Analisi Matematica 2

ANALISI 2 IN BREVE

COMBINAZIONE LINEARE

V S.V. su K

v₁, ..., v_m ∈ V

λ₁, ..., λ_m ∈ K

Si dice combinazione lineare di v₁, ..., v_m con coefficienti λ₁, ..., λ_m il vettore V = ∑_i=1^m λ_iv_i

DEFINIZIONE LINEARITA' DIPENDENTE E INDIPENDENTE

{v₁, ..., v_m} ⊆ V

{v₁, ..., v_m} si dicono linearmente dipendenti ⟺ ∃ λ₁, ..., λ_m con

λ_i ∈ K, ∃ i ∈ {1, ..., m} : λ_i ≠ 0 _t.k. ∑_i=1^m λ_iv_i = 0

{v₁, ..., v_m} si dicono linearmente indipendenti ⟺ non sono linearmente dipendenti, in particolare ⟹ ∄ λ₁, λ₂, ..., λ_m ≠ 0

DEFINIZIONE PARTE LIBERA PARTE LIBERA MASSIMALE

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è parte libera ⟺ v₁, ..., v_m sono linearmente indipendenti

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è parte libera massimale ⟺ ∄ U ⊆ V : {v₁, ..., v_m} ⊂ U parte libera

DEFINIZIONE SISTEMA DI GENERATORI, SISTEMA DI GENERATORI MINIMALE

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è sistema di generatori ⟺ ∀ v ∈ V ∃ λ₁, ..., λ_m : ∑_i=1^m λ_iv_i = v

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è sistema di generatori minimale ⟺ {v₁, ..., v_m} è sistema di generatori e ogni sottosistema non più sistema di generatori.

DEFINIZIONE DI BASE

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è base ⟺ {v₁, ..., v_m} è sistema di generatori e parte libera

Analisi 2 In Breve

Combinazione Lineare

V S V su K

v1,...,vm ∈ V

λ1,...,λm ∈ K

Si dice combinazione lineare di V1,...,Vm con coefficienti λ1,...,λm

Il vettore V = _i=1^m ∑ λi * vi

Definizione Linearità Dipendente e Indipendente

{v1,...,vm} ⊆ V

{v1,...,vm} si dicono linearmente dipendenti ⟺ ∃ λ1,...,λm con

∃ i₀ ∈ [1,m] : λi ≠ 0 _i=1^m ∑ λi * vi = 0

{v1,...,vm} si dicono linearmente indipendenti ⟺ non sono linearmente dipendenti, in particolare ⟺ ∀ i, λ1 = λ2 = ... = λm = 0

Definizione Parte Libera Parte Libera Massimale

{vt1,...,vtm} ⊆ V è parte libera ⟺ vt1,...,vtm sono linearmente indipendenti.

{vt1,...,vtm} ⊆ V è parte libera massimale ⟺ ∄ v ∈ V : {vt1,...,vtm,v} parte libera

Definizione Sistema di Generatori, Sistema di Generatori Mininale

{vt1,...,vtm} ⊆ V è sistema di generatori ⟺ ∀ v ∈ V ∃ λ1,...,λm : _i=1^m ∑ λi * vi = v

{vt1,...,vtm} ⊆ V è sistema di generatori minimale ⟺ ∄ v ∈ {v1,...,vm}, tale che {vt1,...,vtm,v} non più sistema di generatori

Definizione di Base

{vt1,...,vtm} ⊆ V è base ⟺ {vt1,...,vtm} è sistema di generatori e parte libera.

Teorema: parte libera massimale, base, sistema di generatori minimale sono equivalenti.

V s.v. K

1) {v₁, ..., v_n} è parte libera massimale ⇔ 2) {v₁, ..., v_n} è base ⇔ 3) è sistema di generatori minimale

Dim.

1) → 2) {v₁, ..., v_n} è parte libera massimale; se v ∈ V \ {λ₁, ..., λ_n}:

1. v = ∑_i=1ⁿ λ_i v_i (vero altrimenti {v₁, ..., v_n} sarebbe parte libera) quindi {v₁, ..., v_n} è sistema di generatori, quindi è una base

2) → 3) {v₁, ..., v_n} è sistema di generatori minimale

Se ... fossero linearmente dipendenti sia n, v ∈ V \ 3 m ∈ K :

• ∑_j=1^j-1 λ_j v_j + λ_j m_i n_j = ∑_j=1^j+1 m_j v_j

Definizione di sottospazio vettoriale

V s.v. K

W si dice sottospazio vettoriale _def ⇔ W s.v. K

Definizione dimensione finita

V s.v. K

V si dice a dimensione finita _def ⇔ 3 {v₁, ..., v_n} base di V

Teorema della dimensione

V s.v. K di dimensione finita

{2u₁, ..., 3u_n} ∈ {w₁, ..., w_m} basi di V

Allora m = n

SOMMA

{v₁,..., vₘ} ⊆ {w₁,...,wₙ} BASE di V allora n ∃ vₕₐₜ_ₙ,...,vₘ: {v,...vₕₐₜ_₁,.