Funzione convessa e concava
Funzione convessa: f(x) > t(x)
Funzione concava: f(x) < t(x)
Flessi
Flesso: f(x) > t(x) in I- e f(x) < t(x) in I+
- Flesso ascendente: f(x) < t(x) in I- e f(x) > t(x) in I+
- Flesso discendente
Derivate e monotonia
f' convessa → f'(x) crescente
f'(x) crescente → f(x) convessa
f' concava → f'(x) o decrescente
f'(x) o decrescente → f(x) concava
Punto convesso
f''(x) ≥ 0 concava
f''(x₀) = 0
f''(x₀) ≤ 0 in I- e f''(x₀) ≥ 0 in I+ ascendente
f''(x₀) ≥ 0 in I- e f''(x₀) ≤ 0 in I+ discendente
Uso di Taylor
Ordine e parte principale → sviluppare
Il risultato è la parte principale
Il rimanente con potenza > l'ordine
Punti critici
f'(x₀) in f''(x₀), x₀ è punto di estremo
MAX f'(x₀) < 0
min f'(x₀) > 0
In disparte, x₀ è punto di flesso a tangente orizzontale
ASCENDENTE f''(x₀) > 0
DISCENDENTE f''(x₀) < 0
Funzione convessa e concava: riepilogo
Funzione convessa: f(x) ≥ t(x)
Funzione concava: f(x) ≤ t(x)
Flessi: riepilogo
- Flesso: f(x) ≥ t(x) in I+ e f(x) ≤ t(x) in I-
- Flesso ascendente: f(x) ≤ t(x) in I+ e f(x) ≥ t(x) in I-
- Flesso discendente
Derivate e monotonia: riepilogo
- f'(x) crescente → f(x) convessa
- f(x) concava → f'(x) o decrescente
- f'(x) o decrescente → f(x) concava
Uso di Taylor: riepilogo
- Ordine è parte principale → sviluppare
- Il risultato è la parte principale
- Il rimanente ai potenz al RORDINE
Punti critici: riepilogo
fm(x0)=0
m pari: x0 è punto di estremo
max fm(x)0
m dispari: x0 è punto di flesso a tangente orizzontale
ascendente fm(x)
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