Analisi matematica I, elementi di logica,insiemi, funzioni.

Elementi di logica

Analisi

La matematica si base su alcuni principi da sempre; essere dimostrati sono utilizzati per dedurre nuove affermazioni. I principi si chiamano assiomi e le nuove affermazioni si chiamano teoremi. Ci sono delle regole che stabiliscono in che modi devono essere formulate gli assiomi e i teoremi e quindi anche le tecniche di deduzione ammissibili. Di ciò si occupa la logica formale. La prima nozione fondamentale è quella di affermazione. Ci sono affermazioni vere e affermazioni false. Esistono diversi modi per creare affermazioni partendo da quelle date.

1. Negazione: se P è un'affermazione, non P è vera se P è falsa e se non P è falsa P è vera.

   • P V F
   • non P F V

2. Congiunzione: se P e Q sono due affermazioni, P e Q è l'affermazione che è vera quando P e Q sono entrambe vere.

   • P V F V F
   • Q V V F F
   • P e Q V F F F

3)

Disgiunzione: se P e Q sono due affermazioni, P ∨ Q è un'affermazione e vera quando almeno una tra P e Q è vera. Nel linguaggio comune la disgiunzione rimanda ad un'idea di alternatività che non è presente in logica formale, dove si prescinde dal contenuto delle affermazioni

P V F V F

Q V V F F

P ∨ Q V V V F

a)

Implica zione: Se P e Q sono due affermazioni, l'affermazione P implica Q (P ⇒ Q) è sempre vera tranne nel caso in cui P è vera e Q è falsa. Si può formulare la parola "Q" è nel linguaggio comune ➔ rimanda per l'implicazione ad un concetto di causa-effetto, assente in logica formale.

- Si consideri l'affermazione "se n è multiplo di 6 allora n è multiplo di 2 / se n = 3 onde se nella realtà l'affermazione è falsa, formalmente è vera perché sono tutte e due false. Se n = 2: P è falso e Q è vere e P ⇒ Q è dunque vera.

P V F V V

Q V V F F

P ⇒ Q V V V F

*

Se A e B sono due insiemi diremo unione di A e B, A∪B, l'insieme che ha come elementi gli elementi di A e gli elementi di B.

∀x: x∈A∪B ⇔ (x∈A ∨ x∈B)

N.B. A∪∅ = A

*

Se A e B sono due insiemi, l'intersezione A∩B è l'insieme che ha come elementi gli elementi comuni di A e di B.

∀x: x∈A∩B ⇔ (x∈A ∧ x∈B)

*

Per individuare sotto insiemi si utilizza il funzione di qualificazione: se R(x) è un predicato di x variabile ed A è un insieme, si considera l'insieme B tale che B⊆A ottenuto scegliendo quegli elementi x di variabile x in A, che rendono vero R(x).

*

La differenza di insiemi A e B, detto A\B, è l'insieme tale che ∀x: x∈A\B ⇔ (x∈A ∧ x∉B).

Si tratta dunque del sottoinsieme di A che non contiene elementi di B. L'ordine nella differenza è importante.

^A/B

*

Siamo A e B due insiemi e viviamo x∈A e y∈B. Diremo coppia ordinata x y l'oggetto (x, y), x è la prima componente della coppia y è la seconda.

L'insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) si dice prodotto cartesiano tra A e B e si indica A×B.

Numeri reali

1° proprietà somma: data due numeri ne viene associato un altro: 0; è l'elemento neutro della somma per ogni numero n e l'oggetto con la somma algebrica e 0 in goda della proprietà commutativa e associativa.

2° proprietà moltiplicazione: 1 è l'elemento neutro, 0 è l'elemento assorbente, il reciproco di un numero è parte come prodotto con un numero stesso (numero inverso di 0), gode della proprietà commutativa e associativa.

3° proprietà Axioma di Dedekind: se prendiamo A e B due sottoinsiemi non vuoti di R e si prende un elemento x ∈ A e y ∈ B e si abbia x ≤ y, esiste un elemento z ∈ R che separa A e B tale che

x ≤ z ≤ y

4° relazione d'ordine: se x, y ∈ R se x ≤ y o y ≤ x sono ugenti tale proprietà

• a) x < x, ∀x ∈ R, x < y e y ≤ x ⇒ x = y
• b) x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z
• c) x ≤ y allora x + z ≤ y + z
• d) x ≥ 0 e y ≥ 0 x·y ≥ 0

∀x∈ℝ ∃x∉E ∃x<l-ϵ

l-ϵ<l

l:ϵ non è per un maggiorante per

DIMOSTRAZIONE ❶ e ❷

1. l<x ⬇ l-ϵ<x

superiore

Essendo l=x, l è necessariamente un maggiorante

per E, poiché l è il minimo dei

maggioranti allora sup E ≤ l . ( l- supE≥0 )

Sia ϵ>0 e x∈E l-ϵ\ α ⬇ supE

da qui ⬇ ≤ l-supE ≤ ϵ

poiché ϵ>0 è arbitrario l=supE.