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Limiti di funzioni di variabile reale
R R0 r 0 0B (x )r 0x 0 r xSi noti che un numero appartiene sempre al suo intorno.ESia un sottoinsieme di R.x E EUn numero appartenente ad si dice interno ad se almeno uno dei suo intorni è0 Ecompletamente contenuto dentro∈ ∃r ⊂x E > B E0 : (x )0 r 0B (x )r 0x 0 r xEEL’insieme di tutti i punti interni ad si indica con il simbolodef {x ∈E̊ E x= : è interno ad E}0 0x EUn numero appartenente ai numeri reali si dice di frontiera per se ogni suo intorno0 cE Econtiene elementi di e del suo complementare c∈ ∀r ∩ ̸ ∧ ∩ ̸x > B E B E0 (x ) = Ø (x ) = ØR0 r 0 r 0B (x )r 0x 0 r xE EL’insieme di tutti i punti di frontiera dell’insieme si indica con il simbolodef {x ∈∂E x E}= : è di frontiera perR 42 Limiti di funzioni di variabile realex EUn numero appartenente ai numeri reali si dice di accumulazione per se per ogni suo0 x xintorno esiste un numero reale diverso da appartenente
all'intersezione fra l'intorno ed0E ∈ ∀r ∃x, ̸ ∈ ∩x > x x x B E0 = : (x )R0 0 r 0EL'insieme di tutti i punti di accumulazione dell'insieme si indica con il simbolodef {x ∈E x E}acc = : è di accumulazione perRx EUn numero appartenente ad si dice isolato se per almeno uno dei suoi intorni si ha che0 E xl'intersezione fra l'intorno ed sia pari a 0∈ ∃r ∩ {x }x E > B E0 : (x ) =0 r 0 0Si noti come ogni punto isolato sia un punto di frontiera.E E EL'insieme si dice aperto se tutti i punti appartenenti a sono anche interni ad⇔E E E̊è aperto =E EL'insieme si dice chiuso se il suo complementare è aperto ovvero se contiene tutti i suoipunti di frontiera c⇔ ⇔ ⊆E E ∂E Eè chiuso è aperto5.2 Definizioni di limiti di funzioniA x A, lDati un sottinsieme dei numeri reali, un punto di accumulazione per un numero0f A l x x freale e una funzione definita da a si diceche è il limite per che tende a di seR 0∀ε ∃δ(ε) ∀x ∈ |x − |< |f −> A < x δ l|< ε0 : : 0 si ha (x)0 −ε, ε, l ε)In altre parole, comunque preso un per ogni intervallo del tipo (l + esiste un− ∪δ, x , x δ)intervallo del tipo (x ) (x + che è sua controimmagine.0 0 0 0 f xSi noti come nella definizione di questo limite non è importante il valore di calcolato in .0In notazione, questo concetto si esprime come segue∈f llim (x) = Rx→x0x fSi dice che il limite per che tende a x di una funzione tende a +∞ se0∀M ∃δ(M ∀x ∈ |x − |<> > A < x δ f > M0 ) 0 : : 0 si ha (x)0MIn altre parole, comunque preso un , l’immagine di ogni elemento appartente ad un inter-− ∪δ, x , x δ) Mvallo del tipo (x ) (x + è maggiore di .0 0 0 0 −∞x x fAnalogamente, siDice che il limite per x che tende a 0 di f(x) è 0 se per ogni numero M esiste un numero δ tale che per ogni x appartenente all'insieme |x| < < A < x < δ si ha |f(x)| < M.
Si possono dare la stessa definizione di limite facendo riferimento al concetto di intorno. In particolare, si denota con I(x) l'insieme che contiene tutti gli intorni di x.
0 < ∀U ⊂ I(x) se e solo se per ogni U appartenente a I(x) esiste un V appartenente a I(x) tale che per ogni x appartenente all'intersezione di U e V diversa dall'insieme vuoto si ha f(x) ∈ A.
Se l'insieme non è superiormente limitato o non è inferiormente limitato si dice che anche +∞ o -∞ fanno parte dei punti di accumulazione di A.
sup(A) = +∞ se e solo se +∞ è un punto di accumulazione di A.
inf(A) = -∞ se e solo se -∞ è un punto di accumulazione di A.
Grazie a questa definizione si riesce a estendere la definizione di limite anche al caso in cui x tende a infinito positivo o negativo. Infatti,
Rx→+∞ ⇔ ∀L ∈ ∃M ∈ ∀x ∈f A, x<M f > Llim (x) = +∞ : si ha (x)R Rx→−∞ ⇔ ∀L ∈ ∃M ∈ ∀x ∈f A, x<M f < Llim (x) = +∞ : si ha (x)R Rx→−∞ Anche per i limiti di funzioni vale il principio di unicità del limite [7] di cui si vedrà solo l'enunciato. A x A Teorema 17. Dati un sottinsieme dei numeri reali, un punto di accumulazione per 0f A e una funzione definita da a R. Se valgono le seguenti uguaglianze: lim (x) = e lim (x) = R R x→x0 0 allora si può concludere che l f llim (x) = 1. 244 Limiti di funzioni di variabile reale x A Un punto si dice di accumulazione da destra per x0 se0 ∀r ∩ ̸> , x r) A0 (x + = Ø0 0 Un punto si dice di accumulazione da sinistra per x0 se0 ∀r − ∩ ̸> r, x A0 (x ) = Ø0 0 Si dice che il limite di f per x che tende a x0 da destra è Rx→+∞. Si dice che il limite di f per x che tende a x0 da sinistra è Rx→−∞.destra è uguale a se0⇔ ∀U ∈ ∃δ ∀x ∈ ∩ ∈f l I(l) > , x δ) A f Ulim (x) = 0 : (x + si ha (x)0 0+x→x 0 f x x lSi dice che il limite di per che tende a da sinistra è uguale a se0⇔ ∀U ∈ ∃δ ∀x ∈ − ∩ ∈f l I(l) > δ, x A f Ulim (x) = 0 : (x ) si ha (x)0 0−x→x 0x ASe è un punto di accumulazione sia da destra che da sinistra per allora vale la seguente0equivalenza f llim (x) = +x→x⇔f l 0lim (x) = f llim (x) =x→x 0 − x→x 05.3 Caratterizzazione sequenziale del limiteA xTeorema 18. Sia un sottoinsieme dei numeri reali diverso dall’insieme vuoto e un0numero reale.x AAllora è di accumulazione per se e solo se esiste una successione (x ) i cui elementi0 n n∈NA x xappartengono ad e sono tutti diversi da il cui limite tende a .0 0∈ ⇔ ∃(x ∈ ̸x , x A, x x x xacc(A) ) = : lim =0 n
n∈N n n 0 n 0n→+∞
Il teorema della caratterizzazione sequenziale del limite permette di mettere in collegamento il concetto di limite di funzione e quello di limite di successione. Infatti, esso esprime la seguente equivalenza:
x → l se e solo se per ogni successione (xn) che tende a 0 si ha:
n∈N 0 →+∞
In altri termini:
∀(xn) : lim (xn) = l ⇔ lim (f(xn)) = l
Proposizione 12. Il limite per x → a di una funzione f(x) vale l se e solo se per ogni successione (xn) che tende a a si ha:
n∈N 0 →+∞
Dimostrazione: Per dimostrare questa equivalenza si dimostra prima la condizione necessaria e poi quella sufficiente. Si supponga, per ipotesi, che lim (x) = l e lim (xn) = a per n → +∞. Si vuole dimostrare che lim (f(xn)) = l per n → +∞. Si scrive la prima ipotesi con la definizione di limite:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x - a| < δ → |f(x) - l| < ε
0 : 0 (x)0δDalla seconda ipotesi e con riferimento allo stesso individuato dall’ε scelto nella definizioneprecedente ∀n |x − |<∃n > n < x δ: 0 n 0n xx n soddisfano le stesse condizioni di nella primaTutti i punti di scelto un maggiore dindefinizione, quindi si può scrivere|f − →l|< ε f l(x ) lim (x ) =n nn→+∞Per finire, si dimostri la condizione sufficiente.Si supponga, per ipotesi che f l x xlim (x ) = e lim =n n 0n→+∞ n→+∞e si vuole dimostrare che f llim (x) =x→x 0Per assurdo si suppone che la tesi sia falsa, quindi non sia vero che∀ε ∃δ ∈ ̸ |x − |< |f −> > x A, x x , < x δ l|< ε0 0 : = 0 (x)0 0Quindi ∃ε ∀δ ∈ ̸ |x − |< |f −x A, x x , < x δ l|≥ ε: = 0 (x)0 0δScelto pari a 1/n e usato nella definizione del limite della
successione (x)n n∈N1∃n |x - |<< x: 0 n 0 n Svolgendo la disequazione si ottiene 1 1 1 1- - ⇔ -< x x < x < x < x +n 0 0 n 0n n n n Per il teorema del confronto delle successioni convergenti [10] si può dire x xlim =n 0n→+∞ 46 Limiti di funzioni di variabile realeδ Con riferimento allo stesso si può dire che |f - → ̸l|≥ ε f l(x ) lim (x ) =n nn→+∞x x f Quindi si è ottenuto che
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