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Analisi matematica I - gli estremi di insiemi Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica I per l'esame del professor Giuga. Gli argomenti trattati sono i seguenti: gli estremi superiore ed inferiore degli insiemi numerici ed in particolare le successioni numeriche e gli estremi di una funzione reale.

Esame di Analisi matematica I docente Prof. S. Giuga

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ESTRATTO DOCUMENTO

( a )

Infatti la successione si dice limitata se è limitato sia superiormente che inferiormente e cioè

n

≤ ≤

∃ ∈ ∀ ∈

l a L

L

, l R : n R

se n { } ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ≤

= l a L M a M a M

M max l , L

Notiamo che se poniamo risulta .

n n n

Conseguentemente possiamo affermare che

( ) ( )

( ) ⇔ ∃ > ≤ ∀ ∈

a lim itata M 0 : a M n N

n n

Definizione 2 { }

∪ − ∞ +∞

R ,

Col simbolo che si legge R ampliato si denota l’insieme e cioè l’insieme che si

R − ∞ +∞

ottiene aggregando all’insieme R i due simboli e .

Conseguentemente ( ) = − ∞ = +∞

∈ ⇔ ∈

oppure oppure

x x

x R ( x R ).

Definizione 3 (intorno di un numero reale) I ( l )

Sia l un numero reale. Si chiama intorno di l e si denota col simbolo ogni intorno aperto

(limitato o non limitato) al quale l appartiene.

In altri termini se a,b e a<b

R

( )

= ⇔ ∈ ⇔ < <

I (

l ) ]

a , b

[ (

l ]

a , b

[) ( a l b )

e e

Sia ancora un numero reale positivo. Si chiama intorno di l di centro l e semidimensione e si

e − +

e e

]

l , l [

denota col simbolo I(l, ) l’intervallo

Conseguentemente ( )

∈ ⇔ − < < +

e e e

x I (

l , ) (

l x l )

− ∞ − ∞

+∞ +∞

Chiamiamo infine, intorno di (di ) e si denota con il simbolo I( ) (col simbolo I( ))

ogni intervallo aperto e non limitato superiormente (inferiormente). In simboli

+∞ = +∞ − ∞ = − ∞

∀ ∈ ∀ ∈

I ( ) ]

a , [ I ( ) ] , a

[

( )

a R a R

Osservazione notevole

Si noti che, se l è un numero reale allora ogni intorno di I(l) di l contiene un intorno di centro l, I(l,

e

).

Infatti posto I(l)=]a,b[ a<l<b.

{ }

− −

e= min l a , l b

Posto allora e

E cioè indicata con la più piccola distanza di l dagli estremi a e b dell’intervallo ]a,b[

= − + ⊆ =

e e e

I (

l , ) ]

l , l [ ]

a , b

[ I (

l )

DEFINIZIONE DI LIMITE

Definizione 1 5

a a a

Sia ( ) una successione e l . Si dice che ( ) converge a l o anche che ( ) ha per limite l o

R

n n n

a

anche che tende a l e si scrive

n = →

lim a l a l a

(*) oppure (si legge tende a l)

n n n

n a

Quando la successione ( ) verifica la seguente proprietà.

n e − <

e

a l

Per ogni numero reale positivo esiste un indice, cioè un numero naturale v, allora n

In simboli dunque: ( ) ∃ ∈ > ⇒ − <

n n e

= ⇔ ∀ >

e N : n a l )

lim a l ( 0

n n

n

Osservazione 2 < e

− ⇔ − < < + ⇔ ∈ − +

e e e e

a l l a l a ]

l , l [

Essendo n n n

a

La proprietà di convergenza di ( ) si può anche esprimere nella maniera seguente:

n

∃ ∈ > ⇒ − < < +

n n e e

N : n l a l

n

∃ ∈ > ⇒ ∈ − +

n n e e

N : n a ]

l , l [

n e

− +

e e

]

l , l [

Ricordando che l’intervallo si chiama intorno di l di centro l e semidimensione e si

e e

denota col simbolo I(l, ), osservando che I(l, ) è assegnato quando è assegnato il numero positivo

e

, la definizione di convergenza si può formulare anche come segue:

( ) def ∃ ∈ > ⇒ ∈

n n e

= ⇔ ∀ e N : n a I (

l , ))

lim a l ( I (

l , ) n

n

n

Definizione 2 ∞

a

Si dice che la successione ( ) diverge positivamente o anche che ha per limite + o anche che

n

a tende a + e si scrive

n ( ) → +∞

= +∞

lim a a

oppure

n n

n n >

n∈ a M

N

Quando accade che per ogni M>0 esiste un tale che se n> n

In altri termini ( ) ∃ ∈ > ⇒ >

n n

= +∞ ⇔ ∀ > N : n a M

lim a ( M 0

n n

n

Osservazione 2

Vediamo esplicitamente che essendo

> ⇔ ∈ +∞ = +∞

a M a ]

M , [ I ( )

n n

La definizione di limite precedente si può anche esprimere :

( ) ∃ ∈ > ⇒ ∈ +∞

n n

= +∞ ⇔ ∀ +∞ N : n a I ( )

lim a ( I ( )

n n

n 6

Definizione 3 ∞

a a

Si dice che la successione ( ) diverge negativamente ( o anche ( ) ha per limite - ) e si scrive:

n n

= − ∞ → − ∞

lim a a

oppure

n n

n

a

Quando ( ) verifica la seguente proprietà:

n n n a

Per ogni M>0 esiste un indice tale che se n> allora <-M

n

In altri termini: ( ) ∃ ∈ > ⇒ < −

=− ∞ ⇔ ∀ >

n n

lim a ( M 0 N : n a M )

n n

n

Osservazione 3 < − ⇔ ∈ − ∞ = − ∞

a M a ] , M [ I ( )

Anche ora osservato che , la definizione di limite precedente si

n n

può anche esprimere ( ) ∃ ∈ > ⇒ ∈ − ∞

n n

=− ∞ ⇔ ∀ − ∞

N : n a I ( ))

lim a ( I ( )

n n

n

Definizione 4

Una successione si dice regolare quando ammette limiti (finito o infinito); si dice non regolare o

oscillante quando non ammette limite.

Considerando questo paragrafo sulla definizione di limite osservando che poiché ogni intorno I(l) di

e

l contiene un intorno I(l, ) di centro l, le varie definizioni di limite si possono riassumere nell’unica

Definizione generale di limite

a

Sia ( ) una successione e l .

R

n ( ) ∃ ∈ > ⇒ ∈

= ⇔ ∀ n n

lim a l ( I (

l ) N : n a I (

l ))

n n

n

Teorema sull’unicità del limite

a

Ogni successione regolare ( ) non può tendere a due limiti diversi.

n

Conseguentemente il limite se esiste è unico

Dim ≠

a l l

Supponiamo, per assurdo, che ( ) ammette due limiti

n 1 2

l l e

=

e 1 2

Posto >0 per la definizione di limite in corrispondenza di tale numero positivo

2 ∃ ∈ > ⇒ − < − <

n n e e

N : n a l a l

e

n 1 n 2

Ma ciò è impossibile. Infatti per la disuguaglianza triangolare se ciò è vero dovrebbe risultare 7

− = − + − ≤ − + + < = −

e

l l l a a l l a a l 2 l l

1 2 1 n n 2 1 n n 2 1 2

− < −

l l l l

E cioè 1 2 1 2 =

l l

Si conclude che l’ipotesi posta nel nostro ragionamento non può sussistere e quindi 1 2

PROPRIETA’ NOTEVOLI DEL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE

Proposizione 1 (criterio di convergenza per confronto)(teorema dei carabinieri)

a b c

Consideriamo tre successioni ( ) , ( ) e ( ) e un numero reale l.

n n n

Vale la seguente implicazione

≤ ≤ ∀ ∈

 

1) a b c n N  

n n n

 ⇒ =

 

= = lim b l

2) lim a lim c l

   

n

n n n

 

n n

Dim ∀ > ∃ ∈

e n

0 N

Per l’ipotesi 2) : − < < +

e e

l a l

> ⇒

n n

n − < < +

e e

l c l

n

Per l’ipotesi 1): − < ≤ ≤ < +

e e

l a b c l

n n n

E quindi vale anche la seguente proprietà

∃ ∈ > ⇒ − < < +

n n e e

∀ >

e N : n l b l

0 n a

La quale, come sappiamo, esprime appunto che l è il limite della successine ( ) per n che tende a

n

infinito.

Proposizione 2 (criterio di divergenza per confronto)

Valgono le seguenti implicazioni = +∞ ⇒ = +∞

≤ ∀ ∈ lim a ) (lim b )

( a b n N e n n

n n n n

= − ∞ ⇒ = − ∞

≤ ∀ ∈ lim b ) (lim a )

( a b e

n N n n

n n n n

Proposizione 3 (criterio della permanenza del segno)

a

Consideriamo una successione ( ) convergente. V.S.I.

n

> < ⇒ ∃ ∈ >

n ∀ >

n

(lim a 0( 0)) ( N : a 0 n )

n n

n

Dim 8

= ∈

lim a a

Poniamo .

R

n

n a a a

= > > − = >

e ∃ ∈ ∀ >

n n

0 a a 0

N n

Consideriamo . Per la definizione di limite : n

2 2 2

Corollario 1

a

Sia ( ) una successione convergente V.S.I.

n ∀ ∈ ⇒ ≥

≥ n N ) (lim a 0)

( a 0 n

n n

Dim < <

lim a 0 a 0

Se fosse , per il teorema della permanenza del segno dovrebbe risultare

n n

n

definitivamente contro l’ipotesi.

Corollario 2 a b

Consideriamo le successioni ( ), ( ) e supponiamo che tali successioni siano convergenti V.S.I.

n n

∀ ∈ ⇒ ≥

≥ n N ) (lim a lim b )

( a b n n

n n n n

Dim ≥ ∀ ∈

a b a b 0 n N

Consideriamo la successione ( - ). Essendo per ipotesi - dal corollario

n n n n

− ≥ − = −

lim a b 0 lim a b lim a lim b

precedente risulta n n n n n n

n n n n

Definizione (successione limitata)

a

Una successione ( ) si dice limitata quando il suo sostegno e un insieme limitato e quindi

n ∃ > ≤ ∀ ∈

M 0 : a M n N

n

Proposizione 4

Ogni successione convergente è limitata e cioè V.S.I.

= ∈ ⇒ ∃ > ≤

∀ ∈

(lim a l R ) ( M 0 : a M n N ) .

n n

n

Dim

Consideriamo . Per al definizione di limite risulta

∃ ∈ − <

n ∀ ∈

N : a l 1 n N

n

E quindi = − + ≤ − + < +

∀ >

n

a ( a l ) l a l l 1 l n

n n n

Posto allora { }

= +

M max a , a ,....., a ,1 l

n

1 2

Si conclude che ≤ ∀ ∈

a M n N

n 9

Osservazione

Si noti che l’implicazione contenuta nella proposizione 4 non si inverte cioè

/

a a

(( )limitata) (( )convergente)

n n

− n

(( 1) )

Ad esempio le successioni è limitata tuttavia oscillante.

Proposizione 5 (applicazione del teorema dei carabinieri) ⋅

a a

b b

Sia ( ) è una successione limitata e ( ) è una successione infinitesima, la successione ( ) e

n n

n n

infinitesima cioè  

∃ > ≤ ∀ ∈

1) M 0 : a M n N

n

 ⇒ ⋅ =

(lim a b 0)

 

= n n

2) lim b 0 n

 

n

n

Dim

Per l’ipotesi 1) ⋅ = ⋅ ≤ ⋅

a b a b M b

n n n n n

Cioè − ≤ ⋅ ≤ ⋅ ∀ ∈

M b a b M b n N

n n n n = =

lim b 0 lim b 0

La tesi segue dall’ipotesi 2) e dal teorema dei due carabinieri quando .

n n

n n

SUCCESSIONI MONOTONE

a

Una successione ( ), coerentemente a quanto detto per le finzioni si ha che è monotona se è

n

crescente cioè: < ⇒ < ∀ ∈

n m a n

, m N

a m

n

Oppure decrescente cioè: < ⇒ ≥ ∀ ∈

n m a n

, m N

a m

n

In particolare se la disuguaglianza ci dice che queste disuguaglianze valgono in senso stretto, allora

si dice anche strettamente crescente strettamente decrescente.

∀ ∈

n N

Evidentemente se scegliamo m=n+1 allora

⇔ ≤ ∀ ∈

(( ) crescente ) ( a

a a n N )

+

n 1

n n

⇔ ≥ ∀ ∈

(( ) decrescente ) ( a

a a n N )

+

n 1

n n

Teorema sul limite delle successioni monotone

a

Sia ( ) una successione monotona. Valgono le seguenti implicazioni.

n ⇒ =

(( ) crescente ) (lim sup a )

a a n

n n

n 10

⇒ =

(( ) decrescente ) (lim inf a )

a a n

n n

n

Conseguentemente ogni successione monotona è regolare. In particolare ogni successione

monotona è limitata e convergente.

Dim

Possiamo limitarci a dimostrare la prima implicazione perché la dimostrazione della seconda e del

tutto analoga. a

Supponiamo in un primo momento ( ) limitata e supponiamo

n ′ ′= < +∞

e sup a n

Per la proprietà caratteristiche che dell’estremo superiore risulta :

′ ′

≤ ∀ ∈

a e n N

I°) n ′ ′

∃ ∈ > −

n e

∀ >

e N : a e

0

II°) n a

D’altra parte per l’ipotesi di convergenza di ( ) risulta anche:

n

> ⇒ ≥

n

n a

a

III°) n

n

Dalle proprietà II°, III° e I° si deduce ′′ ′ ′

∃ ∈ > ⇒ − ≤ ≤ +

n n e e

∀ >

e N : n e a e

0 n

E di qui l’asserto per la definizione di limite della convergenza.

=

a sup a 1

Supponiamo ( ) non limitata e supponiamo anche

n n

Per definizione vale allora la seguente proprietà:

∃ ∈ >

n

∀ > N : a M

M 0 n

n

⇒ >

a a

Nell’ipotesi di convergenza n> n

n ∃ ∈ > ⇒ ≥ >

n n

∀ > N : n a a M

M 0 n

n

E di qui l’asserto per la definizione di limite nel caso della divergenza.

Il teorema e’ dimostrato

Osservazione (notevole)

Abbiamo visto che, in generale ⇒

/

(( a ) ) (( a ) convergente )

limitata

n n

Il teorema nel limite delle successioni monotone precisa che

(( a ) (( a ) convergente )

limitata e monotona)

n n

TEOREMI SULLA SOMMA, SUL PRODOTTO E SUL RAPPORTODEI LIMITI

a (

b )

Premettiamo che , considerate le successioni ( ), , le successioni

n n

a

+ ⋅ n

( )

( a b ) ( a b )

; ;

n n n n b

n 11


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

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