Analisi Matematica & Elementi di Statistica

Teoria degli Insiemi

Insieme (A)

collezione di oggetti ben determinati e distinti detti Elementi: A

2. vuoto: { } ; ∅

Metodi di rappresentazione

1. Elencazione l’ordine non conta e sono ammesse eventuali ripetizioni
   • S = { x, y }
   • S = { y, x, y }
2. Descrizione esplicitare la proprietà comune degli elementi dell’insieme
   • S = { x | p(x) }
   → tutti gli x che rendono vera p(x)
3. Diagramma di Venn delimitazione di una parte del piano con una linea chiusa

Cardinalità di I. numero di elementi distinti e non ripetuti appartenenti all’insieme

• A = { x, y, z } → |A| = 3
• A = { x, y, x, x } → |A| = 2

→ Simbolo di cardinalità

Teoria degli Insiemi

Insieme (A)

Collezione di oggetti ben determinati e definiti, detti elementi.

Insieme vuoto: { } ; ∅

Metodi di rappresentazione

1. Elencazione L'ordine non conta e sono ammesse eventuali ripetizioni

   S = { x , y } S = { y , x , y }

2. Descrizione Esplicitare le proprietà comuni degli elementi dell'insieme

   S = { x | p(x) }    ⟶  tutti gli x che rendono vera p(x)

3. Diagramma di Venn Delimitazione di una parte del piano con una linea chiusa

Cardinalità di I

Numero di elementi distinti e non ripetuti appartenenti all'insieme.

A = { x , y , z }    ⟶  |A| = 3

A = { x , y , x , x }    ⟶  |A| = 2

Simbolo di cardinalità

Relazioni Tra Insiemi

• Inclusione

Dati A e B (insiemi) ogni elemento di A è contenuto in B → A⊆B ⇔ B⊇A

∅⊆A e A⊆A → Sottoinsiemi Banali

• Inclusione Stretta

Dati A e B, se A⊆B e se ∃b∈B, b∉A → A⊂B ⇔ B⊃A

• Uguaglianza

Dati A e B, se ∀a∈A → a∈B e ∀b∈B → b∈A → A=B

Operazioni Tra Insiemi

• Intersezione

Dati A e B, è costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B

A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}

se A∩B = ∅ → Disgiunti o Incompatibili

• Unione

Dati A e B, è costituito dagli elementi che appartengono o ad A o a B

A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B}

Differenza Insiemistica

Dati A, B: è un insieme costituito dagli elementi appartenenti ad A ma non a B.

A ∖ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}

1)

A ∪ B

2)

A ∩ B

3)

A ∖ B

B ∖ A

Proprietà

1. Commutativa A ∩ B = B ∩ A ~ A ∪ B = B ∪ A
2. Associativa A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ~ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
3. Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. A ∩ (A ∖ B) = A ∩ B
5. Legge di De Morgan A ∖ (B ∪ C) = (A ∖ B) ∩ (A ∖ C)
6. (A ∩ B) ∖ C = (A ∖ C) ∩ (B ∖ C)
7. (A ∪ B) ∖ C = (A ∖ C) ∪ (B ∖ C)

Prodotto Cartesiano tra insieme

Dato A e B ⟹ A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

a e b sono dette prima e seconda coordinata

• A × B ≠ B × A ⟹ Il prodotto cartesiano non è commutativo

Cardinalità:

|A × B| = |A| · |B|

Statistica Descrittiva

• Raccoglie, elabora e rappresenta i dati inerenti ai fenomeni studiati

Popolazione (P): oggetto di cui si vuole ottenere una descrizione complessiva

Unità (u ∈ P): componente minima sulla quale è raccolta la singola informazione

Campione: insieme finito (estratto di P) di n unità statistiche

Campionamento

1. Con Ripetizione: presenta elementi ripetuti
2. In Blocco: non presenta ripetizioni

Statistica Inferenziale

Definisce i metodi che consentono di dedurre sulla popolazione le informazioni raccolte su un campione di essa

E: esperimento aleatorio

ω: possibile esito dell’esperimento

S: spazio campione = {ω | ω è esito ∈ E}

Evento Elementare: ha un solo esito

Evento Composto: ha più di un elemento

L'evento E è detto:

• Certo se E = S
• Impossibile se E = ∅

• Dati gli eventi A e B un evento
• Unione (A ∪ B) si verifica quando si verifica almeno uno tra A e B
• Intersezione (A ∩ B) si verifica quando si verificano entrambi A e B
• Complementare di A