Analisi matematica: Goniometria

GONIOMETRIA

ANGOLO: parte di piano delimitata da 2 semirette aventi il vertice in comune.

L'angolo si misura in gradi

α ⁰: ¹/₃₆₀ dell'angolo giro

o in radianti

α = ^L/_r

360 ⁰ = ^2πr/_r = 2π

x ^creadi/₃₆₀: 2π

α ⁰: ^{α creadi 360}/_2π

x ^rad = α ^2π/₃₆₀

Un angolo si dice orientato quando sono stati scelti un senso di rotazione e uno dei due è l'origine.

Se la rotazione è in senso antiorario -> POSITIVO

Se la rotazione è in senso orario -> NEGATIVO

α POSITIVO

β NEGATIVO

ES

380 ⁰ - 360 ⁰ + 20 ⁰

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Ha come centro l'origine.l' x di raggio 1.

B = punto di intersezione tra il raggio e la circ. goniometrica.

P = origine degli archi

Su di essa posso rappresentare gli angoli orientati. L'asse delle x è l'asse degli archi.

Le funzioni goniometriche associano un numero reale alla misura dell'ampiezza di ogni angolo.

GONIOMETRIA

ANGOLO: parte di piano delimitata da 2 semirette aventi il vertice in comune.

L'angolo si misura in gradi

α : 1 = 360 all'angolo più o in radianti

α = ^A/_r

360 = ^2πr/_r = 2π

x → x rad : 360 = x ° : 2π

α' = ^{α x rad x 360}/_2π

x rad = ^{α x 2π}/₃₆₀

Un angolo si dice orientato quando sono stati scelti un senso di rotazione e uno dei due e l'origine.

Se la rotazione è in senso antiorario → positivo

Se la rotazione è in senso orario → negativo

α positivo

β negativo

ES

380° - 360° + 20°

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Ha come centro l'origine (ass) di raggio r.

A B ⇒ punto di intersezione tra il raggio e la circonferenza goniometrica.

P → origine degli archi

Su di essa posso rappresentare gli angoli orientati (l'asse delle x e l'asse all'origine).

Le funzioni goniometriche associano un numero reale alla misura dell'ampiezza di ogni angolo.

SENO e COSENO

Considero la crf goniometrica e un angolo orientato x si definiscono cos x, sen x le funzioni che ad x associano rispettiva mete l'ascissa e l'ordinata del punto B

• -1 ≤ sen x ≤ 1
• -1 ≤ cos x ≤ 1

Seno e coseno hanno come dominio tutto R poiché per ogni valore di x esiste uno ed un solo punto sulla crf goniometrica

• + + | I QUADRANTE
• - + | II QUADRANTE
• - - | III QUADRANTE
• + - | IV QUADRANTE

Codominio [-1, 1]

Funzioni -> Pari -> f(x) = f(-x)

Dispari -> f(-x) = -f(x)

Coseno funzioni pariSeno funzioni dispari

Pari:cos(-α) = cosα

Dispari:sen(-α) = -senα

sen x x ∈ [0; 2π]

• rappresento un angolo

0

π/2

π

3/2π

2π = 360°

angolo pari a π

angolo giro 2π

90° = π/2

sen α = sen (α + 2π)

sin (α + 4/α)

sen (k + 2k π) k ∈ Z

Sinusoide

y = cos x x ∈ [0; 2π]

y = cos x

x | y

0 | 0

π/2 | sen π/2 = 1

π | sen π = 0

3/2π | sen 3/2π = -1

2π | 0

per cui il rapporto 1

x | y

0 | 1

π/2 | 0

π | -1

3/2 π | 0

2π | 1

PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE

cos²α + sen²α = 1

eq. crf : x² + y² = 1

OÂB = â

OÂ + ÂB = â

OA² + AB² - OB² -> il raggio della crf fonica è sempre 1

sen²α = 1 - cos²α

sen α = ±√1 - cos²α

cos²α = 1 - sen²α

cos α = ±√1 - sen²α

FUNZIONE TANGENTE

Considerando una crf goni e un angolo α orientato su di essa si dice tgα la funzione che ad α associa il rapporto, quando esiste, fra l'ordinata e l'ascisse del punto B.

tg α = _yB/_xB se x_B = 0 non esiste

Il dominio della funzione tangente è tutto R escluso π/2 + kπ

D. α ≠ π/2 + kπ

tgα_def: y_T

OP ⊥ OÂB

TP = AB - OP: OA

y_T: y_B: 1: x_B

y_T = y_B: 1/x_B

1 - QUADRANTE

2 - QUADRANTE

3 - QUADRANTE

4 - QUADRANTE

y = tg x ∈ [0, π]

la retta tangente coincide con l'asse delle y.

la funzione tangente è periodica alta π ini.

tg(α + π) = -tg(α + 2 x) = -tg(α + k π)

k ∈ Z

Il grafico della tangente su tutto R__ è detto TANGENTOIDE. Ogni π/2 si ripete figurale

SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE

_{tg α = ^{sen α} / cos α}

^{tg α def = yB / _xB}

Cotangente

ctg α = ^x_B/_yB

→ è l'inversa della tangente

→ è l'ascissa di Q

Se y_B = 0 → x_B/_yB non esiste

Il dominio è tutto R escluso α ≠ kπ

• Se α ∈ Z π non esiste

x: non esiste

ctg α = 1 / tg α = ^cosα/_senα

Angoli Particolari

• π/6 (30°)

α = 30° = π/6∠BC^ = 60°∠C^B^C = ∠BC^∠H^C = 30° = π/6∠B^C = equilateroOC = 1AB = sen π/6 = ¹⁄₂

√OB² - AB²

tan(π/6) = ¹⁄_√3

³⁄_√3 = ^√3⁄₃

α = π/4 - 45°

O&hat;B&hat; = α

∠O&hat;A&hat;B = isoscele

OA = AB = O^B&hat;

OA² + AB² = OB²

2OA² = 1

OA² = 1/2 > OA = 1/√2

OA = 1/√2 = 1/√2 = √2/2

_{sen π/u} → ^{cos π/u}

tga = sen/cos = √2/2/√2/2 = 1

α = π/3 = 60°

O^A&hat; = 30°

B^P&hat; = ∠B&hat;P

∠O^P&hat;B = equilatero

OP = 1

OA = OP/2 = 1/2 → cos π/3

sen π/3 = √1-(1/2)² = √1-1/4 = √3/4 = √3/2

tga = sen/cos = √3/2/1/2 = √3/1 = √3

ANGOLI ASSOCIATI

Hanno valori delle funzioni goniometriche uguali a quelli di α:

• α è - α

  • sen(-α) = - senα
  • cos(-α) = cosα
  • tg(-α) = ^senα/_cosα = - tgα

• α è 2π - α

  • sen(2π - α) = - senα
  • cos(2π - α) = cosα
  • tg(2π - α) = ^-senα/_cosα = -tgα

• α è π - α

  • sen(π - α) = senα
  • cos(π - α) = - cosα
  • tg(π - α) = ^senα/_-cosα = -tgα

• α è π + α

  • sen(π + α) = - senα
  • cos(π + α) = - cosα
  • tg(π + α) = ^-senα/_-cosα = + tgα

α ∈ π/2 - α

• sen(π/2 - α) = cosα
• cos(π/2 - α) = senα
• tg(π/2 - α) = cosα/senα → ctgα

α ∈ π/2 + α

• sen(π/2 + α) = cosα
• cos(π/2 + α) = -senα
• tg(π/2 + α) = -ctgα

α ∈ 3π/2 - α

• sen(3π/2 - α) = -cosα
• cos(3π/2 - α) = -senα
• tg(3π/2 - α) = tgα

α ∈ 3π/2 + α

• sen(3π/2 + α) = -cosα
• cos(3π/2 + α) = senα
• tg(3π/2 + α) = -ctgα