Analisi Matematica

Teorema di Confidaro

R₊ = {x ∈ R | 0 < x ≤ x̅}, ed opero la restrizione f |_R+, ottengo una funzione iniettiva. Infatti se x̅₂ ∈ R₊ e x̅₁ ≠ x₂(*), cioè per esempio 0 ≤ x₁ < x̅₂, allora necessariamente x̅₁² ≠ x̅₂² perché, se per assurdo x̅₁² = x̅₂² allora 0 = x̅₂² - x̅₁² = (x₂ - x₁) (x₂ + x₁)e perciò si avrebbe x₂ - x₁ = 0 oppure x₂ + x₁ = 0. Siccome x₂ é positivo ed x₁ é non negativo x₂ ≠ x₁ ≠ 0 ed allora deve essere x₂ - x₁ = 0 e cioè x₁ = x₂ contro (*).

f(x) = x²f : R -> R

f(x) = x²f |_R+ : R₊ -> R

• In molti casi, la restrizione di una funzione ad opportuni sottoinsiemi del dominio permette di ottenere una funzione iniettiva che conserva l'insieme delle immagini.Questa proprietà diventa sempre vera (cioè che per ogni funzione esiste una restrizione iniettiva che conserva l'insieme delle immagini) se si

Teorema di Confinato

R₊ ⊆ x ∈ ℝ | 0 < x ≤ ξ

ed opero la restrizione f|R₊, ottengo una funzione iniettiva.

Infatti se x₂ ∈ R₊ e x₁ ≠ x₂ (t.c.) cioè per esempio 0 ≤ x₁ < x₂,

allora necessariamente x₁² ≠ x₂² perché, se per assurdo x₁² = x₂² allora

0 = x₂² - x₂² = (x₂ - x₁) (x₂ + x₁)

e perciò si avrebbe x₂ - x₂ = 0 oppure x₂ + x₁ = 0.

Siccome x₂ è positivo ed x₁ è non negativo x₂ ⨯ x₁ ≠ 0

ed allora deve essere x₂ - x₂ = 0 e cioè x₁ = x₂ contro (*).

In molti casi, la restrizione di una funzione ad opportuni sottoinsiemi del dominio permette di ottenere

una funzione iniettiva che conserva l'insieme delle immagini.

Questa proprietà diventa sempre vera (cioè che per ogni funzione esiste una restrizione iniettiva

che conserva l'insieme delle immagini) se si

accetta uno degli assiomi piu discussi della teoria degli insiemi o piu in generale della matematica stessa: l'assioma della scelta.

DefinizioneSiano A, B e D insiemi (non necessariamente numerici), A, B, C, D non vuoti:Siano f: A → B e g: C → D tali chef(A) ⊂ C.Allora si dice “funzione composta di f e g” e si denota con g ∘ f la funzione cosi definita

g ∘ f: A → D t. e. ∀x ∈ A : g ∘ f(x) = g(f(x))

Esempiof: {2, 3} → {-1, 0, 2, 3, 4, 6} t. e. ∀x ∈ A : f(x) = 2xg: { -2, 1/2, 1, 2, 3, 4, 6 } → {-4, -3/2, -1, 0, 1, 2, 4, 8}

t. e. ∀y ∈ C : g(y) = y - 2

f(A) = {2, 4, 6} ⊂ C, quindi posso costruireg ∘ f : A → D e ∀x ∈ A : g ∘ f(x) = g(f(x))g(f(x)) = g(2x) = 2x - 2

g∘f (A) = {0, 2, 4}

- Definizione

Sia A un insieme, A ≠ ∅La funzione id_A : A → A tale che ∀a ∈ A : id_A(a) = asi dice “funzione identica dell’insieme A” oppure “identità di A”.

- Definizione

Siano A, B insiemi non vuoti, f : A → B.La funzione f si dice “invertibile” seesiste g : B → A tale che

• f∘g = id_B
• g∘f = id_A

- Osservazione

Se f : A → B è invertibile allora esiste un’unicag : B → A tale che verificare (1) e (2).Infatti se g₁ : B → A soddisfano entrambe(1) e (2), si ha che, ∀b ∈ B :

• g₁(b) = g₁(id_B(b)) = g₁(f(g₂(b))) = f∘g₂ = id_B
• = id_A(g₂(b)) = g₂(b)

- Definizione

A, B insiemi non vuoti, f: A -> B invertibile.

L'unica funzione g: B -> A tale che f∘g = id_B e g∘f = id_A si dice "inversa di f".

- Osservazione

Se g: B -> A è inversa di f: A -> B allora f è inversa di g.

- Proposizione

Siano X ⊂ R, Y ⊂ R, f: X -> Y.

Allora f è biettiva se e solo se f è invertibile <=>

DIM.

=> f è biettiva, quindi ∀ y ∈ Y ∃ ! x ∈ X t.c.

f(x) = y.

Definiamo g: Y -> X t.c. ∀ y ∈ Y : g(y) è

quell'unico elemento x in X tale che f(x) = y,

cioè g(y)