Teoria per l'esame di Analisi matematica 1

Analisi

Funzioni (generali)

Sia A una relazione da X a Y, essa si dice funzione da X a Y se:

• X = dom(A)
• ∀ x ∈ X ∃! y ∈ Y / A(x, y) è vera.

Immagine: f(X) = { y ∈ Y / ∃ x ∈ X, y = f(x) }

Se f(X) = Y allora f: X → Y è suriettiva cioè ogni elemento di Y è il corrispondente tramite f di almeno un elemento di X.

Diciamo che f: X → Y è iniettiva su X se ∀ x, x^' ∈ X, x^' ≠ x, si ha f(x^') ≠ f(x^').

Se f è iniettiva su X e suriettiva su Y si dice biiettiva.

Funzione composta: Siano f: X → Y g: Y → Z, la funzione x ∈ X → g(f(x)) ∈ Z si dice funzione composta.

NB: La composizione di funzioni non è commutativa.

Funzione inversa: Se f: X → Y è biiettiva, cioè

• ∀ y ∈ Y ∃! x ∈ X / y = f(x)

Possiamo definire la funzione inversa f^-1: Y → X con

• g(y) = x <> (x → y = f(x)

Si dice funzione inversa di f la funzione f^-1: Y → X unica funzione a soddisfare le seguenti proprietà:

• ∀ x ∈ X: f^-1 (f(x)) = x, ∀ y ∈ Y: f(f^-1(y)) = y

Funzioni (limitate)

Funzione inferiormente (superiormente) limitata:

Sia \( f: A \to \mathbb{R} \). \( f \) è superiormente (inferiormente) limitata se \(\exists m \in \mathbb{R}\) \(f(x) \le m \) \((f(x) \ge m)\ \forall x \in A\).

Dunque \( f: A \to \mathbb{R} \) è limitata su \( A \) se e solo se \(\exists m > 0\ t.c.\ f(x) < m \ \forall x \in A\)

Massimo e minimo:

\( f: A \to \mathbb{R} \) ha massimo (minimo) su \( A \) se \(\exists y \in A\ t.c.\)

\( f(x) \le f(y) \ \forall x \in A\)

\(f(y) = \max_{x \in A} f(x)\)

\((\min_{x \in A} f(x)\)

Estremo inferiore e superiore:

Data \( f: A \to \mathbb{R} \) il suo estremo superiore (inferiore) \( M(m) \in f(A) \) si scrive: \(M = \sup_{x \in A } f(x)\)

\((m = \inf_{x \in A} f(x))\)

Se \( M(m) \in \mathbb{R} \) si ha la seguente caratterizzazione:

\(\forall \varepsilon > 0, \forall x \in A: f(x) \le M \ (\ge m)\)

\(\exists y \in A: f(y) > M - \varepsilon \ (< m + \varepsilon)\)

Funzioni monotone:

\(f: A \to \mathbb{R}\) con \(A \subseteq R\) è monotona crescente (strettamente crescente) se \(\forall x, y \in A\ x < y \implies f(x) \le f(y)\ (f(x) < f(y))\)

\(f: A \to \mathbb{R}\) con \(A \subseteq R\) è monotona decrescente (strettamente decrescente) se \(\forall x, y \in A\ x < y \implies f(x) \ge f(y)\ (f(x) > f(y))\)

Proprietà funzioni monotone:

\(\cdot f: A \subseteq R \to \mathbb{R}\) strettamente monotona. Allora \( f \) è iniettiva,

Siano f,g: A → ℝ, A ⊂ ℝ. Sia lim_x→a f(x) = 0. Allora valgono:

• se f è una funzione localmente limitata in a, alloralim_x→a [f(x) · g(x)] = 0
• se f è positivo (negativo) localmente in a, alloralim_x→a 1/f(x) = +∞ (-∞)

Siano f,g: A → ℝ, A ⊂ ℝ. Sia lim_x→a f(x) = +∞. Allora valgono:

• se ∃M ∈ ℝ/β(x) > M localmente in a, alloralim_x→a [f(x) + g(x)] = +∞
• se ∃M>0 /β(x) > M localmente in a, alloralim_x→a [f(x) · g(x)] = +∞
• se ∃M<0 /β(x) < M localmente in a, alloralim_x→a [f(x) · g(x)] = -∞
• lim_x→a 1/f(x) = 0

Siano f,g: A → ℝ, A ⊂ ℝ. Sia lim_x→a f(x) = -∞. Allora valgono:

• se ∃M ∈ ℝ/β(x) < M localmente in a, alloralim_x→a [f(x) + g(x)] = -∞
• se ∃M>0 / β(x) > M localmente in a, alloralim_x→a [f(x) · g(x)] = -∞
• se ∃M<0 / β(x) > M localmente in a, alloralim_x→a [f(x) · g(x)] = +∞

Cuspide:

Se f è continua in x₀ e f'⁺(x₀) = +∞ , f'^-(x₀) = -∞

(o viceversa). x₀ è una cuspide per f.

N.B.: Il coefficiente angolare della retta passante per i punti

(x, f(x)) e (x₀, f(x₀)) è ^{f(x) - f(x₀)}⁄_{x - x0}

Regole di derivazione

Regola di Leibniz:

Siano f, g: A → ℝ derivabili in x. Allora la funzione

prodotto f˙g è derivabile in x e si ha:

(f˙g)'(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)

Derivata della funzione reciproca:

Sia f: A → ℝ derivabile in x con f(x) ≠ 0, Allora f^-1(x) è

derivabile e:

¹⁄_f(x)' = -^f'(x)⁄_[f(x)]²

Derivata del rapporto di funzioni:

Siano f, g: A → ℝ derivabili in x e g(x) ≠ 0, allora ^f⁄_g è

derivabile in x e:

(^f⁄_g)'(x) = ^{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}⁄_[g(x)]²

Derivata della funzione composta:

Siano I, J intervalli, f: I → J, g: J → ℝ derivabili

rispettivamente in x₀ e y₀.

g˙f: I → ℝ è derivabile in x₀ ∈ I e

(g˙f)'(x₀) = g'(f(x₀))˙f'(x₀)

Se 0/f'(x)| > 0 ∀x∈I[x₀ - δ, x₀[ e f(x) ≤ 0 ∀x∈I]x₀, x₀ + δ[ allora x₀ é un punto di massimo relativo.

Teorema:

Sia f: I→ℝ I intervallo e f derivabile 2 volte in x₀∈I. Se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) > 0 allora x₀ é un punto di minimo locale. Se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0 allora x₀ é un punto di massimo locale.

Punti di flesso

Sia f:[a, b[→ℝ derivabile in x₀∈]a, b[, x₀ si dice punto di flesso se il grafico di f attraversa la retta tangente in (x₀, f(x₀)) al grafico cioè se la funzione F(x)≃{f(x)-f(x₀)-f'(x₀)(x-x₀) é tale che segn (x-x₀) la segno costante ∀x∈]a, b[∩]x₀-δ, x₀+δ[

Teorema:

Sia f:[a, b[→ℝ derivabile due volte in x₀∈[a, b[. Se x₀ é un punto di flesso, allora f''(x₀)=0.

Teorema:

Sia f:[a, b[→ℝ derivabile tre volte in x₀∈[a, b[. Se f''(x₀)=0 e f'''(x₀)≠0, allora x₀ é un punto di flesso.

Teorema:

Sia f:I→ℝ derivabile su I, intervallo aperto. Allora se x₀ é punto estremante per f', x₀ é punto di flesso per f.

Convessità e concavità

Funzione convessa (concava):

Sia f:I→ℝ. f è convessa su I, se ∀x₁, x₂∈I ∀λ∈[0, 1] si ha {λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)≤λf(x₁)+(1-λ)f(x₂). f è concava se -f è convessa.

2) Se F(x) è primitiva di f(x), ∀K F(x)+K è ancora una primitiva di f(x)

Il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale:

Sia f: [a,b] → ℝ continua. Sia G: [a,b] → ℝ una primitiva di f. Allora:

∫_a^b f(t) dt = G(b) - G(a)

Integrazione per parti:

Siano f, g ∈ C¹ [a,b] ℝ. Allora

∫_a^b f(t) g'(t) dt = [f(t) g(t)]_t=a^t=b - ∫_a^b f'(t) g(t) dt

Integrazione per sostituzione:

Siano f: [a,b] → ℝ continua e φ: [α,β] → [a,b] di classe C¹. Se effettuiamo il cambiamento di variabile t=φ(τ), allora

∫_φ(α)^φ(β) f(t) dt = ∫_α^β (φ(τ)) φ'(τ) dτ

Integrale generalizzato:

Sia f: ]a,b[ → ℝ integrabile secondo Riemann su ogni intervallo limitato e chiuso nel dominio. Se esistono

∫_c^b f(t) dt = lim_x→b⁻ ∫_c^x f(t) dt , ∫_a^c f(t) dt = lim_x→a⁺ ∫_x^c f(t) dt

f è integrabile in senso generalizzato e

∫_a^b f(t) dt = ∫_c^b f(t) dt + ∫_a^c f(t) dt

Teorema del confronto:

Siano f,g : ]a,b[ → ℝ integrabili secondo Riemann su tutti gli intervalli limitati e chiusi, 0 < f(x) ≤ g(x). Allora