Analisi matematica I - la compattezza nei numeri reali

La compattezza nell'insieme dei numeri reali

La compattezza è un concetto importante e profondo che permette di comprendere bene l'essenza dell'insieme dei numeri reali.

Lemma 0.1

1. Sia X ⊆ R. Un punto x appartiene a X̅ se e soltanto se esiste una successione {x_n}, n = 1, 2, ..., di elementi di X convergente ad x.

Dimostrazione: Sia x ∈ X̅. Poiché X̅ = X ∪ DX, può accadere che x ∈ X. In tal caso basta porre x_n = x per ogni n ∈ N. Se invece x ∈ DX, applicando la definizione di punto di accumulazione, si ha che ∀n ∈ N ∃ x_n ∈ X : x ≠ x_n e |x - x_n| < 1/n, da cui, passando al limite per n → ∞ segue la tesi.

Viceversa, se esiste una successione di punti di X convergente ad x, allora x ∈ X̅. Infatti, se così non fosse, dal fatto che x non appartiene alla chiusura di X si avrebbe che x non appartiene a DX e quindi dalla definizione di punto di accumulazione si avrebbe, ∃ ε̅ > 0 : ]x - ε̅, x + ε̅[∩X = ∅. D'altra parte, dalla definizione di limite ∀ ε > 0 : ∃ ν ∈ N : |x - x_n| < ε ∀n > ν e scegliendo ε = ε̅ si ha l'assurdo.

Lemma 0.2

2. Condizione necessaria e sufficiente affinché X ⊆ R sia chiuso è che per ogni successione convergente di elementi di X, il limite appartenga ad X.

Dimostrazione: Supponiamo X chiuso e consideriamo una successione convergente {x_n}, n = 1, 2, ..., di elementi di X. Per il Lemma 1, il suo limite x₀ appartiene a X̅. Essendo X chiuso, X̅ = X e quindi x₀ ∈ X.

Viceversa proviamo che DX ⊆ X per mostrare che X è chiuso. Se DX = ∅ la tesi è ovvia. In caso contrario sia x ∈ DX. Proviamo che x ∈ X. Poiché DX ⊆ X̅, si ha x ∈ X̅ e, per il Lemma 1, esiste una successione di elementi di X, diciamo {x_n}, n = 1, 2, ..., convergente ad x. A questo punto la conclusione è immediata conseguenza dell'ipotesi e quindi X è chiuso esattamente come si voleva.

Definizione di compattezza

Adesso possiamo introdurre la nozione di compattezza. Per mantenere l'esposizione il più elementare possibile diamo la definizione di compattezza sequenziale che, nel seguito sarà denominata semplicemente compattezza.

Definizione 0.1

Sia X ⊆ R. Diciamo che X è (sequenzialmente) compatto se da ogni successione {x_n}, n = 1, 2, ..., di elementi di X si può estrarre una sottosuccessione {x_n^*}, n = 1, 2, ..., convergente ad un elemento x ∈ X.

G. Di Fazio

Teorema 0.1

Sia X ⊆ R. Condizioni necessarie e sufficienti affinché X sia compatto sono le seguenti:

• X è chiuso;
• X è limitato.

Dimostrazione: Le condizioni sono necessarie. Infatti supponiamo X compatto e proviamo 1. e 2. Proviamo che X è chiuso. Per questo mostriamo che risulta DX ⊆ X. Se DX = ∅ la 1. è ovvia. Sia quindi x ∈ DX. Siccome DX ⊆ X̅, segue che x ∈ X̅ e quindi, per il Lemma 1 esiste una successione di punti di X, diciamo {x_n}, n = 1, 2, ..., convergente ad x. Dalla definizione di compattezza segue allora che è possibile estrarre una sottosuccessione {x_n^*}, n = 1, 2, ..., convergente ad un punto.