Analisi Matematica & Elementi di Statistica

Teoria degli Insiemi

Insieme (A)

Collezione di oggetti ben determinati e distintiIdentità degli elementi: A

Insieme vuoto: { } ; ∅

Metodi di rappresentazione

1. Elencazione

   L'ordine non conta e sono ammesse eventuali ripetizioni

   S = {x, y}   S = {y, x, y}

2. Descrizione

   Esplicitare le proprietà comuni degli elementi dell'insieme

   S = {x | p(x)} → tutti gli x che rendono vera p(x)

3. Diagramma di Venn

   Delimitazione di una parte del piano con una linea chiusa

Cardinalità di I. Numero di elementi distinti e non ripetuti appartenenti all'insieme

A = {x, y, z}   |A| = 3

A = {x, y, x, x}   |A| = 2

Simbolo di cardinalità

Relazione tra insiemi

• Inclusione Dati A e B (insieme) ogni elemento di A è contenuto in B → A ⊆ B o B ⊇ A ∅ ⊆ A e A ⊆ A → Sottoinsiemi Banali
• Inclusione Stretta Dati A e B, se A ⊆ B e se ∃ b ∈ B, b ∉ A → A ⊂ B o B ⊃ A
• Uguaglianza Dati A e B, se ∀ a ∈ A → a ∈ B e ∀ b ∈ B → b ∈ A → A = B

Operazione tra insiemi

• Intersezione Dati A e B, è costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } se A ∩ B = ∅ → Disgiunti o Incompatibili
• Unione Dati A e B, è costituito degli elementi che appartengono o ad A o a B A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }

L'evento F è detto:

• Certo se F = S
• Impossibile se F = ∅

· Dati gli eventi A e B, un evento

• Unione (A ∪ B) si verifica quando si verifica almeno uno tra A e B
• Intersezione (A ∩ B) si verifica quando si verificano entrambi A e B
• Complementare di A (A^C) = S \ A si verifica solo quando non si verifica A
• Se A ∩ B = ∅ -> eventi incompatibili

Sistema delle parti di S (o Universo degli eventi) P(S)

Dato S = {α, b, c}, P(S) = {∅, S, α, b, c, (α,b), (b,c), (α,c)}

Definizione di Probabilità

1. Classica

P(F) = |F| / |S| Cardinale di F = casi favorevoli Cardinale di S = numero di possibili esiti in S

Teorema di Bayes

• Preso F = {E₁, E₂, ... E_K} con

1. E_i ≠ ∅ ∀i = 1 ... K
2. E_i ∩ E_j = ∅ ∀i ≠ j ∈ [1, K]
3. ∪_i=1^k E_i = E₁ ∪ E₂ ... ∪ E_k = I

esso è detto Sistema Completo di Alternative

• Preso il K + 1-esimo E, esso è:

P(E) = P(∪_i=1^k (E ∩ E_i)) = ∑_i=1^k P(E ∩ E_i)

E_i è la somma di tutte le parti che si ottengono dall'intersezione di E con E_i.

• P(E) = ∑_i=1^k (P(E_i|E_i) ⋅ P(E_i))

fissato s ∈ [1; k]

P(E_s|E) = P(E_s ∩ E) / P(E)

quindi

P(E_s|E) = [P(E|E_s) ⋅ P(E_s)] / ∑_i=1^k [P(E|E_i) ⋅ P(E_i)]

Teorema di Bayes

Classi di Modalità

intervallo di estremi X_s e X_s+1. Detti Limiti; le classi di modalità sono anche dette BINS.

gli estremi di ogni classe sono anche detti CUT OFFS

• Classe Aperta: [X_s ; X_s+1[
• Aperta Sx Chiusa Dx: ]X_s ; X_s+1]
• Aperta Dx Chiusa Sx: [X_s ; X_s+1[
• Chiusa: ]X_s ; X_s+1[

Media (M_n)

Dati D := (D₁ D₂ ... D_n) → M_n =

^{D₁ + D₂ + ... D_n}/_n

M_n = ¹/_n . ∑_s=1ⁿ D_s

Scarto dalla media (S_s)

S_s = D_s - M_s

1. Se D_s = (k k ... k) → M_n = k
2. M_n (D₁ ... D_n) ≤ M_n (D) ≤ Max (D₁ ... D_n)
3. Se Z (Z₁ ... Z_n) con Z_s = a D_s + b

con a,b ∈ R :

M_n (Z) = a · M_n (D) + b

4) ∑_j=1ⁿ S_j = 0

Coefficiente di Variazione (C_v)

C_v = _Sn⁄^|M_n|

Formula Semplificata per la Varianza

1) ¹⁄_n (∑_s=1ⁿ D_s²) - μ²

2) ¹⁄_n (∑_s=1ⁿ D_s²) - ¹⁄_n² (∑_s=1ⁿ D_s)²

Esempio

D = (-3, 3, 7, 5, 1)   (-3, 1, 3, 5, 7)

M₁ = 2,6

M₂ = 3

• Dati   Scarti   VA Scarti   Scarti²
• -3   -5,6   5,6   31,36
• 3   0,4   0,4   0,16
• 7   4,4   4,4   18,36
• 5   2,4   2,4   5,76
• 1   -1,6   1,6   2,56

∑_s D_s = 13   0   14,4   58,2

μ=2,6   0   S_n=2,88   σ²=58,2/5

(13/5)   (14,4/5)   μ₂=3

Insiemi e Funzioni

A sottoinsieme di R

f: D ⊆ R → R

Dominio D ε D mediante f_o f(d)

Immagine: Im(f) = {y ∈ R : ∃ x ε D con f(x) = y}

Funzione

• Sovrattiva

  l’immagine di f coincide col codominio

  (non ci sono elementi nel Cod che Non hanno un reciproco nel Dom)

• Iniettiva

  elementi distinti del Dom hanno immagine distinta

  ∀ d₁, d₂ ε D ; d₁ ≠ d₂ ⇒ f(d₁) ≠ f(d₂)

• Biunivoca

  Sovrattiva e Iniettiva contemporaneamente

  e quindi: Invertibile : f^-1(x)

• Prodotto Cartesiano D × R

  insieme delle coppie (d; f(d))

Punti Isolati

esiste un intorno di x₀ in cui non cadono punti diversi da x₀.

L'insieme dei punti isolati di A è I(A).

Funzioni

Corrispondenza

che evoca tra 2 insiemi non vuoti, C e D

f : D → C oppure f : x ∈ D → f(x) ∈ C

Immagine di x mediante f

f(D) è l’insieme delle immagini di D.

f(D) ⊆ C poiché f(D) è un sottoinsieme di C.

Iniettiva

ogni elemento del codominio è immagine di UN SOLO elemento del dominio.

x₁, x₂ ∈ D con x₁ ≠ x₂, f(x₁) ≠ f(x₂)

Suriiettiva

ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

∀f(x) ∈ C ∃x ∈ D : f(x) = y ⟹ f(D) = C

∀y ∈ C

Iniettiva + Suriettiva = Biiettiva

Grafici di funzione

• Se f è limitata superiormente, i punti (x; f(x)) hanno: f(x) ≤ sup f(D) ∀x∈D e il grafico è al di sotto della retta y = sup f(D)
• Se f è limitata inferiormente, i punti (x; f(x)) hanno: f(x) ≥ inf f(D) ∀x∈D e il grafico è al di sopra della retta y = inf f(D)
• Se f è limitata, il grafico è contenuto in una striscia del piano cartesiano delimitata dalle rette y = inf f(D) e y = sup f(D)

Non Limitata        Limitata Inf                   Limitata Sup             Limitata

Funzioni pari e dispari

Presa f: D → ℝ il dominio è simmetrico rispetto ad x = 0 se x ∈ D = -x ∈ D; f si dice:

• Pari se f(x) = f(-x)
• Dispari se f(-x) = -f(x)