Analisi matematica I - appunti ed esercizi

Aveir cioè EA è 7: vuc-cioè ✗NE Er✗ unuse, intervallodell'sottoinsieme fra e v.uPROPOSIZIONE ] [ ]AEIR alè /limitato a A.EM fac- cioèMZO M: M<c->= , ,,)DIMOSTRAZIONE sarebbetu da[A ]AIRlinciato cioè →siasupp Eve u v:. .,, dimostrare{ } EM ]lui MM [ ]M n]cosicché tuchiamo E alui ±Max= v ,,,, ,][ fa Ase A o c-u '>E si che v±= usaavra, . ]Elvl]lui lui /uff v1lui > v1Ivlui E /E / EE> Eu = -= v✓-, , .,IN MENEMlui/M MEE In Mpoi EElui ME EM→ - - ---e .ININ NEVE MEuME MMEM =analogamente = EvSiccome> a>= -- - - - ..,ME M ]cioè [⇐ caffe v3 Mogni Manchea appartiene- a,, ,, ,]EMA [ A EM] M ]C-c- >E = Mvu ,, .,EEM ]) M EEM []> ]M hoMsupp A che Achiamo M⇐ = = u=n e v=- v, ,. , ,alintroduzione- diconcetto sup e. ""ing come Max. "' min' improprie ,similima . NORANTIESISTENZATEOREMA DI DEL MIMAX DEIMIN MAGGIORE DEL DEI ANTI① 0

superiormente=/Sia AEIR A limitato .,,Allora hal'insieme Adei dimaggiorenti minimo, .② 0#Sia A limitato inferiormenteAEIR .,, AAllora dideiinsieme minorati hal' massimo, .① 0DIMOSTRAZIONE AEIR A limitato cioè# Asia almenosuperiormente annette un,, ,{ } }{ altaB BEIRChiamo EAdei :bmaggiormente di- insieme =Amaggiorenti -_ _. .$=/Poiché A ha maggiormente Bun ., =/ 0BEH Ebltaea13=10AQuindi Aquesta situazioneinsiamo a: , ,, , fb C- B) 7C( V-ac-A.ltR b .BEBEdiass ECa>= C-completezza :. ., CEBAPoiché EC dunquediA maggioranzaèc-a a c un e, ., { Bc-B BInoltre Abbiamo ha' cheB dimb C-CE minb <, ..EBbEC b minimo, .②DIMOSTRAZIONE EsercizioSimile facoltativo. .DEFINIZIONE ¢ DefiniamoSia #A EIR A :., maggiorenti 1- è superiormente{ di limitatoseminimo dei Aa =sup superiormenteillimitatot A èse+ a )( ammetteA magfcioè nonse,superiore di .estremo A{ minoratideimassimo è limitatoAAdi inferiormentesefain =µ

a- inferiormentelimitatoAse ènonestremo diinferioreAOSSERVAZIONE ① Scriviamo » limitato« superiormentesupa +0 Ase= è enon ARscriviamo A è+surfc- <» finitoA« • »sera« anche « sup »oo limitatoèA superiormentesinonimi diresono cheper .② Scriviamo » limitato« inferiormenteA Ase•= è einf - non AR inscriviamo A èc- » > finitof A« »« in anchef inf«- »oo limitatoèA inferiormentesinonimi diresono cheper .-10sia AEIRPROPOSIZIONE A .,①legame Se( info Afra alloraha .infoilminimo 1-dimin = .,② semina moxaalloraA massimo d- 1-ha ilSupermaxtra Max = .,degli insiemi ①DIMOSTRAZIONE Suqq 3-A cioè minaabbia :cminimo .. , dimisuranteècreata AEA > un= c . inferiormenteA> limitatoèha minoranze cioè= Aun .,inf BERftp.infa-bA ., }b- minorennidei di AMax bzccè diminorenne Aun }b è

BECAminoranze beadi >=unAC C- {b=cDunque cioè )infla / A)minbè =>= ,b. ± ,② simileesercizio min inf maggiorentisuemai[ ]1- 4244 2 )= [4Mina Mota +04' ,,, $$( ) 474 21-infa =Supa, . ¥ 11IN1- + a= $}=/ 1E 01- 1 Inetti: $ È ){ 2} 1 2 (IN" infatti TreuA- Vaeac-" °>OEA ,1={2,3-2,1} } diao e- minoranze. un. .t.si#f:nc- ☒Inoltre Adiminorati} > oIN f-Infatti b b]0> :Ose netti <<, ,acbarea :b minoranze Adiènon un .> diminoratiilo dei -1= massimoè infila)> o= = ☒Inoltre mina infatti A) avessese, ,allora coincideredovrebbemin mina con, 0¢ Aossia mina 0infdil' A = ma, , §(A)O il>= min A)/è minnon >=spiegazioni interessantilezione 6 tante✗ . /[|| |min inf suemax{ }È attenzioneNEIN 2esercizi o2a +:- n +_ È È tenente ) fntttrn )Tn$fine }A- Tn 0neri → -: -- $ $ a{ aTn } +re EEITIA- -n:- , si prosegueesercizi see . . .PROPOSIZIONE 01 AEB=/BERsiano A.

,,Inf EinfaB B > sulsul A.,DIMOSTRAZIONE ][ intervallo V-bc-B.eu(B) beviinf B echiamo l' neunsuene :v= = = v.sulla intervallo East[sit ] to Bsl'(A) )=t seteinf c-:chiamo s e= e .inf infaMESESETEV][ > BE][sit > == nE u vAEBsupp >= ,. te BZSUPA> sul= v >=PROPOSIZIONE AEIR Atosia INFAESUEA, {4 infca SenecaA) )sull sul'DIMOSTRAZIONE maggiorenti⇐ è: definito dia) min=. . + o{ minorantimai/ èA) definitoinf diae = o-B l' deisia maggiorenti diainsieme minoratidei diD insieme Al'e .{ { }{ itaca:binfa B- b a>+ •A asnp e - _= = }db { salta AD= :D c-a{ { {asta EE Ebi a< dato+0+• a E• < ' b-- a-> >= -=<a <• d aLa o,-{ b< DEB ogniE casoina☐ d E (A)a Zinfca )sue-70][ EBEHbPROPOSIZIONE QEBsia EE a. a. , ., ,FETO ]bsia inft sul ,,DIMOSTRAZIONE ]E. intervallo te)=g f E9sulle(E)Inf 9 efechiamo l'f c- 9e Eze:= ± .{[f. ][9) ,bsiccome C- a (E)ihf ]Eb infetteEEb > bQAIFE> 9 ==f

£9 ,= >,sugge > ]± sut-E-a.toa <QEBTEOREMA CARATTERIZZAZIONEDI SUP IMFE DELL'DEL ..0 ③① =/Sia AAEIR RCEIR 0sia sia Esia A EIR a ce e,, .., AlloraAllora :: {{ il( aA < = •) Ha( ⇐i •c-CZQla (a)in> a <⇐"• c = ( 3-)Ii Ete « +3- AEA aE( a) c- :c->ii > ao:ao>e ,¢② 0④=/EIR A#ASia AERsiaA .,.,Allora Allora :: R A3- okA ×infa :> c-IR c-✗+ ⇐sul aafa<a == > -c- ×fa a= >✗ :)① è massioranti didei)sulla sulla)DIMOSTRAZIONE Poiché ASuee> ossia minc c= = ,,.. Itaca(è ) 'imaggio Adi quindi vale cioe czatanteunc .,,Per Efadim ADobbiamo c-:E aE >che)(dimostrare siaii > .o .., $ EfaEA ECE si ha chesull tale a -elemento: in . .. maggiorentimin deièmaggioranza ilmadi cQuindi E e- aunc- , E Questo faquindi ECE C- chedunque E0c- c-E a >e :prova>= ..,Ii)=) maggioranzaha AdièDalla unsi che< c . )( AERAquindi ha