Schemi sulla teoria Analisi matematica 1

ANALISI I

TEORIA

Dimostrazione Diretta

Ip = p p=9

Tesi: q=9

p = p+2 p+2 = p+... Pn = 9

Dimostrazione per assurdo (indiretta)

è a mostrare che negando la tesi, viene negata anche l'ipotesi

Dimostrazione dell'irrazionalità della √2 (dim. per assurdo)

Ipotesi di n. razionale √2 = m n

dove m, n NON hanno fattori in comune (apposto 1)

d² = t² + x² = 2 d² = 2

d² = m² = 2 = m² n² = n² = m²

= 2n² = m² ⇒ m è PARI (m = 2h)

m = 2h 2n² = m² ⇒ 2n² = (2h)² 2n² = 2²h² n² = 2h² ⇒ n è PARI

Se m e n sono pari hanno fattori in comune, quindi viene negata le condizioni iniziali.

di conseguenza possiamo dire che d è un n.n. IRRAZIONALE

Potenze a esponente reale e razionale

• a > 0

Si può estendere l'operazione di elevamento a potenza per ogni esponente razionale.

se r = ^m/_n    a^r = a^m/_n    (a^m)^1/_n = ⁿ√a^m

• a < 0 n deve essere dispari

Logaritmi

consideriamo a^x = y     a > 0

• se a = 1    insolubile essendo y ≠ 1
• se a ≠ 1    trovo una soluzione per ogni y > 0

quindi per a > 0    a ≠ 1 esiste un'unica soluzione t.c.    a^x = y

              x = log_a y

Proprietà

• a^x = y
• log_a x · y = log_a x + log_a y
• log_a ^x/_y = log_a x - log_a y
• log_a xⁿ = n · log_a x
• log_a x = ^{log_b x}/_{logb a}     (formula per il cambio di base)

Dim

Disuguaglianza triangolare

|a + b| ≤ |a| + |b|

-|a| ≤ a ≤ |a|

-|b| ≤ b ≤ |b|

-(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|

      -R                   X                     R

-R ≤ X ≤ R   ⟹   |X| ≤ R

dove |x| = |a + b|      R = |a| + |b|

→ |a + b| ≤ |a| + |b|

FUNZIONI SIMMETRICHE

• f è PARI se le grafiche è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate
• f è DISPARI se le grafiche è simmetrico rispetto all'origine

FUNZIONI PERIODICHE

f è periodica di periodo T se

• f(x+T) = f(x) ∀ x ∈ D

FUNZIONI MONOTONE

• f è MONOTONA CRESCENTE se
  • ∀ x₁, x₂ ∈ D x₁ ≤ x₂ implies f(x₁) ≤ f(x₂)
  Strettamente crescente se x₁ < x₂ implies f(x₁) < f(x₂)
• f è MONOTONA DECRESCENTE se
  • ∀ x₁, x₂ ∈ D x₁ ≤ x₂ implies f(x₁) ≥ f(x₂)
  Strettamente decrescente se x₁ < x₂ implies f(x₁) > f(x₂)

Successioni Monotone

• Monotona crescente se a_n ≤ a_n+1 ∀ n ∈ N (strettamente crescente se a_n < a_n+1 ∀ n ∈ N)
• Monotona decrescente se a_n ≥ a_n+1 ∀ n ∈ N (strettamente decrescente se a_n > a_n+1 ∀ n ∈ N)

Teorema del limite della successione monotona

Le successioni monotone, essendo regolate, quindi ammettono limite.

• Se {a_n} ↑ allora lim a_n = sup {a_n | n ∈ N} _n→∞
• Se {a_n} ↓ allora lim a_n = inf {a_n | n ∈ N} _n→∞

Dim (2 casi)

1. {a_n} limitata superiormente: ∪a_n = l ∈ R Fissato ε > 0 arbitrario, ∃ n₀ t.c. n ≥ n₀ l - ε < a_n ≤ l + ε     ⟹ | a_n - l | < ε Quindi lim a_n = sup a_{n n→∞}
2. {a_n} NON limitato superiormente Dato che è crescente n ≥ n₀ > k ∀k ∈ R ∃ n₀ t.c. n ≥ n₀, a_n > k Quindi lim a_n = +∞ _n→∞

Numero e

La successione a_n = (1 + ¹/_n)ⁿ è (limitata) convergente e monotona crescente ⇓ 2 < a_n < 3 lim (1 + ¹/_n)ⁿ = e ≈ 2.71... _n→∞

Confronti tra infiniti e infinitesimi

1) _n→∞ a_n/b_n = ∞ → {a_n} è un infinito di ordine superiore

2) _n→∞ a_n/b_n = k → {a_n} e {b_n} infiniti dello stesso ordine

3) _n→∞ a_n/b_n = 0 → {a_n} è un infinito di ordine inferiore

4) _n→∞ a_n/b_n → NON sono confrontabili

{a_n} {b_n} → INFINITESIMI ( _n→∞ a_n = _n→∞ b_n = 0 )

1) _n→∞ a_n/b_n = ∞ → {a_n} è un infinitesimo di ordine superiore

2) _n→∞ a_n/b_n = R → sono infinitesimi dello stesso ordine

3) _n→∞ a_n/b_n = 0 → {a_n} è un infinitesimo di ordine inferiore

4) _n→∞ a_n/b_n → NON sono confrontabili

Comportamento Asintotico (=caso particolare)

Se _n→∞ a_n/b_n = 1 → A_n ∼ b_n (A_n è asintotico a b_n)

Le due successioni hanno lo stesso comportamento.

Criterio dal rapporto

a_n>0 ∀n∈N

_n→∞ a_n+1/a_n = L

• Se 0≤L<1 si ha _n→∞ a_n = 0
• Se 1≤L si ha _n→∞ a_n = +∞

Gerarchia degli Infiniti

log(n), n^α (α>0), bⁿ (b>1), n!, nⁿ

_n→∞ n/log(n) = +∞

_n→∞ log(n)/n^α = 0

• lim en t x en ( 1 + t )
• lim [ y → ∞ ] en ( 1 + x → 1 1 e
• lim ( 1 + x ) e x

Applico le formule: ( g = e gen f

• lim e en ( 1 + x ) α = α x
• lim e en ( 1 + x ) α ln ( 1 + x ) x

sostituzione α t x e = e e 1 t t

• lim ( e e t x t x / e x → ∞
• lim x → ∞ e x x − 1 a