Analisi matematica I - gli estremi di insiemi

ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME NUMERICO

Definizione 1

⊆ ∈

≠ ≥

Siano 0 A R e L R. si dice che il numero L è un maggiorante dell’insieme A se risulta L a

∀ ∈

a A . Si dice che l’insieme A è limitato superiormente quando è dotato di maggioranti.

Analogamente si dice che l’insieme A è limitato inferiormente quando è dotato di minoranti cioè se

⊆

≠

∃ ∈ ≤ ∀ ∈

l R l a a A

: . Un insieme 0 A R si dice limitato quando risulta limitato sia

⊆

∃ ≠

≤ ≤ ∀ ∈

l , L : l a L a A

superiormente sia inferiormente e cioè .Un insieme 0 A R si dice non

limitato quando non risulta limitato superiormente, oppure inferiormente, oppure non risulta

limitato ne superiormente ne inferiormente.

Osservazione 1

⊆

≠

Sia 0 A R e supponiamo che A sia dotato di massimo. Ciò significa che esiste un numero reale

∈ ≥ ∀ ∈

M A : M a a A .

Osserviamo che M è caratterizzato dalle seguenti due proprietà.

I) M è maggiorante di A;

II) Non esistono maggioranti di A minori di M.

Conseguentemente M è il più piccolo dei maggioranti di A e analogamente, il minimo di A è il più

grande dei minoranti di A.

Osserviamo ancora che non tutti i sottoinsiemi di R hanno massimo o minimo. Ad esempio

l’intervallo ]1,2[ non ha ne massimo ne minimo,

Sussiste in proposito il seguente risultato che si dimostra utilizzando l’assioma di completezza di R.

Proposizione

L’insieme dei maggioranti (minoranti) di un insieme A limitato superiormente (inferiormente) è

dotato di minimo (massimo).

Dim

Indichiamo con B l’insieme dei maggioranti di A. B è non vuoto per ipotesi A è limitato

superiormente. Essendo A e B separati per l’assioma di completezza

∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

c R : a c b a A b B

, ∈

≥ ∀ ∈

c a a A

Essendo c è un maggiorante di A e quindi c B.

≤ ∀ ∈

c b b B

Essendo c è il minimo di B

Il teorema è dimostrato.

Definizione 2 1

⊆

≠

Sia 0 A R un insieme limitato superiormente. Il minimo dei maggiorante di A si chiama estremo

superiore di A. Analogamente se A è limitato inferiormente il massimo dei minoranti si chiama

estremo inferiore di A.

L’estremo superiore e l’estremo inferiore di A si indicano rispettivamente con i simboli supA e

infA.

Osservazione 2

Una volta data questa definizione la proposizione precedente si può riformare dicendo che ogni

insieme limitato superiormente ha estremo superiore e ogni insieme limitato inferiormente ha

estremo inferiore. ∈ ∈

Evidentemente se supA A allora supA è anche massimo di A e ,analogamente, se infA A infA è

anche il minimo di A. ⇒ ≤ ≤

∈

≤ inf A a sup A

Si noti ancora che infA supA perché a A .

Proposizione (sulle proprietà caratteristiche dell’estremo superiore e inferiore)

⊆

≠

Sia 0 A R un insieme limitato superiormente. Vale l’equivalenza:

′ ′ ∀ ∈

≤

 

a A

1) a e

′ ′= ⇔  

( e sup A

) ′ ′

∃ ∈ ≤ −

e

∀ >

e

 

a A : a e

2) 0 e e

Analogamente se A è limitato inferiormente

′

≥ ∀ ∈

 

1) a e a A

′ = ⇔  

( e inf A

) ′

∀ > ∃ ∈ < +

e e

 2) 0 a R : a e

e e

Dim

Basta osservare che la proprietà 1) equivale a dire che e” è un maggiorante mentre la proprietà 2)

equivale a dire che ogni minore di e” non è un maggiorante. Conseguentemente le proprietà 1) e 2)

messe insieme equivalgono a dire che e” è il più piccolo dei maggioranti e cioè, che e” è l’estremo

superiore di A.

Definizione 3

⊆ def

≠ = + ∞

Se 0 A R è un insieme non limitato superiormente si pone . In altri termini

sup A

∃ ∈ >

def a A : a L )

= +∞ ⇔ ∀ >

(sup A ) ( L 0 − ∞

Analogamente A non è limitato inferiormente inf A= .

Osservazione 3

Una volta data la nozione di estremo superiore e inferiore di un insieme è facile dimostrare la

seguente proporzione.

Proposizione 2

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. V.S.i. ( )

⇔ =

sup A inf B

(A e B separati e contigui)

ESTREMI DI UNA FUNZIONE REALE

Definizione 1

→

f : X R

Sia si dice che f è dotata di massimo in X se il suo condominio f(X) è dotato di massimo

e cioè se ˙˙˙

˙˙˙ ∀ ∈

≤ ˙˙˙

∃ ∈

˙˙˙ f ( x ) f ( x ) x X

x X :

Si chimi massimo di f nell’insieme X il massimo del condominio f(X) (se esiste) e si denota col

max f

simbolo . Conseguentemente:

x def

=

max f max f ( X )

x

=

∈

˙˙˙ f ( X ) max f

x X

Ogni punto : si chiama punto di massimo di f in x.

x

Analogamente si definisce il minimo di f in X (se esiste) ponendo:

def

=

min f min f ( X )

x

Osservazione 1

Si noti che il minimo e il massimo di f in X sono unici, invece i punti di minimo e massimo possono

essere anche infiniti.

Definizione 2

→

f : X R

Sia . Si dice che f è limitata superiormente (inferiormente), in X se tale è il suo

condominio f(X). Si dice f è non limitata superiormente (inferiormente) se tale è il suo condominio

f(x).

f è limitata superiormente in x l’estremo superiore del suo condominio f(X) si chiama estremo

superiore di f in X e si denota def

=

sup f sup f ( X )

x +∞

Se invece f è non limitata superiormente in X si dice che l’estremo superiore di f in X è e si

def

= + ∞

pone sup f

In conclusione 

sup f ( X ) se f è limitata superiormente

= 

sup f +∞

 se f non è limitata superiormente

In maniera analoga 

inf f ( X ) se f è limitata inferiormente

= 

inf f − ∞

 se f non è limitata inferiormente 3

Osservazione 2

Rileviamo esplicitamente che l’estremo superiore come pure l’estremo inferiore non sono in

generale valori della funzione. =

∃ ∈ f ( x ) sup f

Evidentemente se e cioè se l’estremo superiore di f in X è il valore f( ) di

x X : x

= =

sup f max f f ( x )

f in allora . Analogamente vale per l’estremo inferiore.

x x

x

SUCCESSIONI NUMERICHE

Definizione 1

Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita nell’insieme di numeri naturali N e

→

a : N R

cioè una legge che ad ogni numero naturale associa un unico numero reale è una

def ∀ ∈

= a

n N

successione numerica si pone e cioè si indica con il valore della funzione in

a a ( n ) n

n

n, una volta introdotta questa notazione la successione stessa si denota col simbolo

a , a ,...., a ,........

1 2 n

Oppure anche con i simboli più compatti

( a ) a

; ( )

∈

n n N n

a , a ,...., a ,........

I valori che la funzione a assume nei punti 1,2,…..,n,….. si chiamano termini

1 2 n a a a

della successione più precisamente si chiama primo termine, secondo termine,….., termine

1 2 n

n_esimo o anche termine qualunque della successione.

Osservazione 1

Il codominio di una successione si chiama anche sostegno della successione.

Osservazione 2

Alle volte non è possibile definire una successione numerica il suo termine generale. Consideriamo

ad esempio la successione di Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,………..

Tale successione è definita dalla seguente proprietà:

= = = + ∀ ∈

a 1, a 1, a a a n N

+ +

1 2 n 2 n n 1

Perché ogni termine dopo il secondo è somma dei due termini precedenti. In tali casi si