Analisi matematica I - gli estremi di insiemi

ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME NUMERICO

Definizione 1: Siano 0 ≤ A ≤ R e L ≤ R. Si dice che il numero L è un maggiorante dell'insieme A se risulta L ≥ a per ogni a ∈ A. Si dice che l'insieme A è limitato superiormente quando è dotato di maggioranti.

Analogamente si dice che l'insieme A è limitato inferiormente quando è dotato di minoranti, cioè se ≤ a per ogni a ∈ A. Un insieme 0 ≤ A ≤ R si dice limitato quando risulta limitato sia superiormente che inferiormente, cioè esistono L ≥ e l ≤ tali che L ≥ a per ogni a ∈ A e l ≤ a per ogni a ∈ A.

Un insieme 0 ≤ A ≤ R si dice non limitato quando non risulta limitato superiormente, oppure inferiormente, oppure non risulta limitato né superiormente né inferiormente.

Osservazione 1: Sia 0 ≤ A ≤ R e supponiamo che A sia dotato di massimo. Ciò significa che esiste un numero reale M ≥ a per ogni a ∈ A.

Osserviamo che M è caratterizzato dalle seguenti due proprietà:

1. M è maggiorante di A;
2. Non esistono maggioranti di A minori di M.

Conseguentemente M è il più piccolo dei maggioranti di A e analogamente, il minimo di A è il più grande dei minoranti di A.

Osserviamo ancora che non tutti i sottoinsiemi di R hanno massimo o minimo. Ad esempio l'intervallo ]1,2[ non ha né massimo né minimo.

Sussiste in proposito il seguente risultato che si dimostra utilizzando l'assioma di completezza di R:

Proposizione: L'insieme dei maggioranti (minoranti) di un insieme A limitato superiormente (inferiormente) è dotato di minimo (massimo).

Dim: Indichiamo con B l'insieme dei maggioranti di A. B è non vuoto per ipotesi A è limitato superiormente. Essendo A e B separati per l'assioma di completezza, esiste c ∈ R tale che per ogni a ∈ A e ogni b ∈ B, a ≤ c ≤ b. In particolare, per ogni a ∈ A, a ≤ c, quindi c è un maggiorante di A. Pertanto, c ∈ B. Inoltre, per ogni b ∈ B, c ≤ b, quindi c è il minimo di B. Analogamente si dimostra che l'insieme dei minoranti di A è dotato di massimo.

è un maggiorante di A e quindi c ≤ B. ∀ ∈ c b b BEssendo c è il minimo di BIl teorema è dimostrato.

Definizione 2: 1 ⊆ ≠ Sia 0 A R un insieme limitato superiormente. Il minimo dei maggioranti di A si chiama estremo superiore di A. Analogamente, se A è limitato inferiormente, il massimo dei minoranti si chiama estremo inferiore di A.

L’estremo superiore e l’estremo inferiore di A si indicano rispettivamente con i simboli supA e infA.

Osservazione 2: Una volta data questa definizione, la proposizione precedente si può riformulare dicendo che ogni insieme limitato superiormente ha estremo superiore e ogni insieme limitato inferiormente ha estremo inferiore. ∈ ∈ Evidentemente, se supA = A, allora supA è anche il massimo di A e, analogamente, se infA = A, infA è anche il minimo di A. ⇒ ≤ ≤ ∈ ≤ inf A a sup A. Si noti ancora che infA ≤ supA perché A.

Proposizione (sulle proprietà caratteristiche)

dell'estremo superiore e inferiore) ⊆ Sia 0 A R un insieme limitato superiormente. Vale l'equivalenza: ′ ′ ∀ ∈≤  a A1) a e′ ′= ⇔  ( e sup A) ′ ′∃ ∈ ≤ −e∅ >e a A : a e2) 0 e eAnalogamente se A è limitato inferiormente′≥ ∀ ∈ 1) a e a A′ = ⇔  ( e inf A) ′∀ > ∃ ∈ +e e2) 0 a R : a ee eDimBasta osservare che la proprietà 1) equivale a dire che e″ è un maggiorante mentre la proprietà 2)equivale a dire che ogni minore di e″ non è un maggiorante. Conseguentemente le proprietà 1) e 2)messe insieme equivalgono a dire che e″ è il più piccolo dei maggioranti e cioè, che e″ è l'estremosuperiore di A.Definizione 3⊆ def≠ = + ∞Se 0 A R è un insieme non limitato superiormente si pone .

In altri termini, si ha A ⊆ ℝ. Si dice che A ha un estremo superiore A ∈ ℝ se per ogni L ∈ ℝ, si ha L < sup A ⇔ ∀ L > sup A. Analogamente, A non ha un estremo inferiore se inf A = -∞. Osservazione 3: Una volta data la nozione di estremo superiore e inferiore di un insieme, è facile dimostrare la seguente proposizione. Proposizione 2: Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di ℝ. Si ha (A e B separati e contigui) ⇔ (sup A ≤ inf B). ESTREMI DI UNA FUNZIONE REALE: Definizione 1: Sia f : X → ℝ. Si dice che f è dotata di massimo in X se il suo codominio f(X) è dotato di massimo, cioè se ∀ y ∈ f(X), y ≤ f(x) ∀ x ∈ X. Si chiama massimo di f nell'insieme X il massimo del codominio f(X) (se esiste) e si denota con max f. Conseguentemente, si ha x ∈ X : max f = f(x). Analogamente si definisce il minimo di f in X (se esiste) ponendo: def = min f.

min f ( X )x

Osservazione 1

Si noti che il minimo e il massimo di f in X sono unici, invece i punti di minimo e massimo possono essere anche infiniti.

Definizione 2→f : X RSia . Si dice che f è limitata superiormente (inferiormente), in X se tale è il suo condominio f(X). Si dice f è non limitata superiormente (inferiormente) se tale è il suo condominio f(x).

f è limitata superiormente in x l’estremo superiore del suo condominio f(X) si chiama estremo superiore di f in X e si denota def=sup f sup f ( X )x +∞

Se invece f è non limitata superiormente in X si dice che l’estremo superiore di f in X è e si pone sup f

In conclusione

sup f ( X ) se f è limitata superiormente

= sup f +∞

 se f non è limitata superiormente

In maniera analoga

inf f ( X ) se f è limitata inferiormente

= inf f -∞

 se f non è limitata inferiormente

Osservazione 2

Rileviamo

esplicitamente che l'estremo superiore come pure l'estremo inferiore non sono in generale valori della funzione. ∃ ∈ f(x) sup f. Evidentemente se e cioè se l'estremo superiore di f in X è il valore f() di x=X: x=sup f=max f f(x) in allora. Analogamente vale per l'estremo inferiore. x xx SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione 1 Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita nell'insieme di numeri naturali N → a : N → R, cioè una legge che ad ogni numero naturale associa un unico numero reale è una def ∀ ∈ = an N successione numerica si pone e cioè si indica con il valore della funzione in a(n) nnn, una volta introdotta questa notazione la successione stessa si denota col simbolo a, a,...., a,........1 2 n Oppure anche con i simboli più compatti (a)n a; ( ) ∈ n n N na, a,...., a,........ I valori che la funzione a assume nei punti 1,2,...,n,... si chiamano

termini₁, 2, n, a, a_{della successione} più precisamente si chiama primo termine, secondo termine,..., termine₁, 2, n-esimo o anche termine qualunque della successione.

Osservazione 1
Il codominio di una successione si chiama anche sostegno della successione.

Osservazione 2
Alle volte non è possibile definire una successione numerica il suo termine generale. Consideriamo ad esempio la successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
Tale successione è definita dalla seguente proprietà:
a_n = a_n-1 + a_n-2 per ogni n ∈ N+ con n ≥ 2
Perché ogni termine dopo il secondo è somma dei due termini precedenti. In tali casi si dice che la successione è definita induttivamente (questo so riuscito a tradurre non so se è il termine esatto), ciò significa che ogni termine deve essere calcolato utilizzando termini precedenti.

Osservazione 3
(a) Essendo una successione è limitata superiormente

se tale è il suo sostegno e cioè sen è in R : n Rn( a )

Analogamente e limitata inferiormente sen è in R : n RnE cioè il suo sostegno è limitato inferiormente.

Infatti la successione si dice limitata se è limitato sia superiormente che inferiormente e cioè

se n { } è in R : n Rse n { } ≤ ≤ → − ≤ ≤ → ≤ ≤

Notiamo che se poniamo risulta .n n n

Conseguentemente possiamo affermare che( ) ( )( ) ∃ > ≤ ∀ ∈a limitata M 0 : a M n Nn n

Definizione 2 { }∪ −∞ +∞R ,

Col simbolo che si legge R ampliato si denota l’insieme e cioè l’insieme che siR −∞ +∞ottiene aggregando all’insieme R i due simboli e .

Conseguentemente ( ) = −∞ = +∞∈ ↔ ∈oppure oppurex x R ( x R

1. Definizione 3 (intorno di un numero reale) I_l: Sia l un numero reale. Si chiama intorno di l e si denota col simbolo I(l) ogni intorno aperto (limitato o non limitato) al quale l appartiene. ∈ In altri termini se a,b e a<b R( )= ⇔ ∈ ⇔ < < I(l) ]a , b[ (l ]a , b[) ( a l b ) e e Sia ancora un numero reale positivo. Si chiama intorno di l di centro l e semidimensione e sie − +e e]l , l [ denota col simbolo I(l, ) l’intervallo Conseguentemente ( )∈ ⇔ − < < +e e ex I(l , ) (l x l )− ∞ − ∞+∞ +∞ Chiamiamo infine, intorno di (di ) e si denota con il simbolo I( ) (col simbolo I( )) ogni intervallo aperto e non limitato superiormente (inferiormente). In simboli +∞ = +∞ − ∞ = − ∞ ∀ ∈ ∀ ∈ I( ) ]a , [ I( ) ] , a[