Corso di Analisi Matematica II

SPAZI VETTORIALI

Insieme → S

operazione

Funzione → legge di composizione (può essere sia INTERNA che ESTERNA)

• Legge di composizione interna:

ϕ: S × S → S prende una coppia di elementi dell'insieme e ne associa un elemento che è ancora dell'insieme

• Legge di composizione esterna:

ϕ: A × S → S un elemento della coppia non è di S, e ne associa un elemento che è di S

(S, ϕ) è una STRUTTURA ALGEBRICA

Una struttura algebrica si dice GRUPPO se:

1. ϕ è associativa
2. ∃ elemento neutro rispetto a ϕ
3. ∀ x ∈ S ∃ l'inverso di x

si dice avere GRUPPO ABELIANO se la struttura gode anche della:

1. ϕ è commutativa

es:

(R, +) è GRUPPO perché le 3 proprietà sono vere:

1. (x + y) + z = x + (y + z)
2. l'elemento neutro = 0
3. il simmetrico di x è -x

Un CAMPO

inoltre è definito da 2 operazioni:

(S, ◦, ·) è campo se:

• (S, ◦) è gruppo abeliano
• (S – {il neutro di ◦}, ·) è gruppo
• È distributivo rispetto a ◦

EDS

( R,_i +, ◦ ) il campo rispetto tre tre verità sono vera:

1. ( R,_i + ) è gruppo abeliano
2. ( R – {il neutro di ◦}, · ) è gruppo
• È associativa
• Il neutro è 1
• ∀x∈R ∃ l'inverso: x⁻¹ = 1/x

3 – x (y + z) = xy + xz

• (λ, +, ·) è campo
• (ɸ, +, ·) è campo

PROPRIETÀ di (S, +, ·):

• ∀x∈S 0 · x = x · 0 = 0
• ∀x∈S (−1) · x = −x = x (−1)
• ∀x∈S – {0_S}, (x⁻¹)⁻¹ = x
• ∀x∈S x · y = 0 ⇔ x = 0 oppure y = 0
• ∀x∈S_y ∃! a: x + a = y
• ∀x, y∈S –(x+y) = −x − y
• ∀x, y∈S (−x·y) = x (−y) = −xy

PRODOTTO SCALARE TRA 2 VETTORI

a • b = (a₁, b₁)

il risultato è un valore

• due vettori si dicono ortogonali se ∃λⱼ ∈ ℝ⋂ a ⋅ λ = b
• dal prodotto scalare si dedurrebbe la distanza fra 2 punti. Esistenza di una METRICA.Si può determinare la lunghezza di un vettore tramite la norma |λ| ≡ √(λ₁²+…+λ_n²) che altro non è che la √ del prodotto scalare di un vettore con sé stesso

Importante per il prodotto scalare è la DISEGUAGLIANZA DI CAUCHY-SHWARZ

dim.

Dati a, b ∈ ℝ

la diseguagianza vale se a e b sono proporzionate

il prodotto scalare gode delle proprietà associare, commutativa (a; b) ≥ 0

positivo se ha 2 quantita a_1²

︙ > 0 solo xe = 0

Lez. di Steinitz

Se ho _∑ = {v₁, ..., v_p} sistema lineare indipendente e ogni vettore € ℑ(S)

• _∑ = {v₁, ..., v₂}
• S = {u₁, ..., u₂}
• _∑ € ℑ(S)
• Allora P v₁ = 0 ma dato che il sistema non triviale indipendente è quindi v₁ = h₁₁u₁ + h₁₂u₁ + ... + h_1nu_n ^μ_u = _{μv u v n-1} e_n - _{hv αv} ora sotituisco alle altre μ_n
  • v₂ = h₂₁ u₁ + h₂₂ u₂ + ... h_2n μ_n
  ripeto lo stesso discorso per v₃, risolto subco v₂

  si vorranno una base per Rⁿ

  dim.

  ∃b₃∈ L(S) scegli K≥n

  considera il sistema S ∪ {b₃}

  se n+1=K ho finito

  se n+1≠K ∃ b₂ ∈ L(S∪{b₃})

  considera il sistema S ∪ {b₃} ∪ {b₂}

  se n+2=K ho finito

  se n+2≠K continuo ∃ b₃

  RELAZIONI DI GRASSMANN

  sullo spazio somma

  danno informazioni sullo spazio-somma

  ho H, K ⊆R^K

  • dim(H+K)=dimH+dimK-dim(H∩K)
    • serve per contare il numero di vettori lineari indipendenti dello spazio somma
  • se H∩K={θ}dim(H ∩K)=dimH+dimK
  • se H⊆R^K allora ∃K⊆R^K : H ∩K=R^K: dimR^K=K=I+(K-I)

  u₁=1;u₂

  u₂=-2;u₃

  u₃=1;u₄+5u₅=0

  -2u₃-2u₄+4u₅=0

  u₁-u₂

  u₂+2u₁+5u₃=0

  2u₁-u₄+4u₃=0

  (u₁,u₃,-2u₃,u₃).

  le soluzioni dipendono tutto di u₃ ci sono soluzioni tra cui quella banale (0;0;0:0;

  v₁, v₂ sono una base per le spazio vettoriale definito

  stabilità se sono indipendenti se le sono combinare le base in una base di R⁴

  λ₁(1;0;1;0)+λ₂(1,2,3,1)=(0.0.0.0)

  λ₂+2λ=0

  λ₂=0

  λ₁=0

  sono una base per le spazio generato da u₁ e v₂ (NFP)

  PROPOSIZONE X il completamento di una base:

  se lo S=(a₁,a₃

  S={a₁,a₂,3,...a₃} è ancora indipendete (è il numero di vettore è sempre lo stesse)

  Esercizio

  Dati i seguenti sottospazi di

  V = _IR⁴

  • U = Span {(2,1,1,3) (1,0,-1,4) (-1,0,-1,0,1)}
  • V = Span {(1,3,1,3) (2,4,1,3,0) (0,2,3,2)}
  1. Calcolare dim U e dim V e trovare 2 basi per U e V
  2. Trovare una base per U∩V e confrontarla con una base di IR⁴
  3. Trovare una base per U+V e confrontarla con una base di IR⁴
  • U:
  • u₃ = -u₁ + u₂
  • dim U = 2 perché ho 2 vettori indipendenti
  • V:
  • v₃ = 2v₁ - v₂
  • dim V = 2 "" "" ""

  Base di U = {u₁, u₂}

  Base di V = {v₁, v₂}

  Base di U∩V

  w ∈ U∩V w ∈ U e w ∈ V

  w = k₁u₁ + k₂u₂

  w = k₁v₁ + k₂v₂

  l₁u₁ + l₂u₂ = k₁u₁ + k₂v₂ l₁u₁ + l₂u₂ - k₁u₁ - k₂v₂ = 0 l₁(2,1,1,3) + l₂(1, 0, -1, 4) - k₁(1,3,1,3) - k₂(2,4,1,3,0) = 0

  che facilita il sistama dei 4 eqautizioni da 2x2

  • l₁ = 1
  • l₂ = -1
  • k₁ = 0
  • k₂ = -1

  l’intersezione non è nulla

  • U∩V ≠ 0

  w = u₁ + u₂ sostituendo essa è (1,1,0,-1)

  l'intersezione ha dim 1

  la base di U∩V è sporto quello vettore

  essa confrontata con una base contrib

  U ∩ V = {(1,1,0,-1)}