elementi di f (K), si ha sup f (x), inf f (x) ∈ f (K) da cui segue la tesi.

Teorema 0.4 (di continuità della funzione inversa) Sia K ⊆ R compatto e sia f : K → R una -1 : f (K) → K è continua in funzione continua ed iniettiva in K. Allora, la funzione inversa f -1 : f (K) → K è continua.

Dim. Per provare che la funzione f è continua in f (K) proviamo che tale risulta in ogni punto di f (K). Sia quindi y ∈ f (K). Usando la caratterizzazione della continuità attraverso le 0 successioni dobbiamo provare che, comunque si assegni una successione {y }, n = 1, 2, . . . , di

dato un insieme K, consideriamo una funzione f(K) che sia anche convergente a y, si ha:

lim f(y) = f(y) quando n tende a infinito

Dato la successione {y}, n = 1, 2, ..., in f(K), esiste {x}, n = 1, 2, ..., di punti di K tale che nf(x) = y. Chiamiamo x quel punto (unico per l'iniettività di f(x)) tale che f(x) = y. Provare che:

lim x = x quando n tende a infinito