Analisi Matematica 2

L'insieme delle tangenti segue la curva della funzione

Il polinomio Q = x^2+3xy-6y^2: intorno di P0 contenuto nel dominio della funzioneaccompagnandola e mettendo in evidenza il suo andamento a è una forma quadratica in una variabile d un punto P0(x0,y0) tale f(x,y) >= f(x0,y0) per tutti i punti di uncrescente o decrescente.

3. Dall'analisi del grafico della derivata si b è una forma quadratica in due variabili ma non è un polinomio intorno di P0 contenuto nel dominio della funzionepossono quindi trarre utili informazioni sull'andamento della omogeneoprimitiva c è una forma quadratica in due variabili

Se le relazioni di Massimo e Minimo per una funzione z=f(x, y) inb 1. Non è difficile, conoscendo la derivata in un punto, ricavare d non è una forma quadratica un punto P0 valgono non solo in un intorno di P0, ma su tutto ill'equazione della sua tangente per quel punto e tracciarla. 2. dominio, allora si parla

di: L'insieme delle tangenti segue la curva della funzione,

4 Una forma quadratica q si dice semidefinita positiva …: a estremonzi (massimi e minimi) assolutiaccompagnandola e mettendo in evidenza il suo andamento a se q(X) >=0 per ogni X minore o uguale di 0 b estremanti (massimi e minimi) assoluticrescente o decrescente. 3. Dall'analisi del solo grafico della c estremanti (massimi e minimi) assolutamente relativib se q(X) >=0 per ogni X maggiore di 0 e se q(x) 0 per ogni X minorederivata non si possono trarre utili informazioni sull'andamento di 0 d estremanti (massimi e minimi) relativamente assolutidella primitiva c se q(X) > 0 per ogni X diverso da 0c 1. Non è difficile, conoscendo la derivata in un punto, ricavare d se q(X) >=0 per ogni X diverso da 0 4 Sia data la funzione z = f (x, y) con il vincolo g(x,y) = 0; I metodil'equazione della sua tangente per quel punto e tracciarla. 2. per la determinazione dei massimi e minimi vincolati

Sono: L'insieme delle tangenti segue la curva della funzione, 5 Se A è una matrice simmetrica allora la forma quadratica q = X^T a Tre.

1 - Riduzione a una funzione di una variabile; 2 - Metodo accompagnandola e mettendo in evidenza il suo andamento AX è: delle linee di livello; 3 - Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

crescente o decrescente. 3. Dall'analisi del grafico della derivata si a semidefinita negativa se, e solo se, ogni autovalore di A è non b Tre.

1 - Riduzione a una funzione di una variabile; 2 - Metodo almeno uno è zero possono quindi trarre utili informazioni sull'andamento della positivo ed delle curve ortogonali di livello; 3 - Metodo dei moltiplicatori di primitiva b definita negativa se, e solo se, ogni autovalore di A è non positivo Lagrange.

ed almeno uno è zero d 1. Non è difficile, conoscendo la derivata in un punto, ricavare c Tre.

1 - Riduzione a una funzione di una variabile; 2 - Metodo c semidefinita

negativa se, e solo se, esiste almeno un autovalore di A l'equazione della sua tangente per quel punto e tracciarla.

2. delle linee di livello;

3 -Metodo delle addizioni di Lagrange.

A non positivo ed almeno uno è zero

L'insieme delle tangenti non segue la curva della funzione, d Tre.

1 - Riduzione a due funzioni di una variabile;

2 - Metodo delled semidefinita negativa se, e solo se, ogni autovalore di A è nonaccompagnandola e mettendo in evidenza il suo andamento linee di livello;

3 -Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

positivo e nessun autovalore è nullo

crescente o decrescente. 3. Dall'analisi del grafico della derivata si

5 Se si somma una costante c alla funzione y = f(x) ...:

possono quindi trarre utili informazioni sull'andamento della

primitiva

6 Sia A una matrice simmetrica di ordine n ...: a allora la funzione y = f(x) + c *2 ha negli stessi punti x i massimi e i

a A è semidefinita positiva se e solo se ogni minore

principale ha minimi assoluti⁴ Data la funzione y=(x-1)(x+1)(x+2), trovare la tangente al suo determinante non negativo; A è definita negativa se e solo se i b allora la funzione y = f(x) * c ha negli stessi punti x i massimi e ideterminanti principali di ordine pari sono non negativi e quelli digrafico nei punti di intersezione con l'asse delle ascisse: minimi assolutia y = 3(x - 2) ordine dispari sono non positivi c allora la funzione y = f(x) + c ha negli stessi punti x i massimi e ib y = (x + 2) b A è definita positiva se e solo se ogni minore principale ha minimi assolutic y = 2(x + 3) determinante non negativo; A è semidefinita negativa se e solo se i d allora la funzione y = f(x) - c ha negli stessi punti x i massimi e i+ 2)d y = 3(x determinanti principali di ordine pari sono non negativi e quelli di minimi assolutiordine dispari sono non positivi⁵ La derivabilità da sola …: c A è semidefinita negativa se e solo se ogni minore

principale ha 6 Se si moltiplica per una costante positiva c la funzione y = f(x) …:a implica la continuità ma non l'esistenza del piano tangente determinante non negativo; A è semidefinita positiva se e solo se i a la funzione y = c * f(x) ha negli stessi punti x i massimi e i minimi(comportamento che non ha controparte in una dimensione) determinanti principali di ordine pari sono non negativi e quelli di relativi ma non ha negli stessi punti x i massimi e i minimi assolutinon implica la continuitàb ma implica l'esistenza del piano ordine dispari sono non positivi b la funzione y = c * f(x) ha negli stessi punti x i massimi e i minimipositivatangente (comportamento che non ha controparte in una d A è semidefinita se e solo se ogni minore principale ha assolutisemidefinita negativadimensione) determinante non negativo; A è se e solo se i c la funzione y = c *2 * f(x) ha negli stessi punti x i massimi e ic non implica né la

continuità né l'esistenza del piano tangente determinanti principali di ordine pari sono non negativi e quelli di minimi assoluti (comportamento che non ha controparte in una dimensione) ordine dispari sono non positivi d la funzione y = c * f(x) ha negli stessi punti x i massimi e i minimid implica sia la continuità che l'esistenza del piano tangente relativi (comportamento che ha controparte in una dimensione)

Nel caso delle Forme quadratiche si può applicare il 'Teorema degli Assi Principali'. Infatti l'equazione della conica assume una

Teorema di Rolle: Data la funzione f(x, y) = x^2 + 3xy^2-2\sqrt{xy} + 1, determinare forma particolarmente semplice nel caso in cui si prendano gli assi a se una funzione è continua in un intervallo aperto e limitato [a,b] l'equazione del piano tangente ad essa nel punto P(1/2, 1/2): principali della conica come assi di un nuovo sistema di riferimento, derivabile in ]a,b[ e assume

valori uguali agli estremi, cioè f(a) = a z = 3/2 x + 1/4 y e di conseguenza diventa importante andare a considerare la f(b), allora esiste almeno un punto esterno all'intervallo in cui la sua quadratica della conica: b z = 3/4 x - 1/2 y matrice della parte derivata si annulla, o ciò che è lo stesso f'(x0) = 0 c z = 3/4 x + 1/2 y a falso b se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], d z = 4/3 x + 1/2 y b vero derivabile in ]a,b[ e assume valori uguali agli estremi, cioè f(a) = c vero solo se la matrice associata alla conica è degenere f(b), allora esiste almeno un punto x0 interno all'intervallo in cui la 7 Quando consideriamo funzioni di più variabili, una funzione ...: d vero solo se l'equazione della conica è degenere sua derivata non si annulla, o ciò che è lo stesso f'(x0) è diversa da 0 a potrà ammettere gradiente (che è il concetto analogo a

quello di c se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], derivata in più dimensioni) ma non essere differenziabile 8 Per le forme quadratiche …: derivabile in ]a,b[ e assume valori diversi agli estremi, cioè f(a)b potrà ammettere gradiente (che è il concetto analogo a quello di a tutte le soluzioni sono reali (due soluzioni sono positive e una diverso da f(b), allora esiste almeno un punto x0 internoderivata in più dimensioni) e sarà differenziabile negativa). L'equazione di terzo grado per il Teorema Fondamentale all'intervallo in cui la sua derivata si annulla, o ciò che è lo stessoc potrà ammettere gradiente (che è il concetto analogo a quello di dell'Algebra, ha quattro soluzioni. L'equazione di terzo grado ha f'(x0) = 0integrale doppio in più dimensioni) ma non essere differenziabile sempre almeno una radice reale d se una funzione è

continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], derivabile in ]a,b[ e assume valori uguali agli estremi, cioè f(a) = d potrà essere differenziabile ma non ammettere gradiente (che è il b le soluzioni sono reali e/o complesse (due soluzioni sono positive concetto analogo a quello di derivata in più dimensioni) e una negativa). L'equazione di terzo grado per il Teorema f(b), allora esiste almeno un punto x0 interno all'intervallo in cui la Fondamentale dell'Algebra, ha tre soluzioni. L'equazione di terzo sua derivata si annulla, o ciò che è lo stesso f'(x0) = 0. Sia f: R2→R una funzione differenziabile in un punto P∈R. Si grado ha sempre almeno una radice complessa e tre reali definisce piano tangente al grafico di f nel punto (P,f(P)): c tutte le soluzioni sono reali una soluzione è positiva e due 8 Teorema di Weierstrass: a Il sottoinsieme di R3 definito dall'equazione π: z = f(P)+Lf a ogni

funzione continua in un intervallo aperto e non limitato [a,b]negative). L'equazione di terzo grado per il Teorema Fondamentale(x,P)-Lf(y) (con Lf differenziale primo di f) dell'Algebra, ha tre soluzioni. L'equazione di terzo grado ha sempre è dotata di massimo e minimob Il sottoinsieme di R3 definito dall'equazione π: z = f(P)+Lf b ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] èalmeno una radice reale(x,y)+Lf(P) (con Lf differenziale primo di f) d tutte le soluzioni sono reali (due soluzioni sono positive e una dotata di massimo e minimoc Il sottoinsieme di R2 definito dall'equazione π: z = f(P)+Lf negativa). L'equazione di terzo grado per il Teorema Fondamentale c Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è(x,y)-Lf(P) (con Lf differenziale primo di f) dell'Algebra, ha tre soluzioni. L'equazione di terzo grado ha sempre dotata di massimoR3d Il sottoinsieme di

definito dall'equazione π: z = f(P)+Lf (x,y) almeno una radice reale d Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è− Lf(P) (con Lf differenziale primo di f) dotata di minimo9 Sia data la forma quadratica q(x, y) = 5x^2 + 4xy + 2y^2 . La9 Data la funzione y=(x-1)(x+1)(x+2), trovare la normale al suo matrice associata è …:grafico nei punti di intersez