Corso di Analisi Matematica II

Spazi vettoriali

Insieme → S Funzione → operazione legge di composizione (può essere sia interna che esterna)

Legge di composizione interna

φ: S × S → S prende una coppia di elementi dell'insieme e ne associa un elemento che è ancora dell'insieme

Legge di composizione esterna

φ: A × S → S un elemento della coppia non è di S, e ne associa un elemento che è di S

(S, φ) è una struttura algebrica

Gruppo

Una struttura algebrica si dice gruppo se:

1. φ è associativa
2. ∃ elemento neutro rispetto a φ
3. ∀x ε S ∃ simmetrico di x

(x + y) + z = x + (y + z)

x il simmetrico = ∃ neutro

Gruppo abeliano

Si dice avere gruppo abeliano se la struttura gode anche della:

1. φ è commutativa

es. (x, y) ε S × S → x + y ε S

(R, +) è gruppo perché le 3 proprietà sono vere:

1. (x + y) + z = x + (y + z)
2. El neutro = 0
3. Il simmetrico di x è -x

Spazi vettoriali

Insieme → S Funzione → operazione (legge di composizione che può essere sia interna che esterna)

legge di composizione interna: ϕ: S × S → S prende una copia di elementi dell'insieme e mi associa un elemento che è ancora dell'insieme

legge di composizione esterna: ϕ: A × S → S un elemento della coppia non è di S e ne associa un elemento è

(S, ϕ) è una struttura algebrica

Una struttura algebrica si dice gruppo se:

1. ϕ è associativa
2. ∃ elemento neutro rispetto a ϕ
3. ∀x ε S ∃ inverso di x

Si dice avere gruppo abeliano se la struttura gode anche della:

1. ϕ è commutativa

es. (x, y) ε S × S → x + y ε S

(R, +) è gruppo perché le 3 proprietà sono vere:

• (x + y) + z = x + (y + z)
• El. neutro = 0
• Il simmetrico di x è -x

h₁v₁ + h₂v₂ + ... + h_nv_n = 0
x₁h₁ = 1
h₂ = h
h₃ = h
h_n = 0
verifica la dipendenza lineare

Il 0 dipende linearmente dagli altri vettori senza

Se contieni un altro sistema Σ Σ = {v₁...v_p} ⊆ S ⊆ {v₁...v_n} p ≤ n

se Σ è un sistema linearmente dipendente allora S è linearmente dipendente

dim. f₁v₁ + ... + f_nv_n = 0 un f diverso dalle affine agli non vettore che restano in S metto scalari nulli e trovo così la dipendenza lineare

S è lineamente dipendente se e solo se uno vettore tra gli n di dipende linearmente da tutti gli altri
∇ ∃: si = h₁v₁ + ... + h_i-1v_i-1 + h_i+1v_i+1 + ... + h_nv_n

dim. ho una combinazione lineare = 0
v_i = - h₂/h_i v₂ - ... - h_n/h_n v_n perché si dipende
v_i dipende linearmente dai parametri essendo questi scalari -h_i / h_i

dim v_i dipende dagli altri vettori

Numero di vettori di una base

Il numero di vettori di una base è il numero max di vettori linearmente indipendenti. A ⊆ Rⁿ Σ = {v₁, ..., v_p} base di A

Ogni sistema con più di p vettori è linearmente dipendente.

Se T è un sistema a p vettori che è una base dell'insieme Se trovo un sistema a q vettori allora per forza i q vettori α_i dipendente dagli altri. Questo sistema è linearmente dipendente.

dim. T = {u₁, ..., u_q} linearmente indipendente
T ⊆ A ⊆ L(Σ) per il lemma di Steinitz q ≤ p

Se q > p il sistema costituito T sarebbe dipendente

Tutte le basi di un insieme

Tutte le basi di un insieme contengono uno stesso numero di vettori.

A ⊆ Rⁿ Σ = {v₁, ..., v_p} base di A S = {u₁, ..., u_q} base di A ⇒ p = q

dim. S ⊆ A ⊆ L(Σ) → per Steinitz q ≤ p
Σ ⊆ A ⊆ L(S) → per Steinitz p ≤ q
⇒ p = q

Le basi sono importanti perché: se ho un insieme S il numero max di vettori indipendenti è il rango dell'insieme S.

Rango di S = numero di vettori di una base di S

λ₁ + λ₂ + λ₃ = 0
λ₁ + 2λ₂ + λ₃ + λ₄ = 0
λ₁ + λ₄ + (λ₂ + λ₄)t + (λ₃ + λ₄)t²