Teoria per l'esame di Analisi matematica 1

-ANALISI-

Funzioni (generali)

Sia A una relazione da X a Y, essa si dice funzione da X a Y se:

• X = dom(A)
• ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y / A(x,y) è vera.

Immagine: f(X) = {y ∈ Y / ∃x ∈ X, y = f(x)}

Se f(X)= Y allora f: X → Y è suriettiva

cioè ogni elemento di Y è il corrispondente tramite f di almeno un elemento di X

Diciamo che f: X → Y è iniettiva su X se ∀x,x¹ ∈ X, x≠x¹, si ha f(x) ≠ f(x¹).

Se f è iniettiva su X e suriettiva su Y si dice biettiva.

Funzione composta: Siano f: X → Y, g: Y → Z, la funzione x ∈ X → g(f(x)) ∈ Z si dice funzione composta

N.B: La composizione di funzione non è commutativa

Funzione inversa: Se f: X → Y è biettiva, cioè

∀y ∈ Y ∃! x ∈ X / y = f(x)

possiamo definire la funzione inversa g: Y → X con g(y) = x ∈ X ⇔ y = f(x)

Si dice funzione inversa di f, la funzione f^-1: Y → X unica funzione a soddisfare le seguenti proprietà: ∀x ∈ X: f^-1(f(x)) = x, ∀y ∈ Y: f(f^-1(y)) = y

Funzioni (limitate)

-ANALISI-

Funzioni (generali)

Sia A una relazione da X a Y, essa si dice funzione da X a Y se:

• X = dom(A)
• ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y / A(x,y) è vera.

Immagine:

f(X) = { y ∈ Y / ∃x ∈ X, y = f(x) }

Se f(X) = Y allora f: X → Y è suriettiva cioè ogni elemento di Y è il corrispondente tramite f di almeno un elemento di X.

Diciamo che f: X → Y è iniettiva su X se ∀x,x^' ∈ X, x ≠ x^', si ha f(x) ≠ f(x^').

Se f è iniettiva su X e suriettiva su Y si dice biiettiva.

Funzione composta:

Siano f: X → Y, g: Y → Z, la funzione x ∈ X → g(f(x)) ∈ Z si dice funzione composta

N.B: La composizione di funzioni non è commutativa

Funzione inversa:

Se f: X → Y è biiettiva, cioè ∀y ∈ Y ∃! x ∈ X / y = f(x)

possiamo definire la funzione inversa g: Y → X con g(y) = x ∈ X ↔ y = f(x)

Si dice funzione inversa di f, la funzione f^-1: Y → X unica funzione a soddisfare le seguenti proprietà:

• ∀x ∈ X: f^-1(f(x)) = x,
• ∀y ∈ Y: f(f^-1(y)) = y

Funzioni (limitate)

Funzione inferiormente (superiormente) limitata:

Sia f: A → ℝ essa è superiormente (inferiormente) limitata

se ∃m ∈ ℝ t.c. f(x) < m (f(x) > m) ∀x ∈ A.

Dunque f: A → ℝ è limitata su A se e solo se ∃m > 0 t.c. |f(x)| < m ∀x ∈ A

Massimo e minimo:

f: A → ℝ ha massimo (minimo) su A se ∃y ∈ A t.c.

f(x) < (≥) f(y) ∀x ∈ A

f(y) = max_{x ∈ A} f(x) (min_{x ∈ A} f(x))

Estremo inferiore e superiore:

Data f: A → ℝ il suo estremo superiore (inferiore)

si scrive: M = sup_{x ∈ A} f(x)

(m = inf_{x ∈ A} f(x))

Se M (m) ∈ ℝ si ha la seguente caratterizzazione:

∀ε > 0, ∀x ∈ A: f(x) ≤ M (≥ m)

∃y ∈ A: f(y) > M - ε (< m + ε)

Funzioni monotone:

f: A → ℝ con A ⊂ ℝ è monotona crescente (strettamente crescente)

se ∀x, y ∈ A x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) (f(x) < f(y))

f: A → ℝ con A ⊂ ℝ è monotona decrescente (strettamente decrescente)

se ∀x, y ∈ A x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) (f(x) > f(y))

Proprietà funzioni monotone:

• f: A → ℝ strettamente monotona. Allora f è iniettiva.

invertibile e f^-1: f(A) → A è strettamente monotona.

A, B, C ⊂ ℝ e f: A → B e g: B → C funzioni monotone

Allora g o f: A → C è monotona.

Se entrambe sono crescenti o decrescenti g o f è crescente; se f è crescente e g decrescente o viceversa allora

g o f è decrescente.

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Limiti:

Intorno:

L'intervallo aperto I = ]x₁, x₂[ ⊂ ℝ è un intorno di a ∈ ℝ se a ∈ I cioè se x₁ < a < x₂.

In particolare ∀ ε > 0, ]a-ε, a+ε[ è un intorno di a.

Punto di accumulazione:

Dato un insieme A ⊂ ℝ e un elemento a ∈ ℝ a si dice

punto di accumulazione per A se ∀ I di a si ha:

I ∩ (A \ {a}) ≠ Ø

n.b.: I deve contenere punti di A distinti da a.

Teorema di Bolzano-Weierstrass:

Un insieme A ⊂ ℝ infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione.