Analisi Matematica

Definizione di divergenza di successioni

Sia (a_n)_n∈N una successione di numeri. Si dice che "la successione (a_n)_n∈N diverge positivamente (negativamente)" o che "la successione (a_n)_n∈N tende a più infinito (meno infinito)" se ∀M>0 ∀m∈N tale che ∀n≥m: a_n≥M e si scrive ˆlim_n→+∞a_n=+∞. ∀M>0 ∀m∈N tale che ∀n≥m: a_n≤-M e si scrive ˆlim_n→+∞a_n=-∞.

Osservazione sulle proprietà del valore assoluto

In considerazione di una delle proprietà del valore assoluto, la prima definizione si può scrivere ∀ε>0 ∀m∀N tale che ∀n≥m, |ε0| ∃n₀∈N, ∃N tale che ∀n≥n₀ : l-ε≤ a_n ≤ l+ε. Dalla definizione si intende che, qualunque sia la distanza che stabiliamo, da un certo indice (che dipende dalla distanza scelta) in poi, tutti gli elementi della successione distano meno di quella distanza.

Dalla seconda definizione si deduce che le successioni divergenti positivamente sono quelle per cui, per qualunque scelta di un numero grande a piacere, si può sempre individuare un indice dal quale in poi tutti gli elementi della successione sono più grandi di quel numero.

Esempi di successioni divergenti

1. Mostriamo che ^lim_n→+∞ ¹/_n = 0. Dobbiamo far vedere che ∀ε>0 ∃n₀∈ℕ tale che ∀n≥n₀: 0-ε < ¹/_n < 0+ε, cioè dobbiamo far vedere che ∀ε>0 ∃n₀∈ℕ tale che per ogni n≥n₀ : ¹/_n < ε. Notiamo che, per la proprietà archimedea di ℕ, si ha che ∀ε>0 ∃n₀∈ℕ tale che ¹/_ε ≠ n₀. Pertanto, ∀n≥n₀, ¹/_ε < n₀ = n e, dunque, ¹/_n < ε.

2. Mostriamo che ^lim_n→+∞ (m²+1) = +∞. Dobbiamo far vedere che ∀M≥0 ∃n₀∈ℕ tale che ∀n≥n₀: M≤a_n=m²+1. Siccome la proprietà la dobbiamo provare per M grandi, in particolare la proviamo per M≥1. Dunque consideriamo C=√M-1 ≥0. Per la proprietà archimedea di ℕ, esiste n₀∈ℕ tale che C≤n₀. Per n≥n₀ si ha che C≤n (⇔ √M-1 ≤ n ⇔ M ≤ n² ⇔ M ≤ n² + 1).

Analisi di una successione oscillante

Mostriamo che Ζ lim(-1)^ma₀ = (-1)⁰ = 1, a₂ = (-1)² ≤ 1, a₁ = (-1)¹ ≠ -1, a₃ = (-1)³ = -1. Infatti lim(-1)ⁿ ≠ +∞ perché se M = 2, non c’è nessun indice n ∈ N tale che m ≥ n₀: 2 ≤ (-1)ⁿ. Analogamente lim(-1)ⁿ ≠ -∞. Infine, per ogni L ∈ R, sia lim(-1)ⁿ ≠ L perché, se per assurdo fosse L ε R, si avrebbe che se in corrispondenza di ε = ¹⁄₃, esisterebbe n₀ ∈ N tale che ∀n ≥ n₀: |1 - (-1)^m - ε| ≤ ¹⁄₃. Questo è vero e assurdo perché aggregiamo e raggiungiamo ε |(-1)^m - (-1)^m| = |1 - (-1)^m| ≤ |1 - (-1)^m ε| ≤ |1 - (-1)^m &epsi;