Analisi matematica 1 - schemi, riassunti e formulari

FORMULARIO

Analisi 1

• Fattoriale

h! = h × (h-1) × (h-2) × ... × 1

• Coefficiente Binomiale

(h k) = h! / (k!(h-k)!)

(h k) = (h(h-1)(h-2)...(h-k+1)) / k!

• Proprietà:

1. ((h 0)) = 1
2. ((h k)) = ((h n-k))
3. ((h k)) = ((h-1 k)) + ((h-1 k-1))
4. (a+b)^h = Σ (h k)a^h-kb^k → Binomio di Newton

• Modulo (IR)

|a| = √(a²)

• Proposizione:

1. |a| ≥ m → -m ≤ a ≤ m
2. |a| ≤ 3 → a ≤ 3

• Teorema:

1. |a+b| ≤ |a| + |b|
2. |a|-|b| ≤ |a-b|

• Massimi e minimi

M = sup A = {m ∈ A | m è maggiorante di A}

m = inf A = {m ∈ A | m è minorante di A}

• Estremo superiore e estremo inferiore

S = sup A = {S è maggiorante di A ∧ ∀ε > 0 ∃a ∈ A ≥ S-ε}

I = inf A = {I è minorante di A ∧ ∀ε > 0 ∃a ∈ A ≤ I+ε}

• Logaritmo (IR)

log_ba = x ↔ a^x = b

• Proprietà

1. log_b1 = 0
2. log_bb = 1
3. log_b(a^c) = c
4. log_a(x^k) = log_a|x| + log_a|b|
5. log_a(x²) = 2 log_ax
6. log_a(1/x) = -log_ax
7. log_a(x/y) = log_a|x| - log_a|y|

NUMERI COMPLESSI _(ℂ)

= +   (, ∈ ℝ)   ( ∈ ℂ)

Re() =   Im() =

F. ALGEBRICA

² = -1

OPERAZIONI:

₁ ± ₂ = (₁ ± ₂) + (₁ ± ₂)

EL. NEUTRO   ± = λ

- = - + (-)

₁·₂ = (₁₂ - ₁₂) + (₁₂ + ₂₁)

EL. NEUTRO   λ ± = λ

¹/ =  ^℧/_{² + ²}   −  /_{² + ²}

CONIUGATO

̅ = -

PROPRIETA'

1. ± ̅ = 2
2. = 2
3. ̅₁ ± ̅₂ = ̅₁ ± ̅₂
4. ̅₁·̅₂ = ̅₁·̅₂
5. _̅1/^₁ = _̅1/^̅₂
6. ∈ ℝ ↔ = ̅
7. ̅(_̅) =

MODULO

|| = √_{² + ²} = distanza da 0 a

|| = ·̅

PROPRIETA'

1. || ≥ 0
2. || = |̅|
3. |₁·₂| = |₁|·|₂|
4. |/| = ^λ/_||
5. _|1|/^|₂| = _|1|/^|₂|

TEOREMA

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

1. |₁ ± ₂| ≤ |₁| ± |₂|
2. |^_| = ||

FORMA TRIGONOMETRICA

= +

= Arg &sub2;

= ρ(cos + i sin )

• Amp   = (-, )

LIMITI

Studiare come si comporta una funzione f quando x si avvicina ad un qualche punto x₀ ∈ ℝ* (realmente estesi: [±∞])

Lavori necessari che x ∈ dom f

• Intorno sferico → intervallo aperto

∨_{x ∈ ℝ \} (i.e. f)* con ε ∈ ℝ⁺*

∨₀ = ℝ*

∨_{x ∈ ℝ (M, x) con M ∈ ℝ - ∞}

∨_+∞ = (∞, N) con N ∈ ℝ⁺*

∨_-∞ = (-∞, N) con N ∈ ℝ

Proprietà

1. Sia x ∈ ℝ* se U₁, U₂ sono 2 suoi intorni, allora U₁ ∩ U₂ è ancora un intorno di x
2. ∇ υ ⊂ x ∈ ℝ*, ∃ ε > 0 U [ x ] ∈ intorno di x [ intorno di P²] U₁ ∩ U₂ ≠ 0

Punto di accumulazione (P.D.A.)

Quando V intorno V ≠ φ

(Λ ∩ V-) ≠ φ

con Λ ⊂ ℝ Λ ≠ φ Λ ≠ ℝ*

Punto isolato (P.I.)

Quando ∃ intorno V [ Λ ∩ V = Λ ]

Osservazioni (P.D.A., P.I.)

• un P.D.A. PUò non appartenere a dom f mentro un P.I. deve appartenere a dom f
• (+∞) (-∞) a), possono essere P.D.A. ma non P.I.

Definitivamente

f: dom f → ℝ se x₀ è un P.D.A. del dom f e se P è una proprietà, si dirà che f soddisfa la proprietà P definitivamente quando ∃ V intorno a x₀

∀ x ∈ dom f ∩ V - { x₀ } → f (x) verifica P

Osservazioni

• f deve verificare la proprietà vicino a x₀
• non vuol dire che la verifichi su tutte le soluzioni
• non è detto che la verifichi in x₀

Proposizione

Sia f: dom f → ℝ ∃ x₀ ∈ ℝ sia un P.D.A. del dom f, siano P₁ e P₂ 2 proprietà sse:

1. f verifica definitivamente P₁ per x → x
2. f verifica definitivamente P₂ per x → x

Allora f verifica simultaneamente P₁ e P₂ per x → x

Teorema sull'algebra dei limiti

Siano f, g funzioni entrambe definite sullo stesso insieme X ⊆ ℝ, sia x₀ ∈ ℝ un P.D.A. X

1. lim_x→x0 f(x) = l ∈ ℝ e g(x) = m ∈ ℝ allora si ha

1. lim_x→x0 (f(x) + g(x)) = l + m
2. lim_x→x0 (f(x)g(x)) = lm
3. lim_x→x0 (αf(x)) = αl ∀ α ∈ ℝ
4. lim_x→x0 (f(x)/g(x)) = l/m se m ≠ 0

Teorema sull'algebra dei limiti (caso illimitato)

Siano f, g e x₀ (come teorema precedente)

1. Se lim_x→x0 f(x) = ±∞ e g(x) = ±∞ ⇔ def. per x → x₀
2. Se lim_x→x0 (f(x)g(x)) = ±∞ ⇔ def. per x → x₀
3. Se lim_x→x0 f(x) = ±∞; (f(x)g(x)) = ±∞ ⇔ def. per x → x₀
4. Se lim_x→x0 (f(x)) = ±∞; lim_x→x0 (g(x)) = ±∞ ⇔ def. per x → x₀

• Nei punti 3 e 4 abbiamo visto solo per g(x) ma è applic per q(x).

Forme indeterminate

• (0/0)
• ∞-∞
• 0×∞
• ∞/∞
• 1^∞
• 0⁰
• ∞⁰

Casi che non rientrano nei teoremi precedenti e vanno risolti con altre tecniche…

Teorema del confronto

1. lim_x→x0 f(t) = l_f ∈ ℝ^* e lim_x→x0 g(x) = l_g ∈ ℝ^*
2. f(x) ≤ g(x)

Allora l_f ≤ l_g

Non valido con valori "C" ma solo "S"