Analisi matematica I

Somma geometrica:

o 1−

= 1−

Sia q appartenente a R; allora:

o +∞ > 1

⎧ 1 = 1

lim 0 − 1 < < 1

→ ⎨

⎩ ≤ −1

Dimostrazione:

o Se q > 1, q=1+K, con K > 0; allora

 = (1 + ) = (1 + )(1 + ). . . >

quindi se q > 1.

1 + → ∞: → ∞

per ogni n.

 1 = 1

Se -1 < q < 1, dunque posso ridurre a 0 ≤ q < 1.

 → 0, | | = || → 0;

q=0 è ovvio: per ogni n ≥ 1; se 0 < q < 1, e come visto

0 = 0 > 1

prima con la prima, e quindi

= ( ) → ∞ → 0.

−1

Se q = -1, , dunque non converge ma

 = (−1) = 1

salta, e dunque il limite non esiste.

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 Condizione necessaria per la convergenza di una serie:

Condizione necessaria affinché una serie converga è che il termine

o ∑

generale → 0.

Come si vede dalla serie armonica, questa non è una condizione sufficiente.

o Dimostrazione:

o cioè e

 ∑ = , lim = lim = ;quindi

→ →

lim ( − ) = 0.

→

Ma ( − ) = ( + + ⋯ + ) − ( + + ⋯ +

Quindi se

) = . = 0; → 0 → ∞.

 Studio della convergenza della serie armonica generalizzata:

Con α che appartiene ad R, converge se e solo se α > 1.

o ∑

Dimostrazione:

o Provo che per α ≤ 1 la serie armonica diverge.

 In questo caso per ogni n; quindi .

∑ ≥∑

≥

Minorando termine per termine, mi accorgo che =∞.

∑

Assumendo ora α > 1, procedendo come prima, noto che ∑ =

, che converge.

∑ ( )

 Criteri di convergenza:

Del rapporto:

o definitivamente e suppongo che

 > 0 lim = .

→

 converge.

< 1

 diverge.

> 1

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 cambia criterio.

= 1

Della radice:

o definitivamente e suppongo che

 ≥ 0 lim ( ) = .

→

 converge.

< 1

 diverge.

> 1

 cambia criterio.

= 1

Del confronto:

o Suppongo che 0 ≤ ≤ definitivamente.



 Serie converge allora anche serie converge.

 Serie diverge a +∞ allora anche serie diverge a +∞.

Non valgono le implicazioni inverse.

Del rapporto asintotico:

o Date due successioni e , se , allora le loro serie hanno lo

 ~

stesso carattere (ovvero convergono, divergono,… entrambe).

 Simmetria:

Se x = -x per ogni x.

o Se f(x) = f(-x) la funzione è pari.

 Se -f(x) = f(-x) la funzione è dispari.



 Composta:

Chiamiamo composta di f e g la funzione f(g(x)).

o

 Inversa:

Si dice funzione inversa ogni f tale che va da A a R, con A in o uguale ad R; per

o ogni y appartenente ad f(A) esiste almeno una x in A tale che y = f(x).

Se questo x è unico, si dice che f è invertibile (biiettiva).

o

 Limite di funzione:

Sia L appartenente ad R. Diciamo che f(x) L per x , e scriviamo

o → →

se per ogni ε > 0 esiste un K tale che |x- | < f e dunque |f(x)-L| <

lim (x) = L,

→

ε.

 Funzione continua in un punto:

Sia f definita su I appartenente ad R; diciamo che f è continua in se

o

f( )= Se f è continua in ogni punto di I, diciamo che f è continua

lim (x).

→

su I.

Una funzione composta f(g(x)) è continua su I se f e g sono continue in I e f( ) =

o , con contenuta in I.

Una funzione inversa è continua su f(I) se f è invertibile e continua su I.

o

 Teorema degli zeri:

Sia f continua su un intervallo I in R; sia [ ] su I e supponiamo f( ) < 0,

o ,

f( ) > 0. Allora esiste un appartenente all’intervallo tale che f( ) = 0.

 Teorema di Weierstrass:

Sia f continua sull’intervallo [ Allora f ammette max e min su questo

o , ].

intervallo.

Dimostrazione:

o

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Sia S=estremo superiore della funzione nell’intervallo [ divido

 , ];

questo intervallo in 2 intervalli uguali: ho [ e

, ( + )/2]

[( + )/2, ].

S sarà il maggiore tra i due estremi superiori di questi intervalli.

Supponiamo che S sia nel primo; faccio lo stesso processo di prima.

Continuando così, ottengo una serie di intervalli [ ]:

,

 è una successione crescente.

 è una successione decrescente.

 se

− = → 0 → ∞.

Per i primi due punti entrambe le successioni ammettono limiti finiti; per

l’ultimo punto questi limiti coincidono.

Dunque, S < Se S = > j; ma visto che è compreso tra e ,

∞. ∞, ( )

che tendono entrambe ad un valore k da più e da meno, anche deve

tendere a k. Però, sapendo che f è continua, che è definito;

( ) → (),

qua c’è una contraddizione, dato che avevamo supposto S come infinito:

allora S può solo essere finito. Quindi e dunque la funzione

() = ,

ammette max su [ Stessa dimostrazione vale per il min.

, ].

 Derivata:

Sia I un intervallo aperto, contenuto e al limite = R, e sia appartenente ad I.

o

Sia f definita su I. Diciamo che f(x) è derivabile in se esiste finito il rapporto

( ) ( )

incrementale . In caso affermativo, scriviamo = rapporto

lim ( )

→

incrementale e la chiamiamo derivata prima di f nel punto .

 Relazione tra continuità e derivabilità:

Se f è derivabile in un punto allora f è continua in

o .

Dimostrazione:

o Funzione continua in significa che f( perché h e

 + h) → ( ), → 0

quindi f( Essendo f derivabile in per ipotesi,

+ h) − ( ) → 0.

( ) ( ) e dunque la funzione è continua. (Non vale il

lim ∙ ℎ = 0

→

contrario). ( ) ( )

Se esiste finito il , f(x) è derivabile in .

o lim

→

Dimostrazione:

o ( ) ( ) è il coefficiente angolare della retta (numeratore è la

 differenza tra le ordinate e denominatore la differenza tra le ascisse).

( ) ( )

Dunque , che è la derivata prima di f(x).

|

( ) = lim

→

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La retta tangente ad f(x) passa per [ y=f( )+

, ( )]; ( )( − ).

 Derivata di un prodotto:

Dimostrazione:

o Se si può dimostrare che essa equivale a .

| | |

 () = ( ∙ ) ∙ + ∙

 Teorema di Fermat:

Sia f : [a, b] su R, derivabile in x che appartiene a (a, b). Se è un punto di max o

o

di min, f( )=0. Questi sono detti punti stazionari.

Dimostrazione:

o Per ipotesi f( ≤ f( ) per ogni h tale che appartenga ad a, b.

 + ℎ) + ℎ

 Se h positivo:

( ) ( ) per il teorema della permanenza del

o ≤ 0 ( ) ( )

|

segno; dunque ( ) = lim ≤ 0.

→

( ) ( ) per il teorema della permanenza del

o ≥ 0 ( ) ( )

|

segno; dunque ( ) = lim ≥ 0.

→ |

Sempre per ipotesi sappiamo che f(x) è derivabile in , dunque e

 ( )

| devono coincidere; perciò |

( ) ( ) = 0.

 Teorema del valor medio di Lagrange:

Sia f derivabile in (a, b) e continua in [a, b]. Allora esiste un punto c

o ( ) ( )

appartenente ad a, b tale che |

= ().

Significato geometrico:

o Il teorema dice che c’è un punto in cui la tangente è parallela alla secante

 che passa per a e b.

Dimostrazione:

o

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( ) ( )

Pongo una retta n(x)=f(x)- dunque n(x) è la somma tra

 ( − ),

f(x) ed un’altra retta.

La retta n(x) ha le stesse proprietà di f(x) su a, b, essendo una sua

traslazione. ( ) ( )

Pongo che n(a)=f(a) e calcolo che n(b)=f(b)- ( − )=f(a);

dunque n(a)=n(b).

Con n(x) non costante, so dall’teorema di Weierstrass che n(x) ammette

max e min distinti in a, b; allora pongo n(s)=min e n(S)=max.

Visto che abbiamo verificato che la quota di n(x) ai due estremi è uguale,

almeno uno tra s e S non è un estremo, ma si trova all’interno

dell’intervallo.

Il teorema di Fermat implica che in s o S o entrambi la derivata sia nulla;

( ) ( ) ( ) ( )

dunque e quindi .

| | |

() = () − () =

Corollario:

o Se f(x) è definita e derivabile su di un intervallo aperto, se per

|

 () = 0

ogni x, allora f(x) è costante sull’intervallo.

 Test di monotonia:

Se f(x) derivabile su (a, b):

o f crescente su (a, b); derivata per ogni x.

 ≥ 0

F decrescente su (a, b); derivata per ogni x.

 ≤ 0

Dimostrazione:

o ( ) ( )

: il segno dipende da h.

|

 ( ) = lim

→

Considero per assurdo che f(x) non sia crescente: dunque esisteranno

due punti p e q, tali che p < q, ma con f(p) > f(q). ( ) ( )

Per Lagrange allora esiste un compreso tra p e q; |

( ) = <

0.

Qua c’è una contraddizione perché per ipotesi per ogni x.

|

() ≥ 0

 Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla:

Sia f definita su (a, b) in R; allora se f è costante in (a, b) e viceversa.

|

o () = 0

Se f derivabile su (a, b), per ogni x, allora f è strettamente crescente.

|

o () > 0

 Teorema di De L’Hopital:

Applicabile per limiti con forme di indecisione e .

o

 1° teorema ( ):

Siano f, g funzioni derivabili in un intervallo (a ,b