Analisi Matematica 2

ANALISI 2 IN BREVE

COMBINAZIONE LINEARE

V S.V. su K

V₁, ..., V_n ∈ V

λ₁, ..., λ_n ∈ K

Si dice combinazione lineare di V₁, ..., V_n con coefficienti λ₁, ..., λ_n

Il vettore V = ∑_iλ_iV_i

DEFINIZIONE LINEARITA' DIPENDENTE E INDIPENDENTE

{V₁, ..., V_n} ⊆ V

{V₁, ..., V_n} si dicono linearmente dipendenti ↔ ∃ λ₁, ..., λ_n con

λ_i ≠ 0 almeno per i t ovvero ∑_iλ_iV_i = 0

{V₁, ..., V_n} si dicono linearmente indipendenti

Linearmente dipendente in particolare → ∃ λ₁, λ₂, ... λ_n = 0

DEFINIZIONE PARTE LIBERA PARTE LIBERA MASSIMALE

{V₁, ..., V_n} ⊆ V è parte libera ↔ V₁, ..., V_n sono linearmente indip.

{V₁, ..., V_n} ⊆ V è parte libera massimale ↔ ∃ V = {V₁, ..., V_n} parte libera

DEFINIZIONE SISTEMA DI GENERATORI SISTEMA DI GENERATORE MINIMALE

{V₁, ..., V_n} ⊆ V è sistema di generatori → ∀ V ∈ V ∃ λ_i:

∑_iλ_iV_i = V

{V₁, ..., V_n} ⊆ V è sistema di generatori minimale ↔ ¬ ∃ {V₁, ..., &under;_i, ..., V_n} che non più sistema di generatori.

DEFINIZIONE DI BASE

{V₁, ..., V_n} ⊆ V è base ↔ {V₁, ..., V_n} è sistema di generatori e parte libera

Teorema Parte Libera Massimale, Base, Sistema di Generatori Minimali

Sono equivalenti.

V s.v. K

• {v₁,...,v_n} è parte libera massimale.
• {v₁,...,v_n} è base.
• {v₁,...,v_n} è sistema di generatori minimale.

Dim.

1. {v₁,...,v_n} è parte libera massimale;

Se V ≠ λ₁,...,λ_n:

u = ∑_j=1^m λ_j v_j [vero, altrimenti {v₁,...,v_n} sarebbe parte libera]

Quindi {v₁,...,v_n} è sistema di generatori, quindi è una base.

3. {v₁,...,v_n} è sistema di generatori minimale.

Se {v₁,...,v_n} fossero linearmente dipendenti:

Sia u = ∑_j=1^m-1 μ_j v_j + λ_i v_j λ ...

= λ_i v_i + ∑_j=1^m (λ_j + λ_m) v_j

Definizioni di sottospazio vettoriale

V s.v. K

W si dice sottospazio vettoriale def ↔ W s.v. K

Definizione dimensione finita

V s.v. K

V si dice di dimensione finita def ↔ ∃ {v₁,...,v_n} base di V

Teorema della dimensione

V s.v. K di dimensione finita

∃ {v₁,...,v_n} e {w₁^m,...,w_m^m} basi di V

allora n=m

Definizione Span

[...]

Teorema di Gram-Schmidt

[...]

Proprietà dei Determinanti

1. Il determinante è una funzione lineare di ogni colonna
2. Se A ha una riga nulla il det(A) = 0
3. Se A ha due righe uguali, il det(A) = 0
4. Se in una matrice una riga/colonna è una combinazione lineare delle altre righe/colonne allora il det = 0
5. Se sommo ad una riga/colonna una combinazione lineare delle altre righe/colonne il det non cambia
6. Scambiando due righe adiacenti il det cambia segno, det(A') = -det(A)
7. det(A^t) = det(A)
8. Il determinante di una matrice identica è 1, det(I) = 1

Formula di Laplace

det(A) = _i=1^m (-1)^i+j a_ij det(A_ij)

Teorema di Binet

det(A·B) = det(A)·det(B)     A, B ∈ K^n×m

1. [...]

Teorema delle contrazioni

(X, d) s. metrico completo

p: X → X c: 0 ≤ c < 1

d(p(x), p(y)) ≤ c d(x, y) ∀ x, y ∈ X, o ded (p.s. di c. contrazione)

Allora ∃! _x̅ ∈ X p(_x̅) = _x̅ si dice punto fisso o punto unico per p)

Definizione derivata parziale

∂₁f(x₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h, y₀) - f(x₀)] / h

Definizione derivata direzionale

D_vf(x₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

D∇⟨∇f(x₀), v⟩⟩

Rᵐ è lineare

Rᵐ → 2 L(x) ∈ R

A ∈ R^k×m : (z₁, ..., z_m) = (z₁^T)

L: Rⁿ → Rᵐ è lineare ↔ ∃ z ∈ Rᵐ : L(x) = ⟨z, x⟩

Definizione di differenziabilità

f : A → R

A ⊂ Rᵐ

x₀ ∈ A aperto

f si dice differenziabile in Rⁿ oe ↔ ∃ L ∈ (Rᵐ)

∃ z ∈ Rᵐ lim_x→x0 [f(x) - f(x₀) - L(x - x₀)] / ||x - x₀|| = 0

∃ z ∈ Rᵐ lim_x→x0 [f(x) - f(x₀) - L(x - x₀)] / ||x - x₀||_∞ = 0

dimostrazione 2:

Per induzione su h

Se det  è ovvia

Supponiamo che la tesi sia vera per h - 1 e dimostriamola per h

A₁, ..., A_h sono lin. ind.

A_h+1 —> A_h+1 - λ₁A₁ - ... - λ_hA_h

Se ≠ 0 allora dimostrazione: det(H') ≠ 0

Se (0,...,0) allora A_h - λ₁A₁ ... - λ_hA_h

Per semplicità metto h in fondo quindi, a meno di uno scambio di colonne M è minore h x h di A

Se det(H') ≠ 0 la dimostrazione è mostrata

Se det(M') = 0 allora ∃ λ₁,...,λ_h ∑_k=1^h λ_kM_k = 0

Dico che λ_R  0 (altrimenti le righe di M sarebbero lin. dep.)

Quindi M_R = ∑_k=1^h μ_kM_k - 1

Quindi A_h+1 = ∑_k=1^h μ_kM_k - 1 A_h - 1

Tuttavia A_h+1 = ∑_k=1^h+1 μ_kM_k tale

Prendo M' = A_h, a_ik^k dico che det (M'') ≠ 0

Prendo M'' con M'_R ← M'_R - ∑_k=1^h μ_kH_R det(H') = det(M'')

M'''' =

(M', C )

0, d', 1

c = ∑_k=1^h μ_k det(H') = det(M'').

0 = c

det (H')・det(M'') = c・det(M) ≠ 0