Analisi Matematica 2 - tutti i teoremi e le dimostrazioni per l'esame orale!

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Appunti di Analisi Matematica 1 per la preparazione dell'esame orale della professoressa Cristina Marcelli.Questa raccolta, che include definizioni e dimostrazioni è di 87 pagine, …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marcelli Cristina

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2014-2015

77 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Equazioni Differenziali

Equazioni differenziali lineari

Sia \( g(x) \) una funzione di una variabile reale, continua in un intervallo \([a,b]\). Il problema della ricerca di una primitiva di \( g(x) \) in \([a,b]\), cioè di una funzione \( y(x) \) tale che:

\( y'(x) = g(x) \) \( \forall x \in [a,b] \)

è stato risolto dal teorema del calcolo integrale. Infatti ogni primitiva di \( g \), cioè ogni soluzione dell'equazione \( y'(x) = g(x) \) è della forma: \( y(x) = y_0 + G(x) \), dove \( G(x) \) è una primitiva e \( y_0 \) una costante.

Più precisamente, il teorema del calcolo integrale afferma che una particolare primitiva \( G \) è data dalla funzione integrale:

\( G(x) = \int_{x_0}^{x} g(t) \, dt \) dove \( x_0 \in [a,b] \subset \mathbb{R} \).

L'equazione \( y'(x) = g(x) \) è un esempio di equazione differenziale. Questa equazione ammette infinite soluzioni se \( g \) è continua nel suo intervallo di definizione, e tutte le primitive sono soltanto:

La soluzione \( y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} g(t) \, dt \), soddisfa una sola l'equazione differenziale \( y'(x) = g(x) \), una anche la condizione iniziale nel punto \( x = x_0 \).

\( y(x_0) = y_0 + \int_{x_0}^{x_0} g(t) \, dt = y_0 \)

e si dice che la è soluzione del problema di Cauchy (o problema ai valori iniziali)

\[\begin{cases} y'(x_1) = g(x) \\y(x_0) = y_0 \end{cases}\]

se invece no. (problema ai valori iniziali per eq. di 2 ordine

\[\begin{cases} y''(x) = g(x) \\y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_0 \end{cases}\]

Equazioni Differenziali

Equazioni differenziali lineari

Sia g(x) una funzione di una variabile reale, continua in un intervallo [a,b]. Il problema della ricerca di una primitiva di g(x) in [a,b], cioè di una funzione y(x) tale che:

y'(x) = g(x) ∀x ∈ [a,b]

è stato risolto dal Teorema del calcolo integrale.

Infatti, ogni primitiva di g, cioè ogni soluzione dell'equazione y'(x) = g(x) è della forma:

y(x) = y_o + G(x), dove G(x) è una primitiva e y_o una costante.

Più precisamente, il teorema del calcolo integrale afferma che una particolare primitiva G è data dalla funzione integrale:

G(x) = ∫_{x_o}^xg(t) dt dove x_o ∈ [a,b] ⊂ ℝ.

L'equazione y'(x) = g(x) è un esempio di equazione differenziale. Questa equazione ammette infinite soluzioni se g è continua nel suo intervallo di definizione, e tutte le primitive sono soluzioni.

La soluzione y(x) = y_o + ∫_{x_o}^xg(t) dt

soddisfa una sola equazione differenziale y'(x) = g(x), una scelta la condizione iniziale nel punto x = x_o.

y(x_o) = y_o + ∫_{x_o}^x_og(t) dt = y_o

e si dice che la è soluzione del problema di Cauchy (o problema ai valori iniziali)

y'(x) = g(x)
y(x_o) = y_o

se invece (n.d.r. problema ai valori iniziali per eq. di 2° ordine)

y''(x) = g(x)
y(x_o) = y_o, y'(x_o) = y'_o

Equazioni differenziali non lineari del primo ordine

A differenza delle equazioni differenziali lineari, quelle non lineari non hanno una formula risolutiva standard.

Equazioni a variabili separabili

y'(x) = f(x) · g(y)

f: I → ℝ (continua) g: J → ℝ (continua) x₀ ∈ I e y₀ ∈ J

se g(y₀) = 0 allora y(x) = y₀ è soluzione.
se g(y₀) ≠ 0 allora:

y' / g(y) = f(x) (separo le variabili)

y'(x) / g(y(x)) = f(x)

∫y'(x₁) / g(y(x₁)) dx = ∫f(x₁) dx

∫1 / g(y) dy = ∫f(x) dx

G(y) = F(x) + c c = G(y₀) - F(x₀)

G(y₁) = F(x₁) + G(y₀) - F(x₀)y = G⁻¹(F(x₁) + G(y₀) - F(x₀))._{(funzione ottenuta)}

ESEMPIO:

y' = 1 / (1 + eʸ) y(₀) = 0

y' (1 + eʸ) = 1 → dx / dy (1 + eʸ) = 1

∫(1+e^y)dy=∫dx

y+e^y=x+c dunque data cond. iniziale

{x=0_y=0 c=1

y+e^y=x+1 (FORMA IMPLICITA)

ottenuta la forma esplicita esplicitare tutto in funzione di y

equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee

Consideriamo l'equazione differenziale lineare di ordine n:

yⁿ+a_n-1(x)y^(n-1)+..., +a2(x)y'+a₀(x)y=g(x).

(eq. si dice omogenea se il termine noto g(x)=∅.

Integrale generale delle eq. diff. Lineari omogenee e non omogenee.

eq. diff.Integrale generaleOmogeneay'=a(x)yy(x)=Ce^A(x)non omogeneay'=a(x)y+b(x)y(x)=e^A(x)∫b(x)e^-A(x)dx

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