Analisi matematica I, elementi di logica,insiemi, funzioni.

Elementi di logica

La matematica è basata su alcuni principi da sempre essere dimostrati, sono utilizzati per dedurre nuove affermazioni. I principi si dicono assiomi e le nuove affermazioni si dicono teoremi. I nomi alle regole che stabiliscono in che modo devono essere formulati gli assiomi e i teoremi e quali sono le tecniche di deduzione ammissibili, di cui si occupa la logica formale.

La prima nozione fondamentale è quella di affermazione: ci sono affermazioni vere e affermazioni false. Esistono diversi modi per creare affermazioni partendo da quelle date.

Operazioni logiche

1. Negazione: Se P è un'affermazione, non P è vera se P è falsa, se non P è falsa P è vera.
   P: V F
   non P: F V
2. Congiunzione: Se P e Q sono due affermazioni, P e Q è l'affermazione che è vera quando P e Q sono entrambe vere.
   P: V V F F
   Q: V F V F
   P e Q: V F F F

Elementi di logica (ripetizione)

La matematica è basata su alcuni principi da sempre essere dimostrati, sono utilizzati per dedurre nuove affermazioni. I principi si dicono assiomi e le nuove deduzioni si dicono teoremi. Ci sono delle regole che stabiliscono in che modo devono essere formulate gli assiomi e i teoremi e quali sono le tecniche di deduzione ammissibili. Di ciò si occupa la logica formale.

La prima nozione fondamentale è quella di affermazione: ci sono affermazioni vere e affermazioni false. Esistono diversi modi per creare affermazioni partendo da quelle date.

1. Negazione: Se P è un'affermazione, non P è vera se P è falsa, se non P è falsa P è vera.
   P: V F
   non P: F V
2. Congiunzione: Se P e Q sono due affermazioni, P e Q è l'affermazione che è vera quando P e Q sono entrambe vere.
   P: V V F F
   Q: V F V F
   P e Q: V F F F
3. Disgiunzione: Se P e Q sono due affermazioni, P ∨ Q è un'affermazione vera quando almeno una tra P e Q è vera. Nel linguaggio comune, la disgiunzione rimanda a un'idea di alternatività che non è presente in logica formale, dove si prescinde dal contenuto delle affermazioni.
   P: V F F
   Q: V V F
   P ∨ Q: V V F
4. Implicazione: Se P e Q sono due affermazioni, l'affermazione P implica Q (P ⇒ Q) è sempre vera tranne nel caso in cui P è vera e Q è falsa. Si può formulare la parola "∞" nel linguaggio comune rimandando per l'implicazione a un concetto di causa-effetto, assente in logica formale. Si consideri l'affermazione "se n è multiplo di 4, allora n è multiplo di 2". Se n = 3 onde se nella verità l'affermazione è falsa, formalmente è vera perché sono tutte e due false. Se n = 2, P è falsa e Q è vera e P ⇒ Q è dunque vera.
   P: V F V
   Q: V V F
   P ⇒ Q: V V F
5. Doppia implicazione: Se P e Q sono affermazioni, l'affermazione P ↔ Q (P se e solo se Q) è vera quando P e Q sono entrambe vere o entrambe false.
   P: V F V F
   Q: V V F F
   P ↔ Q: V F F V

L'obiettivo del ragionamento matematico è dedurre nuove affermazioni vere da quelle di partenza. Se P e Q sono due affermazioni e ipotizzo che P, P ⇒ Q sono entrambe vere, dalla tabella di verità si deduce che Q è vera. Questa regola di deduzione fondamentale è nome chiamata "modus ponens". Essa ci dice che dimostrare un teorema significa stabilire la verità dell'implicazione.

Un altro modo per dimostrare un teorema è la dimostrazione per assurdo: (P e (non Q)) ⇒ (R e (non R))

1. Se P, Q, R sono tre affermazioni e l'affermazione ① è vera, allora le tabelle di verità mostrano che P ⇒ Q è vera. In questo caso, per dimostrare un teorema è possibile rendere de l'annumero per vero contemporaneamente l'ipotesi e la negazione della tesi porta a una contraddizione.

Predicati

Una seconda nozione fondamentale in logica è quella del predicato. Un predicato è un'affermazione dipendente da una o più variabili la cui verità dipende dalle variabili stesse.

• x² > 8 → predicato ad una variabile P(x)
• x + y > 10 → predicato a due variabili Q(x, y)

Le regole viste precedentemente sono utilizzate per produrre nuovi predicati partendo da quelli dati: il predicato risultante dipende da tutte le variabili da cui dipendono i predicati da comporre, esempio P(x) o Q(z, y) è un predicato nelle variabili x, y e z.

Procedure che consentono di ottenere affermazioni a partire dai predicati

1. Sostituzione delle variabili con costanti: P(x) → x³ > 1
   • Se x = 1 → 1 > 1 falso
   • Se x = 10 → 1000 > 1 vero
2. Applicazione dei quantificatori: universale ∀ (per ogni), esistenziale ∃ (esiste). Il quantificatore ∀ coinvolge qualsiasi elemento mentre ∃ coinvolge almeno un elemento. L'ordine di quantificazione è importante, esempio:
   • ∀x ∃y: x < y → vera
   • ∃y ∀x: x < y → falso

Teoria degli insiemi

Insieme: è una collezione di elementi. Se x è elemento dell'insieme A allora x ∈ A. Si possono indicare gli elementi di un insieme elencandoli (se sono finiti) A = {3, #, 12}. Con ∉ si indica l'insieme vuoto. Se A e B sono insiemi, se A è un sottoinsieme di B allora ogni elemento di A è anche elemento di B ∀x ∈ A: x ∈ B e si scrive A ⊆ B. Nel caso in cui A non coincida con B scriveremo A ⊂ B.

Principi degli insiemi

• A ⊆ B e B ⊆ A ⇒ A = B assioma di estensionalità
• ∅ ⊆ A
• A ⊆ A

Insieme delle parti: se A è un insieme, indichiamo come P(A) l'insieme formato dai sottoinsiemi di A. A = {1, 4}, P(A) = {∅, {}, {1}, {4}, {1, 4}}.

• Se A e B sono due insiemi d'elementi, l'unione A ∪ B è l'insieme che ha come elementi gli elementi di A e gli elementi di B.
  ∀x: x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)
  N.B. A ∪ ∅ = A
• Se A e B sono due insiemi, l'intersezione A ∩ B è l'insieme che ha come elementi gli elementi comuni di A e di B.
  ∀x: x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)
• Per individuare sottoinsiemi si utilizza il principio di predicazione: se R(x) è un predicato ad una variabile ed A è un insieme, si considera l'insieme B tale che B= ∅ ottenuto escogendo quegli elementi x di indice x in A e rendono vero R(x).
• La differenza di insiemi A e B, detto A \ B, è l'insieme tale che ∀x: x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B). Si tratta dunque del sottoinsieme di A che non contiene elementi di B. L'ordine nella differenza è importante.
• Siano A e B due insiemi, per quanto x ∈ A e y ∈ B. Diremo coppie ordinate x, y l'oggetto (x,y), l'oggetto e la prima componente della coppia è y la seconda. L'insieme di tutte le coppie ordinate (x,y), si dice prodotto cartesiano tra A e B e si indica A × B.

Funzioni

Siano A e B due insiemi. Se f è una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, diciamo che f è una funzione (o applicazione) tra A e B. L’elemento corrispondente a x ∈ A è indicato con f(x).

• f: A → B
• x → f(x)

L’insieme di partenza A viene detto dominio. Esempio: funzione che associa ad ogni numero naturale un numero pari:

• f: N → P
• n → 2n

Non è invece una funzione la legge tra l’insieme dei numeri positivi e quello dei numeri reali che associa ad ogni numero positivo a la soluzione dell’equazione x²=a. Infatti, al numero a=4 vengono associati i due numeri 2 e -2 quindi non un solo numero reale.

Def.: dire f: A → B un’applicazione tra A e B e C⊆A. Diremo immagine di C secondo f gli elementi ottenuti applicando la funzione f nel sottoinsieme C.

• f(C) = { y ∈ B : ∃x ∈ C f(x)=y }

Diremo che β(A) è l'insieme immagine di F e lo si indica con Im(F). Se I⊆B diremo preimmagine di I secondo F l'insieme degli elementi del dominio che sono associati a tale sottoinsieme (I).

• F^-1(I) := {x ∈ A : β(x) ∈ I}

Funzioni iniettive, suriettive, biettive, inverse

• Sia f: A → B un'applicazione tra A e B. Se per ogni x₁, x₂ ∈ A si ha f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂. Una funzione è iniettiva se agli elementi distinti di A vengono associati elementi distinti di B.
  • Esempio di iniettiva: f: N → P, n → 2n
  • Esempio di non iniettiva: g: Z → N, n → n², 9(-3)=9(3)=9
• Sia F: A → B un'applicazione tra A e B iniettiva. Diremo funzione inversa di F^-1 l'applicazione
  • F^-1: β(A) → A
  • Che associa ogni β ∈ β(A) l'unico elemento c ∈ A tale che β(c)=y
• Sia F: A → B una funzione tra A e B. Diremo che F è suriettivo da A su B se B=Im(β). Dunque F è suriettivo se ogni elemento di B proviene tramite F da un elemento di A, cioè B coincide con l'immagine di A. Una funzione è suriettiva quando ogni elemento del codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio. Quando una funzione è sia iniettiva che suriettiva allora è biunivoca. La funzione inversa è definita da B in A è surrettiva e iniettiva la funzione inversa sarà si può scrivere queste variabili m e n sono dette variabili mute perché descrivono la stessa legge.

Ottenere nuove funzioni da quelle date

• Restrizione: determina una funzione da A₁ in B che si dice restrizione di F ad A₁ e la si indica
• Funzione composta: tale che c'è una legge che può farla correre direttamente concatenando le due funzioni
  (g o g) n = g(g(n)) = g(n+1²) = (n+1)² = n²+2n+1
  n → n+1 → (n+1)²
  A gg o f = n²+2n+1
  N → N
  n → n²+2n+1
  La composizione e la concatenazione di due funzioni e) è possibile se il punto di arrivo corrisponde al punto di partenza della seconda funzione.
  N → N
  f ○ g(f o g) = f(n²) = f(n+1)² = n²+2n+1
  n → n² → (n+1)²

Numeri reali

Proprietà

• 1^a proprietà somma: data due numeri ne viene associato un altro; O è l'elemento neutro delle somme per ogni numero n è l'oggetto cioè la somma algebrica e O gode della proprietà commutativa e associativa
• 2^a proprietà moltiplicazione: 1 è l'elemento neutro; O è l'elemento assorbente, il reciproco di un numero a parte come prodotto con un numero stesso 1 (numero diverso da 0), gode della proprietà commutativa e associativa
• 3^a proprietà Assioma di Dedekind: se prendiamo A e B due sottoinsiemi non vuoti di R se prendiamo un elemento x ∈ A e y ∈ B e se altro x ≤ y, esiste un elemento Z ∈ R che separa A e B tale che x ≤ z ≤ y
• 4^a relazione d'ordine: per x, y ∈ R se x ≤ y, o y ≤ x sono ugenti tali proprietà
  1. x ≤ x ∀ x ∈ R, x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y
  2. x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z
  3. x ≤ y allora x + z ≤ y + z
  4. x ≥ 0 e y ≥ 0 ⇒ xy ≥ 0

L'assioma di Dedekind afferma che quando si disegnano i numeri reali sulla retta ad ogni punto corrisponde un numero reale e viceversa si parla quindi di retta reale. Gli intervalli sono insieme definiti dalla relazione d'ordine:

• [a,b] tutti i numeri reali maggiori uguali ad a e minori uguali di b
• ]a,b[ tutti i numeri reali strettamente maggiori di a e strettamente minori di b
• ]a,b] intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
• a—b estremi compresi, intervallo chiuso
• a—o o—b estremi non compresi, intervallo aperto

Estremi superiori ed inferiori

Prendo E -R un suo elemento M è il massimo se ∀x∈E x≤M, mentre m è il minimo se ∀x∈E x≥m. Il massimo e il minimo sono unici. Il massimo di un insieme E si indica maxE, il minimo minE:

minE           maxE←─────────●─────────●──────────→         E

Non sempre un insieme ammette il massimo, il minimo o entrambi.

            ●────────────^MAX-────_MIN────────────                       ●────○────                       0            1           0

In questo caso è impossibile trovare un minimo, trovato un numero è sempre possibile trovare un numero più piccolo. Per trovare il sostituto del minimo bisogna indicare il maggiorante un numero più grande di tutti gli elementi dell'insieme, il minorante è un numero più piccolo di tutti gli elementi dell'insieme, il maggiorante o minorante non sempre possono essere ammessi. Se l'insieme è detto superiormente limitato se ammette un maggiorante, e se inferiormente limite si commette almeno un minorante.

Gli insiemi che non ammettono maggioranti sono illimitati superiormente e che non ammettono minoranti sono illimitati inferiormente.

Teorema

Sia E⊂ℝ un sottoinsieme non vuoto:

• Se E è superiormente limitato, allora l'insieme dei maggioranti di E è non vuoto e ammette minimo.
• Se E è inferiormente limitato, allora l'insieme dei minoranti di E è non vuoto e ammette il massimo.

Sia H(E) l'insieme dei maggioranti non vuoto ogni elemento di E è più piccolo di ogni elemento di M(E) per definizione. Per l'assioma di Dedekind n è un punto Z che separa i due insiemi:

∀x∈E, ∀y∈H(E): x≤y→ assioma di Dedekind

∀x∈E, ∀y∈H(E) x₀ ∃x∈ℝ x