Orale Analisi Matematica 1

Numeri naturali

Principio di induzione

Il principio di induzione è uno strumento fondamentale nell'ambito dei numeri naturali, utilizzato per dimostrare proprietà che si suppongono valide per tutti i numeri naturali.

Principio del minimo intero (buonordinamento)

Il principio del minimo intero, o buonordinamento, afferma che ogni sottoinsieme non vuoto di numeri naturali ha un elemento minimo.

Teorema: principio del minimo intero → principio di induzione

Questo teorema stabilisce una connessione tra il principio del minimo intero e il principio di induzione.

Teorema del binomio di Newton

Il teorema del binomio di Newton fornisce una formula per sviluppare potenze di binomi.

Definizione massimo e minimo di un insieme

Il massimo di un insieme è l'elemento più grande, mentre il minimo è l'elemento più piccolo.

Teorema unicità massimo o minimo

Questo teorema afferma che se un insieme ha un massimo o un minimo, esso è unico.

Definizione di maggiorante e minorante

Un maggiorante è un elemento che è maggiore o uguale a tutti gli elementi di un insieme, mentre un minorante è minore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme stesso.

Definizione estremo superiore/inferiore

L'estremo superiore di un insieme è il più piccolo tra i maggioranti, mentre l'estremo inferiore è il più grande tra i minoranti.

Assioma di Dedekind (completezza)

L'assioma di Dedekind sostiene che ogni insieme di numeri reali ha un estremo superiore e un estremo inferiore.

Teorema di esistenza estremi superiore/inferiore

Questo teorema afferma che gli estremi superiori e inferiori esistono sotto certe condizioni.

Principio di Archimede

Il principio di Archimede afferma che per ogni numero reale esiste un numero naturale più grande.

Definizione di "denso"

Un sottoinsieme di numeri reali è detto denso in un intervallo se tra due numeri qualsiasi dell'intervallo esiste un numero del sottoinsieme.

Teorema: Q denso in R

Il teorema stabilisce che i numeri razionali Q sono densi nei numeri reali R.

Definizione intorno di un punto

Un intorno di un punto è un intervallo che contiene il punto.

Definizione di punto di accumulazione

Un punto di accumulazione di un insieme è un punto nel quale ogni intorno contiene almeno un altro punto dell'insieme.

Numeri complessi

Forma algebrica e polare

I numeri complessi possono essere rappresentati in forma algebrica e polare, fornendo un potente strumento per le operazioni matematiche.

Formula di De Moivre

La formula di De Moivre permette di calcolare potenze e radici di numeri complessi espressi in forma polare.

Definizione di radice n-esima

La radice n-esima di un numero complesso è un numero tale che elevato alla n-esima potenza restituisce il numero originario.

Teorema delle radice n-esime in C

Questo teorema afferma che ogni numero complesso ha esattamente n radici n-esime distinte.

Definizione di funzione continua nel punto xo

Una funzione è continua nel punto xo se il limite della funzione in xo è uguale al valore della funzione in xo.

Definizione di limite

Il limite di una funzione descrive il comportamento della funzione quando l'argomento tende a un certo valore.

Teorema unicità del limite

Il teorema stabilisce che un limite, se esiste, è unico.

Teorema limite successioni monotone

Questo teorema afferma che una successione monotona e limitata ha un limite.

Funzioni continue

Le funzioni continue sono quelle che non hanno interruzioni, salti o asintoti nel loro dominio.

Teorema permanenza del segno

Il teorema afferma che una funzione continua che non si annulla in un intervallo mantiene lo stesso segno in tutto l'intervallo.

Teorema di esistenza degli zeri (Teorema di Bolzano)

Il teorema di Bolzano afferma che una funzione continua che assume valori di segno opposto in due punti ha almeno uno zero tra di essi.

Corollario teorema di Bolzano

Il corollario del teorema di Bolzano rafforza l'idea dell'esistenza degli zeri per funzioni continue.

Teorema di Weierstrass

Questo teorema stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata e raggiunge i suoi estremi.

Definizione di derivabilità

Una funzione è derivabile in un punto se esiste la derivata in quel punto, rappresentata come la pendenza della retta tangente.

Retta tangente

La retta tangente a una curva in un punto è la retta che tocca la curva solo in quel punto e ha la stessa pendenza della curva in quel punto.

Definizione di punto di massimo/minimo relativo interno (max/min)

Un punto di massimo relativo è dove una funzione raggiunge un valore più alto rispetto ai punti circostanti, mentre un punto di minimo relativo è dove raggiunge un valore più basso.

Lemma di Fermat

Il lemma di Fermat stabilisce che se una funzione ha un massimo o un minimo relativo in un punto e la derivata esiste, allora la derivata in quel punto è zero.

Teorema di Rolle

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua su un intervallo chiuso e derivabile sull'intervallo aperto, con lo stesso valore agli estremi, allora esiste almeno un punto in cui la derivata si annulla.

Teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange, o teorema del valor medio, afferma che esiste almeno un punto nell'intervallo aperto in cui la derivata è uguale al rapporto incrementale calcolato sugli estremi dell'intervallo.

Corollario teorema di Lagrange

Il corollario del teorema di Lagrange fornisce ulteriori dettagli sulle condizioni e le applicazioni del teorema del valor medio.

Teorema di Cauchy

Il teorema di Cauchy è un'estensione del teorema di Lagrange che coinvolge due funzioni e il loro rapporto di derivata.

Teorema di De l'Hospital (Hopital) 0/0

Il teorema di De l'Hospital consente di calcolare limiti di forme indeterminate 0/0 e ∞/∞ utilizzando le derivate delle funzioni.

Definizione di o piccolo

Il simbolo o piccolo descrive un termine che tende a zero rispetto a un altro termine quando una variabile tende a un certo valore.

Definizione di polinomio di Taylor ordine n centrato Xo

Il polinomio di Taylor è un'approssimazione di una funzione attorno a un punto, utilizzando derivate fino all'ordine n.

Formula di Taylor con resto di Peano

La formula di Taylor con resto di Peano fornisce un modo per approssimare funzioni con un termine di errore noto come resto di Peano.

Definizione di primitiva

La primitiva di una funzione è una funzione la cui derivata è uguale alla funzione originale.

Somme per difetto/eccesso

Le somme per difetto ed eccesso sono utilizzate per approssimare l'integrale di una funzione non negativa.

Definizione di integrale secondo Riemann

L'integrale secondo Riemann è una definizione formale dell'integrale di una funzione su un intervallo.

Teorema condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità

Questo teorema stabilisce le condizioni sotto le quali una funzione è integrabile secondo Riemann.

Teorema integrabilità di funzione monotona

Questo teorema afferma che una funzione monotona è integrabile secondo Riemann.

Teorema della media integrale

Il teorema della media integrale afferma che esiste un punto nell'intervallo di integrazione in cui la funzione assume il valore medio del suo integrale.

Teorema fondamentale del calcolo integrale (parte 1 e 2)

Il teorema fondamentale del calcolo integrale collega l'operazione di derivazione e integrazione, affermando che l'integrale di una funzione continua può essere calcolato utilizzando le sue primitive.

Definizione di integrale improprio (generalizzato)

L'integrale improprio o generalizzato è una generalizzazione dell'integrale per funzioni non limitate o su intervalli infiniti.

Teorema del confronto per integrali impropri (generalizzati)

Il teorema del confronto aiuta a determinare la convergenza di integrali impropri confrontandoli con integrali noti.

Provare che limite del seno di x fratto x è uguale a 1

Questo limite viene calcolato utilizzando l'approssimazione della funzione seno per valori prossimi a zero.

Definizione serie numerica

Una serie numerica è la somma infinita degli elementi di una successione numerica.

Teorema condizione necessaria di convergenza

Il teorema stabilisce che una serie convergente deve avere termini che tendono a zero.

Successione delle ridotte parziali

La successione delle ridotte parziali è la successione delle somme parziali di una serie numerica.

Provare che la serie armonica non converge

La serie armonica è un classico esempio di serie divergente.

Serie: criterio della radice n-esima

Il criterio della radice n-esima è un test per determinare la convergenza di una serie.

Serie a termini positivi non può essere indeterminata

Le serie a termini positivi hanno sempre una somma determinata, convergente o divergente.

Teorema del confronto serie con integrale improprio

Il teorema del confronto con integrali impropri è una tecnica per determinare la convergenza di una serie confrontandola con un integrale improprio noto.

Dato en dimostra che è crescente

La dimostrazione della crescita di una successione en richiede l'analisi delle sue proprietà e comportamento.

Provare che en è limitata inferiormente da 2 e superiormente da 3

Per dimostrare che en è limitata inferiormente e superiormente, si analizzano i valori estremi della successione.

Funzione pari/dispari

Una funzione è pari se simmetrica rispetto all'asse y, dispari se simmetrica rispetto all'origine.

Funzione crescente/decrescente

Una funzione è crescente se il suo valore aumenta al crescere della variabile, decrescente se diminuisce.

Funzione periodica

Una funzione è periodica se ripete i suoi valori a intervalli regolari.