Analisi Matematica 2 - tutti i teoremi e le dimostrazioni per l'esame orale!

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

• Equazioni differenziali lineari

Sia g(x) una funzione di una variabile reale, continua in un intervallo [a,b]. Il problema della ricerca di una primitiva di g(x) in [a,b], cioè di una funzione y(x) tale che:

y'(x) = g(x) _{∀ x ∈ [a,b]}

è stato risolto dal Teorema del calcolo integrale. Infatti, ogni primitiva di g, cioè ogni soluzione dell'equazione y'(x) = g(x), è della forma: y(x) = y₀ + G(x), dove G(x) è una primitiva e y₀ una costante.

Più precisamente, il teorema del calcolo integrale afferma che una particolare primitiva G è data dalla funzione integrale:

G(x) = ∫_x₀^x g(t) dt dove x₀ ∈ [a,b] ⊂ ℝ.

L'equazione y'(x) = g(x) è un esempio di equazione differenziale. Questa equazione ammette infinite soluzioni se g è continua nel suo intervallo di definizione, e tutte le primitive sono soluzioni.

La soluzione y(x) = y₀ + ∫_x₀^x g(t) dt soddisfa non solo l'equazione differenziale y'(x) = g(x), ma anche la condizione iniziale nel punto x = x₀.

y(x₀) = y₀ + ∫_x₀^x₀ g(t) dt = y₀

e si dice che la

1. (E
)

• y'(x) = g(x)
• y(x₀) = y₀

Se invece ho (problema ai valori iniziali per eq. di 2^a ordine):

• y''(x) = g(x)
• y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y'₀

Equazioni differenziali non lineari del primo ordine

A differenza delle equazioni differenziali lineari, quelle non lineari non hanno una formula risolutiva standard:

• a) Equazioni a variabili separabili
  • y'(x) = f(x) · g(y)

Se g(y₀) = 0 allora y(x) = y₀ è soluzione.

Se g(y₀) ≠ 0 allora:

y' = f(x) (separo le variabili) g(y)

^y'(x)/_g(y(x)) = f(x)

∫ ^y'(x)/_g(y(x)) dx = ∫ f(x) dx

∫ ¹/_g(y) dy = ∫ f(x) dx

G(y) = F(x) + c

c = G(y₀) - F(x₀)

G(y) = F(x) + G(y₀) - F(x₀)

y = G^-1(F(x) + G(y₀) - F(x₀)). ← funzione inversa

Esempio:

{ y' = ¹/_1+e^y

y(0)=0

y' (1+e^y) = 1 → ^dx/_dy (1+e^y) = 1

amici in x₀ della soluzione y(t).

Detto V l'insieme delle soluzioni dell'eq. omogenea

abbiamo un risultato dimostrato che V è uno spazio vettoriale

di dimensione m perchè esistono m elementi di V linearmente

t.e. indipendenti e ogni altro elemento di V si può esprimere

in come loro combinazione lineare.

Struttura integrale generale delle eq. non omogenea

Consideriamo l'eq. lineare non omogenea

y^(m) + a_m-1(x)y^(m-1) + ... + a₂(x)y' + a₀(x)y = b(x).

Si chiama eq. omogenea associata alla precedente:

y^(m) + a_m-1(x)y^(m-1) + ... + a₀(x)y = 0.

Sia v_o un integrale particolare dell'equazione lineare non

omogenea e siano y₁,y₂,...,y_m m integrali linearmente ed

indipendenti dell'omogenea associata.

Allora l'integrale generale delle eq. omogenea associata è dato da

c₁y₂ + c₂y₂ + ... + c_my_m + v_o.

DIM. dobbiamo far vedere che ∀ soluzione particolare y(x) dell'eq.

lineare non omogenea, esiste una unica coppia (c₁,c₂,...,c_m)

di numeri reali tali che:

y(x) = c₁y₁(x) + c₂y₂(x) + ... + c_my_m(x) + v_o(x)   ∀ x∈[a,b]

A tale scopo fino x₀∈[a,b] e poniamo:

y(x₀) = y^(m)(x₀) = y^(m-1)(x₀) = y⁰();

LE n^{emero di n equazioni lineari nelle incognite ξ₁, ξ₂,...}

• y₁(x₀)ξ₁ + y₂(x₀)ξ₂ + ... + y_m(x₀)ξ_m = v_o(x)
• y₁(x₀)ξ₁ + y₂(x₀)ξ₂ + ... + y_m(x₀)ξ_m = v_o(x)
• ...
• y₁^(m) + a_m-1(x)y^(m-1) = v_o^(x)(x₀).

Metodo della variazione delle costanti arbitrarie

_le Σ_i λ_i y_i(x₁ + Σ₂ y₂(x₂ + g(x)

δ₁ y₁(x₁ + Σ₂ y₂(x₂ + g(x) = 0

ammette un'unica coppia di soluzioni b_i(x), b₂(x) continua

iuntre &Exist;, Σ₁ &Exist; e y₁ (x), Σ₂ &Exist; due primitive di i₁(x), i₂(x), allora la

funzione &Exist; y₁(x) y₁(x₁ + Σ₂ y₂(x₂) &Exist; soluzione Σ i (y) = g(x)

DIM: ∃zione che L(ỹ) = g(x),

ỹ₁(x) = Xt₁z₁(x₁ + Xt₂ y₂ (x)

ỹ'₁(x) = Xt'₁ z₁(x) + Σ i₁'(x₁, x', x) +

i(x)'₂∃' &sub>1(x₁₎

ỹ''(x) = &Exist;'₁y₁(x₁) + &Exist;₁ y₁(x₁) +

+ &Exist;₂(x)y''₂(x)

¢(y) = L(y) + Xt h₁ g(y₂(x) )+ &Exist; h₂ y₂(x)

L{ỹ) = Σ i- ỹ + a(x) L y + b(x) * ỹ(x) =

= a(X )yg (x) + b(x)z t₁(x) L =

Formula risolutiva delle equazioni lineari del primo ordine (eq. omogenea)

y' = αxy

y(x₀) = y₀.

___ x = y₀= 0 ⇒ y(x) = 0.

x₀ ≥ 0 = ∫ dy y = ∫ α(x)dx

log |y| = ∫ α(x) dx = ∫ x T α(t)dt + c

c = log |y |

log |y| = log |y₀| + t_{α(t)dt |}

|y| = |y₀| = e ∫ α(t)dt

y(x) = y₀ e ^t ∫ α(t)dt

FORMULA RISOLUTIVA

Funzioni equivalenti

Siano f,g due funzioni generalmente continue in I. Esse si dicono equivalenti. (f≉g) se in ogni intervallo (a,b)⊂I esse differiscono al più in un numero finito di punti.

Funzioni generalmente regolari

Una funzione f si dice generalmente regolare in (a,b) se esistono un numero finito di punti x₀=a<x_c<...<x_n=b tali che f è di classe C¹ in ogni intervallo aperto (x_k, x_k+1), k=1,...,m ed è prolungabile in modo C¹ in ogni intervallo chiuso [x_k-1, x_k], cioè sono finiti i limiti f(x₊), f^'(x₊) per k=0,...,n-1 e f(x_k-1), f^'(x_k-1) per k=1,...,n.

Se f è generalmente regolare, allora la derivata f^'è generalmente continua, quindi è integrabile.

Formula fondamentale del calcolo integrale per le derivate di funzioni generalmente continue

Th: Sia f continua in [a,b] e generalmente regolare in (a,b).

Allora ∫_a^bf^'(x)dx = f(b)-f(a).

Per dimostrare questo teorema, utilizziamo il lemma:

Lemma: Sia f una funzione continua in [α,β] di classe C¹ in (α,β) con f^' limitato. Allora:

∫_α^βf^'(x)dx = f(β)-f(α)

Dimostrando con F(x)=∫_α^xf^'(t)dt la funzione integrale di f^' ne ha che F è continua su [α,β], derivabile in c (α,β) con F^'(x)=f(x) ∀ x∈(α,β)

la funzione differenza G(x) = F(x) - f(x) è continua