Analisi Matematica

Definizione

Sia (a_n)_n∈N una successione di numeri. Si dice che “la successione (a_n)_n∈N diverge positivamente o che “la successione (a_n)_n∈N tende a più infinito (meno infinito)" se

(∀M≥0 ∃n₀∈N tale che ∀n≥n₀ : a_n≥M ) e si scrive lim a_n = +∞n→+∞.

(∀M≥0 ∃n₀∈N tale che ∀n≥n₀ : a_n≤-M ) e si scrive lim a_n = -∞n→+∞.

Osservazione

In considerazione di una delle proprietà del valore assoluto, la prima definizione si può scrivere ∀ε>0∃n₀∈N tale che ∀n≥n₀ : l-ε≤a_n≤l+ε.

Della definizione si intende che, qualunque sia la distanza che stabiliamo, da un certo indice (che dipende dalla distanza scelta) in poi tutti gli elementi della successione distano meno di quella distanza.

Dalla seconda definizione si deduce che le successioni divergenti positivamente sono quelle per cui, per qualunque scelta di un numero grande e piacere, si può sempre individuare un indice dal quale in poi tutti gli elementi della successione sono più grandi di quel numero.

Vediamo degli esempi.

1. Mostriamo che lim_n→+∞  ¹/_n = 0.

   Dobbiamo far vedere che ∀ε>0 ∃m₀ ∈ ℕ tale che ∀n ≥ m₀: 0 - ε < ¹/_n < 0 + ε,

   cioè dobbiamo far vedere che ∀ε>0 ∃m₀ ∈ ℕ tale che ∀n ≥ m₀: ¹/_n < ε.

   Notiamo che, per la proprietà archimedea di ℕ, si ha che ∀ε>0 ∃m₀ ∈ ℕ tale che ¹/_ε < m₀.

   Pertanto, ∀n ≥ m₀ ¹/_ε < n₀ ≤ n e, dunque, ¹/_n < ε.

2. Mostriamo che lim_n→+∞ (n²+1) = +∞.

   Dobbiamo far vedere che ∀M≥0 ∃m₀ ∈ ℕ tale che ∀n ≥ m₀: M < a_n = n²+1.

   Siccome la proprietà la dobbiamo provare per M grandi, in particolare la proviamo per M = 1. Dunque consideriamo C = √M - 1 ≥ 0.

   Per la proprietà archimedea di ℕ, esiste m₀ ∈ ℕ tale che C ≤ m₀.

   Per n ≥ m₀ si ha che C ≤ n ⇔ √M - 1 ≤ m ⇔ √M ≤ n ⇔ M ≤ n² ⇔ M ≤ n² + 1.

Sia dunque ε>0. Allora dalla 2 si ha che

∃n₀∈ℕ tale che

b-ε<a_n0(i).

D'altra parte, siccome (a_n)_n∈ℕ è crescente, si ha che per ogni n≥n₀:

a_n0≤a_n (ii)

e, dalla ε, si ha pure

a_n≤b≤b+ε (iii).

In conclusione, in corrispondenza di ε>0 ho trovato

n₀∈ℕ tale che per ogni n≥n₀ valgono (i), (ii) ed (iii),

cioè

b-ε<a_n0≤a_n≤b≤b+ε,

ossia b-ε≤a_n≤b+ε.

Ho perciò provato che ∀ε>0 ∃n₀∈ℕ tale che ∀n≥n₀:

b-ε≤a_n≤b+ε, perciò b=lim a_n.

Proviamo ora che se (a_n)_n∈ℕ è illimitata, lim a_n = +∞.

Per definizione di successione illimitata

∀M>0 ∃n₀∈ℕ tale che M≤a_n0.

Dunque, fissato M>0, esiste n₀∈ℕ tale che M≤a_n0 e,

per ogni n≥n₀, siccome (a_n)_n∈ℕ è crescente, a_n0≤a_n.

In conclusione ∀M>0 ∃n₀∈ℕ tale che ∀n≥n₀: M≤a_n≤a

e cioè lim_n a_n = +∞.

Teorema dei carabinieri

Siano _n, _n, _n tre successioni, l R.

Se

1. _o tale che n≥n_o: a_n ≤ b_n ≤ c_n
2. _n a_n = l = _n c_n

allora _n b_n = l.

Dim.

Sia > 0.

Siccome _n a_n = l, allora ∃ n_o⁽¹⁾ N tale che

n ≥ n_o⁽¹⁾ : l − ≤ a_n ≤ l + (1).

Siccome _n c_n = l, allora ∃ n_o⁽²⁾ N tale che

n ≥ n_o⁽²⁾ : l − ≤ c_n ≤ l + (2).

Sia n = max {n_o⁽¹⁾, n_o⁽²⁾}, quello dell'indice.

Allora n ≥ _m :

l − ≤ a_n ≤ b_n ≤ c_n ≤ l + per formula (1) di ipotesi il quale per formula (2).

Quindi in corrispondenza di > 0, ho individuato un numero naturale n tale che n ≥ n :

l − ≤ b_n ≤ l + .

Con ciò è provato che _n b_n = l.

Pertanto

0 ≤ ¹/_n+1 - e⁽ⁿ⁺¹⁾ ≤ 2 [ ¹/_t/m - e^m + ^e/_m ]

e concludiamo.

Proposizione

• Sia (a_n)_{n ∈ N} successione tale che lim a_n = +∞ oppure
• lim a_n = -∞.
• Allora lim_{m → ∞} (1 + ¹/_an)^a_n = e.

Teorema (criterio del rapporto)

• Sia (a_n)_{n ∈ N} tale che ∀n ∈ N: a_n > 0 e si supponga che
• ∃ lim_{m → ∞} ^q_n/_an = l.

Allora:

• Se l < 1, si ha che lim_{an = 0}.
• Se l > 1 oppure l = +∞, si ha che lim a_n = +∞
• Proviamo dapprima che se l < 1 allora lim a_n = 0.
• Innanzitutto osserviamo che se k ∈ ]0, 1[, allora lim_m kⁿ = 0 (per esempio lim_m (1/2)ⁿ = 0, lim_m (2/3)ⁿ = 0, ...)

Esempio

Nel caso della dimostrazione del criterio del rapporto otteniamo inoltre che

lim_m→+∞ b^m = ∞   se b ≥ 1.

Faccio la successione (n^1/n)_n∈ℕ è crescente ed illimi-

tata superiormente, si ha anche lim_n n^1/n = 1.∞.

Ci domandiamo se esiste ed eventualmente

quanto vale

lim_n→+∞ bⁿ / n!   [Questo è un confronto di infiniti,poichè il numeratore ed il denominatorevanno ad ∞ ]

Chiamiamo a_n = bⁿ / n!.

Allora a_m+1 / a_n = (bⁿ⁺¹ / (n+1)!) (1 / (bⁿ / n!)) = b / (n+1)

si ha che lim_n→+∞ a_m+1 / a_n = lim_n→+∞ b / (n+1) = 0 < 1 quindi per ilcriterio del rapporto, lim a_n = 0, cioè lim bⁿ / n! = 0.

Dimostriamo ora che esiste e sett di calcolare ilsegente limite

lim_n n! / nⁿ [Siccome lim_n→+∞ n^1/n →1, anchequesto è un confronto di infi-niti.]

Poniamo c_m = n! / nⁿ.

Si ha che lim_n c_m+1 / c_n = lim_n (m+1)! / (m+1)^m+1 / ((n!) / nⁿ) = lim_n ((n+1)! / n!)

= lim_n ((n+1) / (n+1))ⁿ⁺¹ * n^m / M! = lim_n n / (n+1)ⁿ